Probabilités conditionnelles et variables aléatoires : fiche de révision

1Probabilités conditionnelles

Pour un événement A de probabilité non nulle, la probabilité de B sachant A est P_A(B) = P(A ∩ B)/P(A). D'où P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B). Sur un arbre pondéré, chaque branche porte une probabilité (conditionnelle à partir du deuxième niveau), la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1, et la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches.

Formule des probabilités totales : si A et son contraire Ā forment une partition, P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B) = P(A) P_A(B) + P(Ā) P_Ā(B). Elle permet de « remonter l'arbre » : P_B(A) = P(A ∩ B)/P(B). Deux événements sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B), ce qui équivaut (pour P(A) ≠ 0) à P_A(B) = P(B) : savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B.

2Variables aléatoires

Une variable aléatoire X associe un réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. Sa loi de probabilité est le tableau des valeurs xᵢ et des probabilités pᵢ = P(X = xᵢ), avec Σpᵢ = 1. L'espérance E(X) = Σ xᵢ pᵢ est la valeur moyenne que prendrait X sur un grand nombre de répétitions (interprétation : gain moyen d'un jeu). Un jeu est équitable si l'espérance du gain est nulle.

La variance V(X) = Σ pᵢ (xᵢ − E(X))² = E(X²) − E(X)² mesure la dispersion ; l'écart-type σ(X) = √V(X) s'exprime dans l'unité de X. Propriétés : E(aX + b) = aE(X) + b, V(aX + b) = a²V(X). La loi des grands nombres (admise) justifie que la moyenne des valeurs observées se rapproche de E(X) quand le nombre d'expériences augmente.

3Exemples corrigés

Test médical : une maladie touche 2 % d'une population (M). Le test est positif (T) chez 95 % des malades et chez 3 % des non-malades. Arbre : P(M) = 0,02, P_M(T) = 0,95 ; P(M̄) = 0,98, P_M̄(T) = 0,03. P(T) = 0,02 × 0,95 + 0,98 × 0,03 = 0,019 + 0,0294 = 0,0484. Probabilité d'être malade sachant le test positif : P_T(M) = 0,019/0,0484 ≈ 0,39. Un test positif ne signifie être malade qu'à 39 % : c'est le résultat classique qui surprend.

Jeu : on lance un dé ; si le 6 sort, on gagne 10 €, sinon on perd 1 €. X = gain. Loi : P(X = 10) = 1/6, P(X = −1) = 5/6. E(X) = 10/6 − 5/6 = 5/6 ≈ 0,83 € : le jeu est favorable au joueur. V(X) = E(X²) − E(X)² = (100/6 + 5/6) − (5/6)² = 17,5 − 0,694 ≈ 16,8, σ ≈ 4,1 €.

4Méthodes, pièges et entraînement

Méthodes : traduire un énoncé en arbre pondéré (bien distinguer P(A ∩ B) et P_A(B)), calculer une probabilité par les probabilités totales, remonter l'arbre, prouver ou réfuter une indépendance, établir une loi, calculer espérance/variance, interpréter l'espérance dans le contexte, utiliser E(aX + b) pour un changement d'unité ou de mise.

Pièges : confondre « sachant » et « et » (P_A(B) ≠ P(A ∩ B)) ; lire P_B(A) directement sur l'arbre alors qu'il faut le retourner ; oublier de vérifier Σpᵢ = 1 ; calculer V(X) en oubliant de retrancher E(X)² ; confondre indépendants et incompatibles (incompatibles : A ∩ B = ∅, donc jamais indépendants si probabilités non nulles) ; laisser l'espérance sans interprétation.

Entraînement : cinq arbres avec remontée, trois preuves d'indépendance, cinq lois avec espérance et variance à la main. Les QCM Revizly générés depuis ton cours sont parfaits pour vérifier la distinction « sachant / et » qui fait tomber la moitié des élèves.