Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonction carré et variations
2. Équations et inéquations du carré
3. Définition et identification du trinôme
4. Forme canonique et sommet
5. Parabole et variations
6. Racines et interprétation graphique

📖 1. Fonction carré et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction carré : Fonction définie sur R par $f(x)=x^2$, dont la courbe représentative est une parabole ayant son sommet à l’origine du repère.

★ À maîtriser

📌 La fonction carré est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0] et strictement croissante sur [0 ; +∞[.

Compléments

• La courbe de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, car la fonction carré est paire.

• Pour la fonction carré, on a notamment $f(1/2)=1/4$, $f(3/2)=9/4$ et $f(-3/2)=9/4$.

💡 Astuce mémo

À gauche de 0, le carré décroît ; à droite de 0, il croît.

📖 2. Équations et inéquations du carré

★ À maîtriser

📌 Pour a>0, $x^2=a$ équivaut à $x=\sqrt a$ ou $x=-\sqrt a$.

📌 Pour a>0, $x^2<a$ équivaut à $-\sqrt a<x<\sqrt a$, tandis que $x^2>a$ équivaut à $x< -\sqrt a$ ou $x>\sqrt a$.

Compléments

• Graphiquement, les solutions de $x^2=a$ sont les abscisses des points de la parabole d’ordonnée a.

💡 Astuce mémo

Carré égal à a : deux solutions ; carré inférieur à a : intervalle central ; carré supérieur à a : extérieur.

📖 3. Définition et identification du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur R qui s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec a, b et c réels et $a\ne0$.

★ À maîtriser

📌 La fonction $l(x)=(x+1)^2-(x-1)^2=4x$ n’est pas du second degré parce que son coefficient de $x^2$ est nul.

Compléments

• Dans $f(x)=ax^2+bx+c$, a, b et c sont les coefficients du polynôme et a est appelé le coefficient dominant.

• Le développement de $h(x)=(3x-2)(1-x)$ donne $h(x)=-3x^2+5x-2$, donc ses coefficients sont a=-3, b=5 et c=-2.

💡 Astuce mémo

ABC : a, b et c, avec a non nul.

📖 4. Forme canonique et sommet

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Écriture $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ d’un polynôme du second degré.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans la forme canonique, $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}$.

• Pour une fonction écrite sous forme canonique, on a $f(\alpha)=\beta$.

Compléments

• Le trinôme $f(x)=x^2-4x+3$ a pour forme canonique $f(x)=(x-2)^2-1$.

💡 Astuce mémo

La mise sous forme canonique donne α et β, donc le sommet S(α ; β).

📖 5. Parabole et variations

★ À maîtriser

• La courbe représentative de $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ est une parabole de sommet $S(\alpha;\beta)$, symétrique par rapport à la droite d’équation $x=\alpha$.

• Si a>0, les branches de la parabole sont orientées vers le haut et la fonction admet un minimum égal à β en α.

• Si a<0, les branches de la parabole sont orientées vers le bas et la fonction admet un maximum égal à β en α.

• Si a>0, f est strictement décroissante sur ]-∞ ; α] puis strictement croissante sur [α ; +∞[.

Compléments

📌 Si deux points de la parabole d’abscisses x₁ et x₂ ont la même ordonnée, alors $\alpha=\frac{x_1+x_2}{2}$.

💡 Astuce mémo

a positif : parabole vers le haut et minimum ; a négatif : parabole vers le bas et maximum.

📖 6. Racines et interprétation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine du polynôme : Abscisse d’un point d’intersection de la parabole représentative avec l’axe des abscisses.

★ À maîtriser

• Les solutions de l’équation $ax^2+bx+c=0$ sont les abscisses des points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.

Compléments

• Pour $f(x)=-4(x-1/2)^2+8$, comme a=-4<0, la fonction est strictement croissante sur ]-∞ ; 1/2] puis strictement décroissante sur [1/2 ; +∞[.

💡 Astuce mémo

Les racines sont les abscisses des points où la parabole coupe l’axe des abscisses.

📊 Tableaux de synthèse

Effet du signe de a