Fiche de révision : Analyse et optimisation à une variable

📋 Plan du Cours

1. Fonctions et modélisation économique
2. Fonctions usuelles et continuité
3. Taux d’accroissement et nombre dérivé
4. Calcul pratique des dérivées
5. Applications locales de la dérivée
6. Variations et points stationnaires
7. Dérivée seconde et convexité
8. Extrema et optimisation
9. Fonctions de coût
10. Recette, bénéfice et élasticité

📖 1. Fonctions et modélisation économique

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Associe à chaque valeur d’une grandeur x une unique valeur d’une grandeur y, notée y = f(x).

★ À maîtriser

• L’étude d’une fonction permet notamment de déterminer ses variations, ses valeurs maximales et minimales, ainsi que les quantités produisant un bénéfice donné.

Compléments

• Pour la fonction f(x) = 2x, l’image de 6 est f(6) = 12.

💡 Astuce mémo

Grandeur connue → grandeur déterminée → fonction

📖 2. Fonctions usuelles et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité : Son graphe peut être tracé sans lever le stylo sur I.
• Fonctions usuelles : Les fonctions usuelles présentées sont la fonction affine f(x)=ax+b, la fonction du second degré f(x)=ax²+bx+c, la fonction inverse f(x)=1/x, la racine carrée f(x)=√x, le logarithme népérien f(x)=ln(x) et l’exponentielle f(x)=e^x.

📝 Points essentiels

• Les fonctions usuelles et les opérations principales comme la somme, le produit et la composition préservent la continuité.

📖 3. Taux d’accroissement et nombre dérivé

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Une fonction f est dérivable en a si le taux d’accroissement entre a et a+h admet une limite finie lorsque h tend vers 0, et cette limite est le nombre dérivé f′(a).

★ À maîtriser

📐 Formule — Le taux d’accroissement d’une fonction f entre a et b est $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ et représente la pente de la droite sécante passant par les points d’abscisses a et b.

📐 Formule — Le nombre dérivé s’écrit $f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ et correspond à la pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse a.

Compléments

• Pour la fonction carrée f(x)=x², le nombre dérivé est f′(a)=2a et la fonction dérivée est donc f′(x)=2x.

💡 Astuce mémo

Sécante → limite → tangente

📖 4. Calcul pratique des dérivées

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les règles de dérivation comprennent $(u+v)'=u'+v'$, $(uv)'=u'v+uv'$ et $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.

📐 Formule — Les dérivées usuelles sont $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, $(e^{ax+b})'=ae^{ax+b}$ et $(\ln(ax+b))'=\frac{a}{ax+b}$.

• 🔄 Pour dériver une fonction composée d’opérations usuelles:
  1. décomposer la fonction
  2. identifier les règles adaptées
  3. dériver chaque terme ou facteur
  4. simplifier le résultat

📖 5. Applications locales de la dérivée

★ À maîtriser

📐 Formule — La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a a pour équation $y=f(a)+f'(a)(x-a)$.

📐 Formule — L’approximation affine au voisinage de a est $f(a+h)\simeq f(a)+hf'(a)$ lorsque h est proche de 0.

Compléments

• Pour f(x)=1/x au voisinage de 1, l’approximation affine donne f(1+h)≃1−h et f(1,01)≃0,99.

📖 6. Variations et points stationnaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Point stationnaire : Un point x* est stationnaire ou critique pour f si f′(x*)=0.

📝 Points essentiels

📌 Pour une fonction dérivable, f est croissante si et seulement si f′(x)≥0 sur l’intervalle, et décroissante si et seulement si f′(x)≤0 sur l’intervalle.

📌 Si une fonction dérivable admet un extremum intérieur en x*, alors x* est stationnaire, mais cette condition ne s’applique pas aux bornes de l’intervalle et ne suffit pas à garantir un extremum.

