Fiche de révision : Électrostatique et théorème de Gauss

📋 Plan du Cours

1. Charge électrique et propriétés fondamentales
2. Conducteurs et isolants électriques
3. Loi de Coulomb
4. Densité volumique de charge
5. Densités surfacique et linéique
6. Champ électrique et lignes de champ
7. Flux électrique et théorème de Gauss
8. Symétries du champ électrique

📖 1. Charge électrique et propriétés fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Charge électrique : Grandeur physique exprimée en coulombs, notée C, qui peut être positive ou négative.

📝 Points essentiels

📌 La charge du système formé par la réunion de deux systèmes est égale à la somme de leurs charges, comme lors de la formation de CuSO4 à partir de Cu2+ et SO42−.

📌 La charge électrique est conservée : elle ne peut être ni créée ni détruite, même si plusieurs charges réunies peuvent avoir une somme nulle.

📐 Formule - Toute charge Q est un multiple entier de la charge élémentaire e, avec $e = 1.602176634 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$.

• La charge du proton vaut qproton = +e et celle de l'électron vaut qelectron = −e.

💡 Astuce mémo

SACQ : signe, additivité, conservation, quantification

📖 2. Conducteurs et isolants électriques

★ À maîtriser

📌 Dans un métal, les électrons libres se déplacent, tandis que dans un gaz ionisé ou une solution électrolytique, des ions positifs ou négatifs peuvent se déplacer ; dans un isolant, les charges restent liées à des sites déterminés.

Compléments

• Le proton est une particule composite constituée de deux quarks up de charge +2/3 e et d'un quark down de charge −1/3 e, liés par des gluons.

💡 Astuce mémo

Conducteur : charges mobiles ; isolant : charges liées

📖 3. Loi de Coulomb

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Coulomb : Charles-Augustin de Coulomb - Donne la force électrique exercée par une charge ponctuelle q2 sur une charge q1 : $\vec F_{2\to1}=k\frac{q_1q_2}{r^2}\vec u_{2\to1}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La constante de Coulomb vaut $k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 9\times10^9\ \mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}$.

📌 Deux charges de même signe se repoussent, tandis que deux charges de signes opposés s'attirent.

Compléments

📐 Formule - Dans la loi de Coulomb, $r=\|\overrightarrow{M_2M_1}\|$ et $\vec u_{2\to1}=\frac{\overrightarrow{M_2M_1}}{\|\overrightarrow{M_2M_1}\|}$.

• Dans un milieu isolant, la loi de Coulomb s'applique en remplaçant ε0 par la permittivité absolue ε = ε0εr ; pour l'air εr ≈ 1.00058 et pour l'eau εr = 80.

💡 Astuce mémo

Même signe → répulsion ; signes opposés → attraction

📖 4. Densité volumique de charge

🔑 Notions clés & Définitions

• Densité volumique de charge : La densité volumique de charge au point M est définie par $\rho_c(M)=\frac{dq}{dV}$ et s'exprime en C·m−3.

★ À maîtriser

📐 Formule - La charge contenue dans un élément de volume vérifie $dq=\rho(M)dV$.

📐 Formule - Pour une distribution continue, la charge totale est $Q_{tot}=\int_V\rho_c(M)\,dV$.

Compléments

📌 L'échelle mésoscopique utilisée pour définir dV est intermédiaire entre l'échelle microscopique des particules et l'échelle macroscopique du système.

• Pour un cube de côté L et de densité volumique uniforme ρ0, la charge totale vaut $Q_{tot}=\rho_0L^3$.

💡 Astuce mémo

Un petit volume dV contenant une charge dq autour du point M

📖 5. Densités surfacique et linéique

🔑 Notions clés & Définitions

• Densité surfacique de charge : La densité surfacique de charge est définie par $\sigma(M)=\frac{dq}{dS}$ et s'exprime en C·m−2.
• Densité linéique de charge : La densité linéique de charge est définie par $\lambda(M)=\frac{dq}{dl}$ et s'exprime en C·m−1.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour une tige de longueur z0 portant la densité $\lambda_c(z)=\lambda_0\left(1-\frac{z}{z_0}\right)$, la charge totale vaut $Q_{tot}=\frac{\lambda_0z_0}{2}$.

