Fiche de révision : Vibrations et ondes

📋 Plan du Cours

1. Notions fondamentales des vibrations et ondes
2. Degrés de liberté et modes propres
3. Oscillations libres à un degré
4. Oscillations forcées et résonance
5. Systèmes à plusieurs degrés de liberté
6. Propagation dans les milieux continus
7. Ondes progressives et stationnaires
8. Ondes acoustiques et électromagnétiques
9. Énergie, décibels et atténuation
10. Interfaces, réflexion et diffraction
11. Synthèse des systèmes vibratoires

📖 1. Notions fondamentales des vibrations et ondes

🔑 Notions clés & Définitions

• Onde : Propagation d’une perturbation d’une grandeur physique étendue dans un milieu.
• Vibration : Oscillation autour d’un état d’équilibre.

★ À maîtriser

• Une onde peut transporter de l’énergie sans entraîner de déplacement global de la matière dans le même sens.

Compléments

• Les ondes électromagnétiques associent un champ électrique E et un champ magnétique B ou H qui se propagent en oscillant dans le temps et l’espace.

💡 Astuce mémo

Vibration = oscillation locale ; onde = propagation de perturbation

📖 2. Degrés de liberté et modes propres

🔑 Notions clés & Définitions

• Degré de liberté : Nombre minimum de fonctions dépendant du temps nécessaires pour décrire son évolution.
• Mode propre : Forme spatiale dans laquelle tous les points du système oscillent sinusoïdalement à la même fréquence.

📝 Points essentiels

📌 En oscillation libre, le système évolue uniquement selon les conditions initiales, tandis qu’en oscillation forcée il est excité en permanence.

• Un mouvement quelconque d’un système linéaire se décompose en une somme de ses modes propres.

💡 Astuce mémo

Plus de degrés de liberté → plus de modes propres

📖 3. Oscillations libres à un degré

★ À maîtriser

📐 Formule - L’oscillateur harmonique libre amorti vérifie $\ddot X+2\alpha\dot X+\omega_0^2X=0$, avec $\omega_0=\sqrt{K/M}$ et $\alpha=f/(2M)$.

📐 Formule - Dans le régime pseudo-périodique, la solution de l’oscillateur amorti est $X=X_0e^{-\alpha t}\cos(\omega_pt+\varphi)$ avec $\omega_p=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}$.

📌 Le régime est pseudo-périodique si $\alpha<\omega_0$, apériodique si $\alpha>\omega_0$ et critique si $\alpha=\omega_0$.

Compléments

• Un circuit RLC libre est un oscillateur harmonique vérifiant une équation de la forme $\ddot q+2\alpha\dot q+\omega_0^2q=0$ avec $\omega_0=1/\sqrt{LC}$ et $\alpha=R/(2L)$.

💡 Astuce mémo

Sans perte → amortie → amortissement critique

📖 4. Oscillations forcées et résonance

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de transfert : Relie l’amplitude et la phase de la réponse sinusoïdale d’un système linéaire à celles de son excitation.

★ À maîtriser

📐 Formule - Un oscillateur harmonique forcé par une excitation permanente vérifie $\ddot X+2\alpha\dot X+\omega_0^2X=c\exp(i\omega t)$.

📌 Un système linéaire excité sinusoïdalement à la pulsation $\omega$ répond sinusoïdalement à la même pulsation.

• Sans amortissement, la résonance apparaît à la pulsation propre $\omega_{res}=\omega_0$.

Compléments

• Lorsque les pertes augmentent, le pic de résonance s’élargit et son amplitude diminue.

💡 Astuce mémo

Excitation à la fréquence propre → résonance

📖 5. Systèmes à plusieurs degrés de liberté

★ À maîtriser

• Un système à N degrés de liberté possède N paramètres, N équations, N fréquences propres et N modes propres.

• Pour déterminer les modes propres d’un système discret, on cherche une solution sinusoïdale, on obtient un système matriciel, puis on impose que son déterminant soit nul.

• Un système discret à N degrés de liberté possède N fréquences de résonance et N-1 antirésonances.

Compléments

📐 Formule - La somme de deux oscillations de pulsations proches vérifie $\cos(\omega_1t)+\cos(\omega_2t)=2\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right)\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)$ et produit des battements.