💡 Astuce mémo

Dérivée positive : croissance ; dérivée négative : décroissance

📖 7. Dérivée seconde et convexité

🔑 Notions clés & Définitions

• Convexité : Sa courbe est au-dessus de ses tangentes et elle est concave lorsqu’elle est au-dessous de ses tangentes.
• Point d’inflexion : Un point où f′′ s’annule et change de signe, ce qui correspond au changement de convexité de la courbe.

📝 Points essentiels

📌 Pour une fonction deux fois dérivable, f est convexe si et seulement si f′′(x)≥0, et concave si et seulement si f′′(x)≤0.

📌 Pour un point stationnaire x*, si f′′(x*)>0 alors f admet un minimum local, et si f′′(x*)<0 alors f admet un maximum local.

💡 Astuce mémo

Courbe au-dessus des tangentes : convexe ; au-dessous : concave

📖 8. Extrema et optimisation

📝 Points essentiels

📌 Un maximum global compare f(x*) à toutes les valeurs de l’intervalle, tandis qu’un maximum local ne compare f(x*) qu’aux valeurs d’un voisinage de x*.

• Pour optimiser une fonction par les variations, on détermine l’intervalle, calcule la dérivée, résout f′(x)=0, étudie le signe de la dérivée, construit le tableau de variations et compare les valeurs aux points stationnaires et aux bornes.

• 🔄 Pour optimiser par la convexité:

  1. rechercher les points stationnaires
  2. calculer la dérivée seconde en ces points
  3. identifier les extrema locaux
  4. comparer les valeurs aux bornes
  5. conclure sur les extrema globaux

💡 Astuce mémo

Dériver → chercher les points stationnaires → étudier les bords → conclure

📖 9. Fonctions de coût

🔑 Notions clés & Définitions

• Coût total : La somme du coût fixe CF, indépendant de la quantité produite, et du coût variable CV(q), dépendant de cette quantité : CT(q)=CF+CV(q).

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le coût fixe est égal au coût total pour une production nulle : $CF=CT(0)$.

📐 Formule — Le coût moyen par unité produite est $CM(q)=\frac{CT(q)}{q}=\frac{CF}{q}+\frac{CV(q)}{q}$.

📐 Formule — Le coût marginal est l’accroissement de coût dû à une unité supplémentaire, soit $Cm(q)=CT(q+1)-CT(q)$, et il est assimilé à $CT'(q)$ lorsque le coût est dérivable.

📌 À un extremum du coût moyen, la condition du premier ordre est coût marginal = coût moyen, soit Cm(q)=CM(q).

💡 Astuce mémo

CT = CF + CV

📖 10. Recette, bénéfice et élasticité

🔑 Notions clés & Définitions

• Bénéfice : La différence entre la recette R(q) et le coût total CT(q) : B(q)=R(q)−CT(q).
• Domaine de rentabilité : L’ensemble des quantités qui vérifient B(q)>0.

★ À maîtriser

📌 En concurrence pure et parfaite, le prix d’équilibre p* est constant, la recette vaut R(q)=pq et, à un extremum du bénéfice, le coût marginal est égal au prix d’équilibre : Cm(q)=p.

📐 Formule — L’élasticité-prix de la demande est $E(p)=p\frac{D'(p)}{D(p)}$ et mesure la variation relative de la demande lorsque le prix varie.

• Dans le problème des Dragibus, le modèle retenu donne B(x)=−3x³−x²+250x−120 et le bénéfice maximal est atteint pour environ 5,16 kg, avec un profit d’environ 731,21 €.

Compléments

• Si l’élasticité-prix vaut −0,2, une hausse du prix de 1 % entraîne une baisse de la demande de 0,2 %.

• Pour une demande D(p)=e^(−3p), l’élasticité vaut E_D(p)=−3p et, au prix p=4, elle vaut −12 : une hausse du prix de 1 % diminue la demande de 12 %.

💡 Astuce mémo

Prix et quantité → recette → bénéfice → décision optimale

📊 Tableaux de synthèse

Conditions d’optimisation

Indicateurs économiques