QCM : Vecteurs et coordonnées — 10 questions

Question 1

1. Dans la base orthonormée $(\vec{i}\ ;\ \vec{j})$ , comment s’écrit un vecteur de coordonnées $(x\ ;\ y)$ ?

\vec{u}=y\vec{i}+x\vec{j}

\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}

\vec{u}=x\vec{j}-y\vec{i}

\vec{u}=xy(\vec{i}+\vec{j})

Explication

Chaque coordonnée indique le coefficient du vecteur de base correspondant : $x$ pour $\vec{i}$ et $y$ pour $\vec{j}$ . L’expression qui inverse ces coefficients ne respecte pas l’ordre des coordonnées.

Answer

$$\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$$

Question 2

2. Quelle est la définition des coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée (i ; j) ?

Les coordonnées d’un vecteur sont ses composantes dans la base (i ; j), exprimées sous la forme x\textbf{i} + y\textbf{j}.

Les coordonnées d’un vecteur sont ses projections sur les axes x et y, exprimées dans la base (i ; j).

Les coordonnées d’un vecteur sont ses longueurs par rapport à l’origine, mesurées en unités arbitraires.

Les coordonnées d’un vecteur sont ses angles d’inclinaison par rapport aux axes x et y.

Explication

Les coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée (i ; j) sont ses composantes x et y, exprimées sous la forme x\textbf{i} + y\textbf{j}. La première réponse est incorrecte car elle parle de projections, pas de coordonnées en tant que composantes. La troisième et la quatrième réponses ne correspondent pas à la définition précise des coordonnées dans ce contexte.

Answer

Les coordonnées d’un vecteur sont ses composantes dans la base (i ; j), exprimées sous la forme x\textbf{i} + y\textbf{j}.

Question 3

3. Quelle est l’écriture dans la base orthonormée $(\vec{i}\ ;\ \vec{j})$ d’un vecteur de coordonnées $(4\ ;\ 3)$ ?

\vec{u}=3\vec{i}+4\vec{j}

\vec{u}=12(\vec{i}+\vec{j})

\vec{u}=4\vec{i}+3\vec{j}

\vec{u}=4\vec{j}-3\vec{i}

Explication

La première coordonnée fournit le coefficient de $\vec{i}$ et la seconde celui de $\vec{j}$ , ce qui donne l’écriture attendue. Intervertir les coefficients ou les multiplier ne représente pas le vecteur de coordonnées donné.

Answer

$$\vec{u}=4\vec{i}+3\vec{j}$$

Question 4

4. Dans une base orthonormée (i ; j), comment s’écrit un vecteur de coordonnées (x ; y) ?

x\textbf{i} + y\textbf{j}

\textbf{i}^x + \textbf{j}^y

rac{x}{i}

+ \frac{y}{j}

x\textbf{j} + y\textbf{i}

Explication

Un vecteur de coordonnées (x ; y) dans une base orthonormée s’écrit sous la forme $\textbf{u} = x\textbf{i} + y\textbf{j}$ . La première option mélange incorrectement les notations, tandis que la troisième inverse l’ordre des composantes et la dernière utilise une notation incorrecte pour un vecteur.

Answer

x\textbf{i} + y\textbf{j}

Question 5

5. Pour deux points $A(x_A\ ;\ y_A)$ et $B(x_B\ ;\ y_B)$ , quelle formule donne les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ ?

\vec{AB}=(x_A+x_B\ ;\ y_A+y_B)

\vec{AB}=(y_B-y_A\ ;\ x_B-x_A)

\vec{AB}=(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A)

\vec{AB}=(x_A-x_B\ ;\ y_A-y_B)

Explication

Les coordonnées de $\vec{AB}$ se trouvent en soustrayant les coordonnées du point de départ $A$ de celles du point d’arrivée $B$ . La soustraction inverse correspondrait au vecteur orienté de $B$ vers $A$ .

Answer

$$\vec{AB}=(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A)$$

Question 6

6. Quel est le rôle principal du vecteur $\textbf{AB}$ dans la géométrie analytique ?

Déterminer la couleur d’un point dans un graphique.

Calculer la somme des coordonnées de deux points.

Représenter la direction et la longueur entre deux points.

Définir la position absolue d’un point dans le plan.

Explication

Le vecteur $\textbf{AB}$ sert à représenter la direction et la distance entre deux points A et B. La somme des coordonnées ou la couleur ne sont pas des fonctions du vecteur dans ce contexte.

Answer

Représenter la direction et la longueur entre deux points.

Question 7

7. Soient $A(3\ ;\ 1)$ et $B(2\ ;\ 5)$ . Quelles sont les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ ?

(-6\ ;\ -5)

(-1\ ;\ 4)

(1\ ;\ -4)

(5\ ;\ 6)

Explication

On soustrait les coordonnées de $A$ à celles de $B$ : $\vec{AB}=(2-3\ ;\ 5-1)=(-1\ ;\ 4)$ . L’ordre inversé donnerait le vecteur opposé, tandis que l’addition ne calcule pas un déplacement entre deux points.

Answer

$$(-1\ ;\ 4)$$

Question 8

8. Quand a été établi que si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme ?

Au cours d’un cours de géométrie dans l’enseignement secondaire, lors de l’étude des parallélogrammes.

Lors de la formalisation des propriétés des quadrilatères par Euclide, dans l’Antiquité.

Après la découverte des propriétés des vecteurs, au XXe siècle.

Lorsque la propriété a été démontrée dans le cadre de la géométrie analytique, au XIXe siècle.

