Fiche de révision : Vecteurs et repérage en seconde

📋 Plan du Cours

1. Repères du plan
2. Coordonnées graphiques des vecteurs
3. Calculs sur les vecteurs
4. Colinéarité et déterminant
5. Milieu d’un segment
6. Distance entre deux points

📖 1. Repères du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère du plan : Triplet constitué d’une origine O et de deux vecteurs non colinéaires i et j qui définissent les axes et leurs unités.

📝 Points essentiels

📌 Un repère est orthogonal lorsque ses axes sont perpendiculaires, et il est orthonormé lorsqu’il est orthogonal et que les vecteurs i et j ont tous deux une norme égale à 1.

💡 Astuce mémo

Un repère orthogonal impose des axes perpendiculaires ; un repère orthonormé ajoute des unités de longueur égales.

📖 2. Coordonnées graphiques des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées d’un vecteur : Les coordonnées du point obtenu en plaçant un représentant du vecteur à l’origine du repère.

📝 Points essentiels

• Pour lire graphiquement les coordonnées d’un vecteur, on décompose son déplacement selon l’axe des abscisses puis selon l’axe des ordonnées, en tenant compte des signes.

💡 Astuce mémo

Départ, abscisse, puis ordonnée : le déplacement se lit en deux étapes.

📖 3. Calculs sur les vecteurs

★ À maîtriser

• Si A a pour coordonnées (x_A ; y_A) et B a pour coordonnées (x_B ; y_B), alors le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A)$.

📐 Formule — Si $\vec u=(x;y)$ et $\vec v=(x';y')$, alors $\vec u+\vec v=(x+x'\ ;\ y+y')$ et $k\vec u=(kx\ ;\ ky)$.

Compléments

📐 Formule — Si $\vec u=(x;y)$, alors son opposé est $-\vec u=(-x;-y)$.

💡 Astuce mémo

Différence pour AB, somme pour u+v, multiplication pour ku.

📖 4. Colinéarité et déterminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs sont colinéaires s’il existe un réel k tel que l’un soit égal à k fois l’autre, c’est-à-dire $\vec u=k\vec v$.
• Déterminant : Le déterminant de $\vec u=(x;y)$ et $\vec v=(x';y')$ est $\det(\vec u,\vec v)=xy'-yx'$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour $\vec u=(x;y)$ et $\vec v=(x';y')$, les vecteurs sont colinéaires si et seulement si $xy'-yx'=0$.

💡 Astuce mémo

Coordonnées proportionnelles → produit en croix nul → vecteurs colinéaires.

📖 5. Milieu d’un segment

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si A et B ont pour coordonnées (x_A ; y_A) et (x_B ; y_B), alors le milieu M de [AB] a pour coordonnées $\left(\frac{x_A+x_B}{2}\ ;\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)$.

💡 Astuce mémo

Le milieu se trouve en faisant la moyenne des deux abscisses et des deux ordonnées.

📖 6. Distance entre deux points

★ À maîtriser

📌 La formule de distance entre deux points s’applique dans un repère orthonormé, dont les axes sont perpendiculaires et utilisent la même unité.

📐 Formule — Dans un repère orthonormé, si A et B ont pour coordonnées (x_A ; y_A) et (x_B ; y_B), alors $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

Compléments

• Pour A(3 ; -2) et B(0 ; 5), la distance vaut $AB=\sqrt{(0-3)^2+(5-(-2))^2}=\sqrt{58}$.

💡 Astuce mémo

Repère orthonormé → théorème de Pythagore → distance entre deux points.

📊 Tableaux de synthèse

Types de repères