📐 Formule - Les éléments différentiels s'écrivent notamment $dV=dx\,dy\,dz$ en coordonnées cartésiennes, $dV=r\,d\theta\,dr\,dz$ en coordonnées cylindriques et $dV=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$ en coordonnées sphériques.

💡 Astuce mémo

Surface : σ = dq/dS ; ligne : λ = dq/dl

📖 6. Champ électrique et lignes de champ

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ électrique : Défini par la relation $\vec F_{électrique}(M)=q_0\vec E(M)$.
• Lignes de champ : Lignes orientées auxquelles les vecteurs du champ sont tangents en chaque point.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le champ créé par une charge ponctuelle qi s'écrit $\vec E_i(M)=k\frac{q_i}{r_i^2}\vec u_{i\to0}$.

📌 Le champ électrique total est la somme vectorielle des champs produits par chaque charge : $\vec E(M)=\sum_i\vec E_i(M)$.

• Dans un conducteur placé dans un champ extérieur, les électrons libres se déplacent, séparent les charges, créent un champ intérieur opposé, puis s'immobilisent lorsque le champ total intérieur devient nul.

Compléments

📐 Formule - Pour une distribution continue, le champ électrique total s'obtient par intégration : $\vec E(M)=\int k\frac{dq}{r^2}\vec u_{i\to0}$.

• Les lignes du champ électrique partent des charges positives et aboutissent aux charges négatives ; elles sont généralement plus rapprochées lorsque le champ est plus intense.

💡 Astuce mémo

Charge → champ → force

📖 7. Flux électrique et théorème de Gauss

🔑 Notions clés & Définitions

• Flux électrique : Défini par $\Phi(\vec E)=\int_S\vec E\cdot\vec{dS}$.
• Surface fermée : Surface qui délimite un volume et permet de distinguer un intérieur d'un extérieur.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un champ uniforme traversant une surface plane S sous un angle θ, le flux vaut $\Phi=ES\cos\theta$.

📐 Formule - Le théorème de Gauss affirme que le flux électrique à travers toute surface fermée vaut $\oint_S\vec E\cdot d\vec S=\frac{Q_{int}}{\varepsilon_0}$.

Compléments

📌 Pour une surface fermée, le vecteur élémentaire dS est orienté vers l'extérieur ; un flux sortant est positif et un flux entrant est négatif.

• Pour une charge ponctuelle Q au centre d'une sphère de rayon r, le flux total vaut $\Phi=Q/\varepsilon_0$, indépendamment du rayon de la sphère.

💡 Astuce mémo

Des lignes de champ traversent une surface fermée comme un ballon

📖 8. Symétries du champ électrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ physique : Associe une valeur différente à chaque point de l'espace, cette dépendance étant notée par M.

★ À maîtriser

• Pour deux charges opposées +Q et −Q, appelées dipôle, le champ total en un point est la somme vectorielle des deux champs produits séparément.

📌 Lorsque la distance d'observation est très grande devant la longueur de la tige, le champ de la tige chargée est équivalent à celui d'une charge ponctuelle Q : $\vec E=k\frac{Q}{r^2}\vec u_x$.

📌 Si une distribution de charges possède un plan de symétrie, le champ électrique en un point de ce plan appartient à ce plan.

Compléments

📌 Un champ scalaire associe un nombre à chaque point de l'espace, tandis qu'un champ vectoriel associe un vecteur à chaque point.

📐 Formule - Pour une tige uniformément chargée de longueur 2L, observée à une distance r > L sur son axe, le champ vaut $\vec E_{tot}(r)=k\lambda_0\frac{2L}{r^2-L^2}\vec u_x$.

📊 Tableaux de synthèse

Densités de charge

Types de champs