Fiche de révision : Vecteurs et coordonnées

📋 Plan du Cours

1. Coordonnées dans une base
2. Vecteurs entre deux points
3. Norme et distance
4. Milieux et parallélogramme
5. Opérations sur les vecteurs
6. Applications et inégalités

📖 1. Coordonnées dans une base

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées d’un vecteur : Dans la base orthonormée (i ; j), un vecteur de coordonnées (x ; y) s’écrit $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$.

📝 Points essentiels

• Le vecteur de coordonnées (4 ; 3) s’écrit $\vec{u}=4\vec{i}+3\vec{j}$.

💡 Astuce mémo

Visualiser chaque vecteur comme un déplacement horizontal puis vertical dans le repère.

📖 2. Vecteurs entre deux points

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont $\vec{AB}=(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A)$.

Compléments

• Pour A(3 ; 1) et B(2 ; 5), on obtient $\vec{AB}=(-1\ ;\ 4)$.

• Pour B(2 ; 5) et C(1 ; 6), on obtient $\vec{BC}=(-1\ ;\ 1)$, puis $3\vec{BC}=(-3\ ;\ 3)$.

💡 Astuce mémo

Arrivée moins départ : B − A.

📖 3. Norme et distance

★ À maîtriser

📐 Formule — La norme d’un vecteur de coordonnées (x ; y) vérifie $\lVert\vec{u}\rVert=\sqrt{x^2+y^2}$.

📐 Formule — La distance AB vérifie $AB=\lVert\vec{AB}\rVert=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

Compléments

• Pour B(5 ; 2) et C(0 ; -1), $\vec{BC}=(-5\ ;\ -1)$ et $BC=\sqrt{26}$.

💡 Astuce mémo

Coordonnées du vecteur → carré des composantes → racine de la somme.

📖 4. Milieux et parallélogramme

★ À maîtriser

📐 Formule — Le milieu J de [AB], avec A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), a pour coordonnées $J\left(\frac{x_A+x_B}{2}\ ;\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)$.

📌 Si les diagonales [AB] et [CD] ont le même milieu, alors ABCD est un parallélogramme.

Compléments

• Pour A(-8 ; 5) et B(3 ; 1), le milieu J est (-2,5 ; 3), et pour C(4 ; -1) et D(-9 ; 7), le milieu K est aussi (-2,5 ; 3) ; ABCD est donc un parallélogramme.

💡 Astuce mémo

Même milieu pour [AB] et [CD] : les diagonales se coupent en leur milieu.

📖 5. Opérations sur les vecteurs

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si $\vec{u}=(x\ ;\ y)$ et $\vec{v}=(x'\ ;\ y')$, alors $\vec{u}+\vec{v}=(x+x'\ ;\ y+y')$.

📐 Formule — Pour $k\in\mathbb{R}$, si $\vec{u}=(x\ ;\ y)$, alors $k\vec{u}=(kx\ ;\ ky)$.

💡 Astuce mémo

SCC : Somme des composantes, Coefficient multiplié, Combinaison calculée.

📖 6. Applications et inégalités

📝 Points essentiels

📌 Pour A(3 ; 1) et C(0 ; -1), $\vec{AC}=(-3\ ;\ 2)$ et $AC=\sqrt{13}$ ; le triangle ABC est donc isocèle en A.

📌 Dans les exemples d’inégalités, une division par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité.