QCM : Fonctions polynômes du second degré — 15 questions

Question 1

1. Quelle affirmation décrit correctement la fonction carré définie par $f(x)=x^2$ ?

Sa courbe est un cercle dont le centre est l’origine du repère.

Sa courbe est une parabole dont le sommet est l’origine du repère.

Sa courbe est une droite passant par l’origine du repère.

Sa courbe est une hyperbole dont le centre est l’origine du repère.

Explication

La fonction carré associe à chaque réel son carré, et sa courbe est une parabole de sommet l’origine. La confusion avec une droite correspondrait à une fonction linéaire, et non à la fonction carré.

Answer

Sa courbe est une parabole dont le sommet est l’origine du repère.

Question 2

2. Sur quels intervalles la fonction carré est-elle respectivement décroissante puis croissante ?

Elle est croissante sur

]-\infty;0]

puis décroissante sur

[0;+\infty[

.

Elle est décroissante sur

]-\infty;0]

puis croissante sur

[0;+\infty[

.

Elle est décroissante sur

[0;+\infty[

puis croissante sur

]-\infty;0]

.

Elle est croissante sur chacun des deux intervalles séparés par zéro.

Explication

Quand $x$ se rapproche de zéro par valeurs négatives, son carré diminue, puis il augmente pour les valeurs positives. La variation s’inverse donc de part et d’autre de zéro, contrairement à une croissance uniforme.

Answer

Elle est décroissante sur $$]-\infty;0]$$ puis croissante sur $$[0;+\infty[$$.

Question 3

3. Quelles sont les solutions de l’équation $x^2=25$ ?

x=\sqrt{5}

ou

x=-\sqrt{5}

x=5

ou

x=-5

x=0

ou

x=25

x=25

ou

x=-25

Explication

Pour un nombre positif $a$ , l’équation $x^2=a$ a pour solutions $\sqrt a$ et $-\sqrt a$ ; ici, $\sqrt{25}=5$ . Les valeurs $25$ et $-25$ sont les opposées du mauvais nombre, car il faut extraire la racine carrée de $25$ .

Answer

$$x=5$$ ou $$x=-5$$

Question 4

4. Quel ensemble décrit les solutions de l’inéquation $x^2<9$ ?

-3<x<3

x<-3

ou

x>3

x\leq-3

ou

x\geq3

-9<x<9

Explication

Pour $a>0$ , la condition $x^2<a$ correspond aux nombres situés entre $-\sqrt a$ et $\sqrt a$ ; ici, cela donne $-3<x<3$ . Les intervalles extérieurs correspondent plutôt à une condition du type $x^2>9$ .

Answer

$$-3<x<3$$

Question 5

5. Laquelle de ces expressions définit une fonction polynôme du second degré ?

f(x)=\frac{2}{x}+1

f(x)=4x-1

f(x)=3x^2-2x+7

f(x)=5x^3+x+2

Explication

Une fonction polynôme du second degré s’écrit $ax^2+bx+c$ avec des coefficients réels et $a\ne0$ . Les autres expressions sont respectivement affines, de degré trois ou non polynomiales.

Answer

$$f(x)=3x^2-2x+7$$

Question 6

6. Pourquoi la fonction $l(x)=(x+1)^2-(x-1)^2$ n’est-elle pas une fonction du second degré ?

Son développement est

4x^2

, donc le terme constant est nul.

Elle n’est pas définie pour toutes les valeurs réelles de

x

.

Son développement est

4x

, donc le coefficient de

x^2

est nul.

Ses coefficients ne sont pas des nombres réels.

Explication

En développant, les termes en $x^2$ se compensent et l’on obtient $l(x)=4x$ ; le coefficient du carré est donc nul. Une fonction du second degré doit conserver un terme en $x^2$ avec un coefficient non nul.

Answer

Son développement est $$4x$$, donc le coefficient de $$x^2$$ est nul.

Question 7

7. Quelle expression correspond à la forme canonique d’un polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ ?

f(x)=a(x-\beta)^2+\alpha

f(x)=a(x+\alpha)^2-\beta

f(x)=\alpha(x-a)^2+\beta

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

Explication

La forme canonique s’écrit $a(x-\alpha)^2+\beta$ , tandis que la forme développée utilise les coefficients $a$ , $b$ et $c$ . Les autres expressions permutent ou modifient les paramètres propres à cette écriture.

