Trigonométrie : cercle trigonométrique, cosinus et sinus : fiche de révision

1Le cours condensé

Le radian est la mesure d'un angle qui intercepte, sur un cercle de rayon 1, un arc de longueur 1 ; un tour complet mesure 2π rad, donc π rad = 180°. Conversion : degrés × π/180. Le cercle trigonométrique a pour centre l'origine et pour rayon 1 ; on l'oriente dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre).

En enroulant la droite des réels sur ce cercle, à tout réel x on associe un point M ; cos x est l'abscisse de M, sin x son ordonnée. Conséquences : −1 ≤ cos x ≤ 1, −1 ≤ sin x ≤ 1, cos²x + sin²x = 1, et cos et sin sont 2π-périodiques : cos(x + 2π) = cos x. Les réels x et x + 2kπ (k entier) ont la même image : on dit qu'ils ont la même mesure modulo 2π ; la mesure principale est celle dans ]−π ; π].

Valeurs remarquables (à connaître par cœur) : x = 0 : cos 1, sin 0 ; π/6 : √3/2, 1/2 ; π/4 : √2/2, √2/2 ; π/3 : 1/2, √3/2 ; π/2 : 0, 1 ; π : −1, 0. Angles associés : cos(−x) = cos x, sin(−x) = −sin x ; cos(π − x) = −cos x, sin(π − x) = sin x ; cos(π + x) = −cos x, sin(π + x) = −sin x ; cos(π/2 − x) = sin x, sin(π/2 − x) = cos x.

2Un exemple entièrement corrigé

Mesure principale de 17π/4 : on retire des tours (2π = 8π/4) : 17π/4 − 8π/4 = 9π/4, encore − 8π/4 = π/4, qui est dans ]−π ; π]. Donc cos(17π/4) = cos(π/4) = √2/2.

Résoudre cos x = 1/2 sur ]−π ; π] : la valeur remarquable donne x = π/3 ; par symétrie (cos(−x) = cos x), x = −π/3 est aussi solution. Solutions : {−π/3 ; π/3}. Sur ℝ : x = π/3 + 2kπ ou x = −π/3 + 2kπ, k ∈ ℤ.

Résoudre sin x = √3/2 sur ]−π ; π] : x = π/3 et, par sin(π − x) = sin x, x = π − π/3 = 2π/3. Solutions : {π/3 ; 2π/3}. Calcul avec la relation fondamentale : si sin x = 3/5 et x ∈ [0 ; π/2], alors cos²x = 1 − 9/25 = 16/25 et cos x = 4/5 (positif dans le premier quadrant).

3Méthodes types et pièges

Méthodes : placer un réel sur le cercle et lire le signe de cos et sin selon le quadrant ; trouver la mesure principale ; utiliser les angles associés pour ramener à une valeur remarquable ; résoudre cos x = a ou sin x = a sur un intervalle donné puis sur ℝ ; calculer cos à partir de sin (ou l'inverse) avec cos² + sin² = 1 et le signe donné par le quadrant ; en fin d'année, étudier les fonctions cos et sin (parité, périodicité, courbes).

Pièges : confondre cos et sin (cos = abscisse) ; oublier la deuxième solution d'une équation (symétrique) ; se tromper de signe dans le quadrant ; donner une mesure principale hors de ]−π ; π] (π est admis, −π ne l'est pas) ; convertir degrés/radians dans le mauvais sens ; oublier « + 2kπ » quand on résout sur ℝ.

4Comment s'entraîner

Dessine le cercle trigonométrique avec les seize points remarquables (multiples de π/6 et π/4) et leurs coordonnées jusqu'à pouvoir le reproduire de mémoire en deux minutes : c'est l'investissement le plus rentable du chapitre. Puis dix mesures principales, dix équations cos/sin, cinq calculs par la relation fondamentale. Les flashcards Revizly « angle → (cos ; sin) » et « formule d'angle associé » se révisent en cinq minutes par jour.