Explication

La propriété selon laquelle un quadrilatère est un parallélogramme si ses diagonales ont le même milieu est une étape fondamentale dans l’étude des propriétés des parallélogrammes, souvent abordée lors de l’enseignement secondaire. La démonstration de cette propriété s’est popularisée avec le développement de la géométrie analytique au XIXe siècle.

Answer

Au cours d’un cours de géométrie dans l’enseignement secondaire, lors de l’étude des parallélogrammes.

Question 9

9. En quoi la somme de deux vecteurs diffère-t-elle de leur produit par un scalaire ?

La somme est une opération qui ne peut pas être appliquée aux vecteurs, contrairement au produit par un scalaire.

La somme ne conserve pas la direction des vecteurs, alors que le produit par un scalaire ne modifie pas leur norme.

La somme modifie la longueur des vecteurs, alors que le produit par un scalaire change leur direction.

La somme combine les deux vecteurs en une nouvelle direction, tandis que le produit par un scalaire modifie leur longueur sans changer leur direction.

Explication

La somme de deux vecteurs donne un vecteur résultant dont la direction est la somme vectorielle, tandis que le produit par un scalaire modifie uniquement la norme du vecteur sans changer sa direction. La différence principale réside dans leur effet sur la direction et la longueur du vecteur.

Answer

La somme combine les deux vecteurs en une nouvelle direction, tandis que le produit par un scalaire modifie leur longueur sans changer leur direction.

Question 10

10. Qui est crédité de la formulation de la règle permettant de déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}\\$ entre deux points A et B dans un plan ?

Le géomètre français Augustin-Louis Cauchy

Le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss

Le mathématicien René Descartes

Le géomètre français Jean-Victor Poncelet

Explication

La formule $\vec{AB} = (x_B$ - x_A ; y_B - y_A) est attribuée à la géométrie analytique développée par René Descartes, qui a introduit la représentation des points et vecteurs par des coordonnées. Les autres options sont des figures majeures en mathématiques mais n'ont pas formulé cette règle spécifique.

Answer

Le mathématicien René Descartes

QCM : Vecteurs et coordonnées — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Dans la base orthonormée $(\vec{i}\ ;\ \vec{j})$ , comment s’écrit un vecteur de coordonnées $(x\ ;\ y)$ ?

2. Quelle est la définition des coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée (i ; j) ?

3. Quelle est l’écriture dans la base orthonormée $(\vec{i}\ ;\ \vec{j})$ d’un vecteur de coordonnées $(4\ ;\ 3)$ ?

4. Dans une base orthonormée (i ; j), comment s’écrit un vecteur de coordonnées (x ; y) ?

5. Pour deux points $A(x_A\ ;\ y_A)$ et $B(x_B\ ;\ y_B)$ , quelle formule donne les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ ?

6. Quel est le rôle principal du vecteur $\textbf{AB}$ dans la géométrie analytique ?

7. Soient $A(3\ ;\ 1)$ et $B(2\ ;\ 5)$ . Quelles sont les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ ?

8. Quand a été établi que si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme ?

9. En quoi la somme de deux vecteurs diffère-t-elle de leur produit par un scalaire ?

10. Qui est crédité de la formulation de la règle permettant de déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}\\$ entre deux points A et B dans un plan ?

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Crée tes propres QCM

QCM : Vecteurs et coordonnées — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Dans la base orthonormée (i⃗ ; j⃗)(\vec{i}\ ;\ \vec{j})(i ; j​), comment s’écrit un vecteur de coordonnées (x ; y)(x\ ;\ y)(x ; y) ?

2. Quelle est la définition des coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée (i ; j) ?

3. Quelle est l’écriture dans la base orthonormée (i⃗ ; j⃗)(\vec{i}\ ;\ \vec{j})(i ; j​) d’un vecteur de coordonnées (4 ; 3)(4\ ;\ 3)(4 ; 3) ?

4. Dans une base orthonormée (i ; j), comment s’écrit un vecteur de coordonnées (x ; y) ?

5. Pour deux points A(xA ; yA)A(x_A\ ;\ y_A)A(xA​ ; yA​) et B(xB ; yB)B(x_B\ ;\ y_B)B(xB​ ; yB​), quelle formule donne les coordonnées du vecteur AB⃗\vec{AB}AB ?

6. Quel est le rôle principal du vecteur AB\textbf{AB}AB dans la géométrie analytique ?

7. Soient A(3 ; 1)A(3\ ;\ 1)A(3 ; 1) et B(2 ; 5)B(2\ ;\ 5)B(2 ; 5). Quelles sont les coordonnées du vecteur AB⃗\vec{AB}AB ?

8. Quand a été établi que si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme ?

9. En quoi la somme de deux vecteurs diffère-t-elle de leur produit par un scalaire ?

10. Qui est crédité de la formulation de la règle permettant de déterminer les coordonnées du vecteur AB⃗\vec{AB}\\AB entre deux points A et B dans un plan ?

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1. Dans la base orthonormée $(\vec{i}\ ;\ \vec{j})$ , comment s’écrit un vecteur de coordonnées $(x\ ;\ y)$ ?

3. Quelle est l’écriture dans la base orthonormée $(\vec{i}\ ;\ \vec{j})$ d’un vecteur de coordonnées $(4\ ;\ 3)$ ?

5. Pour deux points $A(x_A\ ;\ y_A)$ et $B(x_B\ ;\ y_B)$ , quelle formule donne les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ ?

6. Quel est le rôle principal du vecteur $\textbf{AB}$ dans la géométrie analytique ?

7. Soient $A(3\ ;\ 1)$ et $B(2\ ;\ 5)$ . Quelles sont les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ ?

10. Qui est crédité de la formulation de la règle permettant de déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}\\$ entre deux points A et B dans un plan ?