💡 Astuce mémo

N DDL → N modes → N fréquences propres

📖 6. Propagation dans les milieux continus

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation d’Alembert : Décrit la propagation d’une perturbation dans un milieu déformable par $\Delta P-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2P}{\partial t^2}=0$.
• Onde monochromatique : Possède une dépendance temporelle sinusoïdale de pulsation $\omega$, généralement écrite sous la forme $\exp(i\omega t)$.
• Vecteur d’onde : Indique la direction de propagation et sa norme $k$ est le nombre d’onde.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour une onde plane monochromatique, le nombre d’onde et la longueur d’onde sont liés par $k=2\pi/\lambda$, tandis que $\omega=2\pi f$.

💡 Astuce mémo

Équation → onde plane → longueur d’onde

📖 7. Ondes progressives et stationnaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Onde évanescente : Décroît spatialement, ne se propage pas et correspond à un nombre d’onde imaginaire pur.
• Nœud : Point où l’amplitude de vibration est nulle.

★ À maîtriser

📌 Une onde progressive se propage dans une direction, tandis qu’une onde stationnaire résulte de la superposition de deux ondes de même fréquence se propageant en sens opposés.

Compléments

📐 Formule - La vitesse de propagation d’une onde sur une corde de tension T et de masse linéique μ vérifie $c=\sqrt{T/\mu}$.

💡 Astuce mémo

Progressive : énergie transportée ; stationnaire : nœuds et ventres

📖 8. Ondes acoustiques et électromagnétiques

★ À maîtriser

• Dans un gaz, une onde acoustique peut être longitudinale mais pas transversale.

• Le domaine audible s’étend approximativement de 20 Hz à 20 kHz, les ultrasons ayant une fréquence supérieure à 20 kHz.

📐 Formule - Dans le vide ou l’air, la célérité des ondes électromagnétiques est approximativement $c=3\times10^8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ et l’indice de réfraction vérifie $n=c/v$.

Compléments

📐 Formule - La célérité du son dans un gaz vérifie $c_s=\sqrt{\gamma RT/M}$.

💡 Astuce mémo

Acoustique : milieu matériel ; électromagnétique : champs E et B

📖 9. Énergie, décibels et atténuation

★ À maîtriser

📐 Formule - L’intensité sonore d’une onde acoustique de pression efficace P_eff vérifie $I=P_{eff}^2/(\rho c)$.

📐 Formule - Le niveau d’intensité sonore est défini par $\beta=10\log(I/I_0)$ avec $I_0=10^{-12}\,\mathrm{W\,m^{-2}}$.

📌 La dispersion géométrique diminue l’amplitude par propagation, tandis que l’absorption diminue l’énergie par pertes dans le milieu.

Compléments

📌 Une diminution de 3 dB correspond à une puissance divisée par 2 et à une amplitude divisée par $\sqrt2$.

💡 Astuce mémo

Pertes ou dispersion → diminution de l’amplitude

📖 10. Interfaces, réflexion et diffraction

🔑 Notions clés & Définitions

• Impédance : Caractérise la réponse d’un système à une excitation et dépend de la grandeur physique considérée, par exemple en ohms en électronique, en électromagnétisme et en acoustique.

★ À maîtriser

📌 Un changement d’impédance à une interface produit une onde réfléchie et une onde transmise.

📐 Formule - La loi de Snell-Descartes relie les angles de réfraction et les indices par $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$.

📐 Formule - Pour une ouverture de taille D, le demi-angle caractéristique de diffraction vérifie $\theta=\alpha\lambda/D$ avec $\alpha=1{,}22$ pour une ouverture circulaire et $\alpha=1$ pour une ouverture rectangulaire.

Compléments

• Les coefficients de Fresnel dépendent de la polarisation, de l’angle d’incidence et des indices des deux milieux.

💡 Astuce mémo

Saut d’impédance → réflexion et transmission

📖 11. Synthèse des systèmes vibratoires

📝 Points essentiels

• Les fréquences propres d’un système sont ses fréquences de résonance, et leur nombre est égal au nombre de modes propres et de degrés de liberté pour un système discret.

• En oscillation forcée, un système linéaire excité sinusoïdalement répond sinusoïdalement à la même fréquence.

• La fonction de transfert d’un système linéaire est la transformée de Fourier de sa réponse impulsionnelle.

• Une excitation forcée à une fréquence propre conduit à une résonance, dont l’amplitude est limitée dans les systèmes présentant des pertes.

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des régimes vibratoires

Types d’ondes