Answer

$$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$

Question 8

8. Pour $f(x)=2x^2-8x+5$ , quelles sont les valeurs de $\alpha$ et de $\beta$ dans la forme canonique ?

\alpha=-2

et

\beta=3

\alpha=2

et

\beta=3

\alpha=2

et

\beta=-3

\alpha=4

et

\beta=-3

Explication

On obtient $\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{4}=2$ et $\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{64-40}{8}=-3$ . La valeur de $\alpha$ correspond à l’abscisse du sommet, tandis que $\beta$ en est l’ordonnée.

Answer

$$\alpha=2$$ et $$\beta=-3$$

Question 9

9. Si une fonction est écrite sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , quelle égalité peut-on déduire directement ?

f(\alpha)=\beta

f(\beta)=\alpha

f(\alpha)=0

f(0)=\beta

Explication

En remplaçant $x$ par $\alpha$ , le carré devient nul et il reste $f(\alpha)=\beta$ . Cela ne signifie pas que la fonction s’annule en $\alpha$ , sauf si $\beta=0$ .

Answer

$$f(\alpha)=\beta$$

Question 10

10. Quelle est l’axe de symétrie de la parabole représentant $f(x)=a(x-3)^2-2$ ?

La droite d’équation

x=-2

La droite d’équation

y=-2

La droite d’équation

y=3

La droite d’équation

x=3

Explication

Dans la forme canonique, l’axe de symétrie est la droite verticale $x=\alpha$ , donc ici $x=3$ . Le point $S(3;-2)$ est le sommet, mais ses deux coordonnées ne constituent pas l’équation de l’axe.

Answer

La droite d’équation $$x=3$$

Question 11

11. Pour $f(x)=-3(x-1)^2+4$ , quelle propriété décrit correctement la parabole ?

Elle est tournée vers le bas et possède un maximum égal à

4

.

Elle est tournée vers le haut et possède un minimum égal à

4

.

Elle est tournée vers le haut et possède un maximum égal à

1

.

Elle est tournée vers le bas et possède un minimum égal à

-3

.

Explication

Comme $a=-3<0$ , les branches sont orientées vers le bas et la valeur $\beta=4$ est un maximum atteint pour $x=1$ . Un coefficient positif aurait au contraire produit un minimum.

Answer

Elle est tournée vers le bas et possède un maximum égal à $$4$$.

Question 12

12. Pour une fonction de la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a<0$ , comment varient les branches de la parabole ?

Elles sont orientées vers le bas et la fonction atteint un minimum égal à

\alpha

en

\beta

.

Elles sont orientées vers le haut et la fonction atteint un minimum égal à

\beta

en

\alpha

.

Elles sont orientées vers le haut et la fonction atteint un maximum égal à

\alpha

en

\beta

.

Elles sont orientées vers le bas et la fonction atteint un maximum égal à

\beta

en

\alpha

.

Explication

Lorsque $a<0$ , le terme carré est multiplié par un nombre négatif : la parabole est donc tournée vers le bas. Son sommet est atteint en $x=\alpha$ et sa valeur maximale est $\beta$ .

Answer

Elles sont orientées vers le bas et la fonction atteint un maximum égal à $$\beta$$ en $$\alpha$$.

Question 13

13. Si $a>0$ dans $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , quel est le tableau de variations correct ?

La fonction décroît sur

]-\infty;\alpha]

puis croît sur

[\alpha;+\infty[

.

La fonction croît sur

]-\infty;\alpha]

puis décroît sur

[\alpha;+\infty[

.

La fonction décroît sur

]-\infty;\beta]

puis croît sur

[\beta;+\infty[

.

La fonction croît sur

]-\infty;\beta]

puis décroît sur

[\beta;+\infty[

.

Explication

Avec $a>0$ , la parabole est tournée vers le haut : la fonction descend jusqu’à l’abscisse du sommet $\alpha$ , puis elle remonte. La valeur $\beta$ est l’ordonnée du sommet et ne détermine pas les intervalles de variation.

Answer

La fonction décroît sur $$]-\infty;\alpha]$$ puis croît sur $$[\alpha;+\infty[$$.

Question 14

14. Que représente graphiquement une racine d’un polynôme du second degré ?

L’ordonnée du sommet de la parabole représentative.

Le point où la parabole rencontre nécessairement l’axe des ordonnées.

L’abscisse d’un point où la parabole rencontre l’axe des abscisses.

L’abscisse du sommet lorsque la parabole est tournée vers le haut.

