QCM : Vecteurs et géométrie de l’espace (23 questions)

Explication

Descartes introduit les coordonnées cartésiennes dans *La Géométrie*, reliant ainsi les figures aux équations et fondant la géométrie analytique. Les méthodes empiriques de résolution de systèmes sont attestées bien plus tôt en Égypte ancienne et en Mésopotamie.

Explication

Au IXe siècle, Al-Khwarizmi contribue à la naissance de l’algèbre comme art de la manipulation des équations, notamment par la restauration et la comparaison. Les bases de la géométrie plane et spatiale sont associées aux Éléments d’Euclide.

Explication

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ représente la translation qui amène A en B et se caractérise par la direction de (AB), le sens de A vers B et la norme AB. Inverser le sens comme dans une autre caractérisation correspondrait au vecteur $\overrightarrow{BA}$.

Explication

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leur direction, leur sens et leur norme sont identiques, et une même translation admet une infinité de représentants. Exiger des points de départ confondus confond l’égalité des vecteurs avec l’emplacement de leurs représentants.

Explication

L’égalité $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$ équivaut au fait qu'ABDC est un parallélogramme. L’ordre ABCD est une confusion plausible, mais ce n’est pas l’ordre des sommets associé à cette égalité.

Explication

Deux vecteurs sont colinéaires lorsqu’ils ont la même direction, indépendamment de leur sens et de leur norme ; de manière équivalente, l’un est un multiple réel de l’autre. Avoir le même sens et la même norme est plus contraignant et ne définit pas la colinéarité.

Explication

Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. L’égalité de leurs normes ne suffit pas à établir que les deux vecteurs ont la même direction.

Explication

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. La perpendicularité des vecteurs directeurs correspond plutôt à des directions perpendiculaires qu’à des droites parallèles.

Explication

La coplanarité est vérifiée lorsque $\vec w$ s’écrit comme une combinaison linéaire de $\vec u$ et $\vec v$. Être colinéaire à $\vec u$ est une condition plus restrictive et ne caractérise pas l’ensemble du plan engendré par $\vec u$ et $\vec v$.

Explication

Tout point du plan s’obtient à partir de $A$ en ajoutant une combinaison linéaire des deux vecteurs directeurs, avec des coefficients réels. N’utiliser qu’un seul vecteur ne décrit qu’une droite, tandis que des coefficients entiers ne couvriraient pas tous les points du plan.

Explication

Trois points non alignés engendrent un plan. Trois points alignés détermineraient une droite, et non un plan.

Explication

Une combinaison linéaire est une somme de vecteurs multipliés par des coefficients réels. La somme de scalaires proposée dans un distracteur n’est pas un vecteur construit à partir des vecteurs donnés.

Explication

L’indépendance linéaire signifie que seule la combinaison triviale, dont tous les coefficients sont nuls, donne le vecteur nul. Une combinaison non triviale donnant zéro caractérise au contraire des vecteurs liés.

Explication

Une base du plan est formée de deux vecteurs indépendants qui dirigent ce plan. Deux vecteurs colinéaires ne sont pas indépendants et ne peuvent donc pas constituer une telle base.

Explication

Une base de l’espace est un triplet de vecteurs linéairement indépendants. Un couple indépendant ne forme pas un triplet, tandis qu’un triplet coplanaire est dépendant.

Explication

Deux droites de l’espace peuvent être parallèles ou sécantes dans un même plan, ou ne pas être coplanaires. Des droites non coplanaires ne sont pas sécantes, car deux droites sécantes appartiennent à un même plan.

Explication

Des vecteurs directeurs colinéaires indiquent que les directions des deux droites sont parallèles, et les droites sont alors coplanaires. Des droites sécantes auraient des directions non colinéaires.

Explication

Une droite et un plan peuvent être strictement parallèles et disjoints, la droite peut appartenir au plan, ou ils peuvent être sécants en un point. Une intersection selon une droite caractérise plutôt deux plans sécants.

Explication

La coplanarité des trois vecteurs implique que la droite est parallèle au plan ou qu’elle y est incluse. Elle ne permet pas de conclure à l’inclusion sans information supplémentaire, contrairement à ce que suggère une autre réponse.

Explication

Des plans parallèles peuvent être distincts ou confondus, alors que des plans sécants ont une droite commune. L’idée qu’ils se coupent en un point confond la géométrie de deux plans avec celle d’une droite et d’un plan.

Explication

La coplanarité des vecteurs de base établit que les plans sont parallèles, et leur point commun implique qu’ils sont confondus. Des plans sécants selon une droite ne correspondent pas à cette condition de parallélisme.

Explication

Les intersections des deux plans parallèles avec un même troisième plan sont des droites parallèles. Elles ne sont pas nécessairement confondues, car les deux plans parallèles peuvent être distincts.

Explication

Dans cette configuration, les deux droites contenues respectivement dans les plans sont parallèles à leur droite d’intersection $d$. Être contenue dans un plan ne signifie pas qu’une droite est confondue avec la droite commune aux deux plans.