Produit scalaire et géométrie repérée : fiche de révision

1Le cours condensé : produit scalaire

Pour deux vecteurs u et v non nuls, le produit scalaire est le nombre u·v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(u, v). Dans un repère orthonormé, si u(x ; y) et v(x' ; y'), alors u·v = xx' + yy'. Troisième expression : u·v = ½(‖u + v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²). Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul. Cas particulier : u·u = ‖u‖².

Propriétés : symétrie u·v = v·u, bilinéarité (u·(v + w) = u·v + u·w, (ku)·v = k(u·v)). Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si u·v = 0. Projection orthogonale : si H est le projeté de B sur (OA), alors OA·OB = OA·OH (mesures algébriques). Formule d'Al-Kashi dans un triangle ABC : a² = b² + c² − 2bc cos Â, généralisation de Pythagore.

2Le cours condensé : droites et cercles

Une droite est déterminée par un point A et un vecteur directeur u(α ; β), ou par un point et un vecteur normal n(a ; b). Équation cartésienne : ax + by + c = 0, avec n(a ; b) vecteur normal et u(−b ; a) vecteur directeur. Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (déterminant nul), perpendiculaires si leurs vecteurs directeurs (ou normaux) sont orthogonaux.

Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r a pour équation (x − a)² + (y − b)² = r². Réciproquement, une équation x² + y² + αx + βy + γ = 0 se ramène par forme canonique à (x − a)² + (y − b)² = k : c'est un cercle si k > 0, un point si k = 0, l'ensemble vide si k < 0. Caractérisation par le produit scalaire : M est sur le cercle de diamètre [AB] si et seulement si MA·MB = 0.

3Exemples corrigés

Angle : u(3 ; 1) et v(1 ; 2). u·v = 3 + 2 = 5, ‖u‖ = √10, ‖v‖ = √5, donc cos(u, v) = 5/√50 = √2/2 : angle de π/4. Orthogonalité : u(2 ; −3) et v(6 ; 4) : u·v = 12 − 12 = 0, ils sont orthogonaux.

Droite passant par A(1 ; 2) de vecteur normal n(3 ; −1) : 3(x − 1) − (y − 2) = 0, soit 3x − y − 1 = 0. Vecteur directeur : u(1 ; 3). Perpendiculaire à cette droite passant par B(0 ; 4) : son vecteur normal est u(1 ; 3) : x + 3(y − 4) = 0, soit x + 3y − 12 = 0.

Cercle : x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0 ⇔ (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 − 3 = 0 ⇔ (x − 2)² + (y + 3)² = 16 : cercle de centre Ω(2 ; −3) et de rayon 4. Al-Kashi : dans un triangle avec b = 5, c = 7, Â = 60°, a² = 25 + 49 − 2 × 5 × 7 × 0,5 = 39, a = √39 ≈ 6,24.

4Méthodes, pièges et entraînement

Méthodes : choisir la bonne expression du produit scalaire selon les données (coordonnées, normes et angle, projection) ; démontrer une orthogonalité ; calculer un angle ou une longueur dans un triangle (Al-Kashi) ; passer d'une équation de droite à ses vecteurs et inversement ; déterminer l'équation d'une tangente à un cercle (perpendiculaire au rayon) ; reconnaître un cercle et trouver centre et rayon par forme canonique.

Pièges : confondre vecteur directeur et vecteur normal (pour ax + by + c = 0, le normal est (a ; b)) ; oublier de vérifier que k > 0 pour un cercle ; utiliser cos en degrés à la calculatrice réglée en radians ; croire que u·v = 0 implique u = 0 ou v = 0 ; oublier le signe dans la forme canonique du cercle ((x − a)² avec a le centre).

Entraînement : dix calculs de produit scalaire en variant l'expression, cinq équations de droites, cinq cercles à identifier, deux problèmes de triangle. Flashcards Revizly sur les trois expressions et les équations types.