Fiche de révision : Vecteurs et géométrie de l’espace

📋 Plan du Cours

1. Repères historiques de l’algèbre linéaire
2. Vecteurs et opérations dans l’espace
3. Colinéarité et droites de l’espace
4. Coplanarité et plans de l’espace
5. Combinaisons linéaires et bases
6. Positions relatives des droites
7. Positions relatives d’une droite et d’un plan
8. Positions relatives de deux plans

📅 Repères chronologiques

1. -2000 av. J.-C.Des problèmes de systèmes d’équations linéaires apparaissent en Égypte ancienne et en Mésopotamie, avec des méthodes empiriques liées à des besoins pratiques.
2. -300 av. J.-C.Euclide rédige les Éléments, qui posent les bases de la géométrie plane et spatiale.
3. 1637Descartes introduit les coordonnées cartésiennes dans La Géométrie, reliant figures géométriques et équations et fondant la géométrie analytique.

📖 1. Repères historiques de l’algèbre linéaire

📝 Points essentiels

• Au IXe siècle, Al-Khwarizmi contribue à la naissance de l’algèbre comme art de la manipulation des équations avec son ouvrage Le Compendie du calcul par la restauration et la comparaison.

• Au XIXe siècle, Gauss développe des méthodes générales de résolution des systèmes linéaires, comme l’élimination de Gauss.

💡 Astuce mémo

Des problèmes antiques aux coordonnées cartésiennes, puis aux méthodes modernes.

📖 2. Vecteurs et opérations dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur de l’espace : Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est la translation qui amène A en B et se caractérise par la direction de la droite (AB), le sens de A vers B et la norme AB.

★ À maîtriser

• Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leur direction, leur sens et leur norme sont identiques ; une même translation possède une infinité de représentants.

📌 Pour quatre points A, B, C et D, $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$ équivaut au fait que ABDC est un parallélogramme, ou que [AD] et [BC] ont le même milieu.

• La relation de Chasles s’applique dans l’espace : $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.

Compléments

📌 Si $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$, alors ABDC est un parallélogramme, et réciproquement.

• Pour un réel k et un vecteur $\vec u$, le vecteur $k\vec u$ garde la direction de $\vec u$, a un sens dépendant du signe de k et une norme égale à $|k|\|\vec u\|$.

📖 3. Colinéarité et droites de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction, quels que soient leur sens et leur norme ; cela équivaut à l’existence d’un réel k tel que $\vec u=k\vec v$.
• Caractérisation vectorielle d’une droite : La droite passant par A et de vecteur directeur non nul $\vec u$ est l’ensemble des points M tels que $\overrightarrow{AM}=k\vec u$ pour un réel k.

★ À maîtriser

📌 Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

📌 Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Compléments

• Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

📖 4. Coplanarité et plans de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs coplanaires : Trois vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$, où $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires, sont coplanaires si $\vec w=x\vec u+y\vec v$ pour deux réels x et y.
• Caractérisation vectorielle d’un plan : Le plan passant par A et dirigé par deux vecteurs non colinéaires $\vec u$ et $\vec v$ est l’ensemble des points M tels que $\overrightarrow{AM}=x\vec u+y\vec v$ pour deux réels x et y.

★ À maîtriser

• Trois points non alignés engendrent un plan de l’espace.

Compléments

• Le vecteur nul est coplanaire à tout couple de vecteurs, et deux vecteurs sont toujours coplanaires.

📌 Quatre points A, B, C et D sont coplanaires si et seulement si $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires.

📖 5. Combinaisons linéaires et bases

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison linéaire : Une combinaison linéaire de vecteurs $\vec u_1,\ldots,\vec u_n$ est un vecteur de la forme $k_1\vec u_1+\cdots+k_n\vec u_n$, où les coefficients $k_1,\ldots,k_n$ sont réels.
• Indépendance linéaire : Des vecteurs sont linéairement indépendants si toute combinaison linéaire qui donne le vecteur nul a tous ses coefficients nuls.
• Base du plan : Une base du plan est un couple de vecteurs linéairement indépendants et directeurs de ce plan.
• Base de l’espace : Une base de l’espace est un triplet de vecteurs linéairement indépendants.

📝 Points essentiels

• Dans l’espace, deux vecteurs non nuls et libres engendrent un plan, trois vecteurs non nuls et libres engendrent l’espace, et quatre vecteurs non nuls sont forcément liés.

💡 Astuce mémo

Deux vecteurs libres engendrent un plan ; trois vecteurs libres engendrent l’espace.

📖 6. Positions relatives des droites

★ À maîtriser

• Deux droites de l’espace peuvent être : coplanaires et parallèles, coplanaires et sécantes, non coplanaires

📌 Si les vecteurs directeurs de deux droites sont colinéaires, alors les droites sont coplanaires et parallèles.

Compléments

📌 Si les points A, B, C et D sont coplanaires et si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires, alors (AB) et (CD) sont parallèles.

📌 Si A, B, C et D sont coplanaires et si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ne sont pas colinéaires, alors (AB) et (CD) sont sécantes.

• Si A, B, C et D ne sont pas coplanaires, les droites (AB) et (CD) ne sont pas coplanaires.

💡 Astuce mémo

Des droites non parallèles peuvent être sécantes ou non coplanaires.

📖 7. Positions relatives d’une droite et d’un plan

★ À maîtriser

• Une droite et un plan sont :
  • strictement parallèles et disjoints
  • la droite est incluse dans le plan
  • sécants en un point

📌 Si le vecteur directeur de la droite et les deux vecteurs directeurs du plan sont coplanaires, alors la droite est parallèle au plan ou incluse dans celui-ci.

Compléments

📌 Si une droite parallèle à un plan possède au moins un point commun avec ce plan, alors elle est incluse dans ce plan.

📌 Si le vecteur directeur de la droite et les deux vecteurs directeurs du plan ne sont pas coplanaires, alors la droite et le plan sont sécants en un point.

💡 Astuce mémo

Une droite et un plan sont disjoints, inclus l’un dans l’autre ou sécants en un point.

📖 8. Positions relatives de deux plans

★ À maîtriser

• Deux plans de l’espace sont parallèles, éventuellement confondus, ou sécants selon une droite.

• Si chaque vecteur de base d’un plan est coplanaire aux vecteurs de base de l’autre plan, alors les plans sont parallèles ; s’ils ont en plus un point commun, ils sont confondus.

• Si deux plans parallèles sont coupés par un troisième plan, leurs droites d’intersection avec ce troisième plan sont parallèles.

• Si deux plans sécants se coupent selon une droite d et contiennent chacun une droite parallèle à l’autre, alors ces deux droites sont parallèles à d.

Compléments

📌 Si l’un des vecteurs de base d’un plan n’est pas coplanaire aux vecteurs de base de l’autre, alors les plans sont sécants.

📌 Si deux plans sont parallèles, toute droite sécante à l’un est aussi sécante à l’autre.

💡 Astuce mémo

Plans sécants → intersection selon une droite ; plans parallèles → intersections correspondantes parallèles.