Explication

Une racine est une valeur de $x$ pour laquelle la fonction vaut zéro ; elle correspond donc à l’abscisse d’une intersection avec l’axe des abscisses. Le sommet peut avoir une ordonnée différente de zéro et ne pas appartenir à cet axe.

Answer

L’abscisse d’un point où la parabole rencontre l’axe des abscisses.

Question 15

15. Que déterminent graphiquement les solutions de l’équation $ax^2+bx+c=0$ ?

Les abscisses des points situés sur la droite horizontale

y=\beta

.

Les ordonnées des intersections de la parabole avec l’axe des ordonnées.

Les abscisses des intersections de la parabole avec l’axe des abscisses.

Les coordonnées du sommet de la parabole représentative.

Explication

Résoudre $f(x)=0$ revient à chercher les points de la courbe dont l’ordonnée est nulle, donc ses intersections avec l’axe des abscisses. Une équation de la forme $f(x)=\beta$ correspondrait à une autre droite horizontale.

Answer

Les abscisses des intersections de la parabole avec l’axe des abscisses.

QCM : Fonctions polynômes du second degré — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle affirmation décrit correctement la fonction carré définie par $f(x)=x^2$ ?

2. Sur quels intervalles la fonction carré est-elle respectivement décroissante puis croissante ?

3. Quelles sont les solutions de l’équation $x^2=25$ ?

4. Quel ensemble décrit les solutions de l’inéquation $x^2<9$ ?

5. Laquelle de ces expressions définit une fonction polynôme du second degré ?

6. Pourquoi la fonction $l(x)=(x+1)^2-(x-1)^2$ n’est-elle pas une fonction du second degré ?

7. Quelle expression correspond à la forme canonique d’un polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ ?

8. Pour $f(x)=2x^2-8x+5$ , quelles sont les valeurs de $\alpha$ et de $\beta$ dans la forme canonique ?

9. Si une fonction est écrite sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , quelle égalité peut-on déduire directement ?

10. Quelle est l’axe de symétrie de la parabole représentant $f(x)=a(x-3)^2-2$ ?

11. Pour $f(x)=-3(x-1)^2+4$ , quelle propriété décrit correctement la parabole ?

12. Pour une fonction de la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a<0$ , comment varient les branches de la parabole ?

13. Si $a>0$ dans $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , quel est le tableau de variations correct ?

14. Que représente graphiquement une racine d’un polynôme du second degré ?

15. Que déterminent graphiquement les solutions de l’équation $ax^2+bx+c=0$ ?

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QCM : Fonctions polynômes du second degré — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle affirmation décrit correctement la fonction carré définie par f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 ?

2. Sur quels intervalles la fonction carré est-elle respectivement décroissante puis croissante ?

3. Quelles sont les solutions de l’équation x2=25x^2=25x2=25 ?

4. Quel ensemble décrit les solutions de l’inéquation x2<9x^2<9x2<9 ?

5. Laquelle de ces expressions définit une fonction polynôme du second degré ?

6. Pourquoi la fonction l(x)=(x+1)2−(x−1)2l(x)=(x+1)^2-(x-1)^2l(x)=(x+1)2−(x−1)2 n’est-elle pas une fonction du second degré ?

7. Quelle expression correspond à la forme canonique d’un polynôme du second degré f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c avec a≠0a\ne0a=0 ?

8. Pour f(x)=2x2−8x+5f(x)=2x^2-8x+5f(x)=2x2−8x+5, quelles sont les valeurs de α\alphaα et de β\betaβ dans la forme canonique ?

9. Si une fonction est écrite sous la forme f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β, quelle égalité peut-on déduire directement ?

10. Quelle est l’axe de symétrie de la parabole représentant f(x)=a(x−3)2−2f(x)=a(x-3)^2-2f(x)=a(x−3)2−2 ?

11. Pour f(x)=−3(x−1)2+4f(x)=-3(x-1)^2+4f(x)=−3(x−1)2+4, quelle propriété décrit correctement la parabole ?

12. Pour une fonction de la forme f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β avec a<0a<0a<0, comment varient les branches de la parabole ?

13. Si a>0a>0a>0 dans f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β, quel est le tableau de variations correct ?

14. Que représente graphiquement une racine d’un polynôme du second degré ?

15. Que déterminent graphiquement les solutions de l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 ?

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6. Pourquoi la fonction $l(x)=(x+1)^2-(x-1)^2$ n’est-elle pas une fonction du second degré ?

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15. Que déterminent graphiquement les solutions de l’équation $ax^2+bx+c=0$ ?