Fiche de révision : Économie de l’assurance

📋 Plan du Cours

1. Risque, incertitude et assurabilité
2. Histoire des contrats d’assurance
3. Information et expansion du marché
4. Diversification et réduction du risque
5. Utilité espérée et aversion au risque
6. Équivalent certain et prime de risque
7. Demande et couverture d’assurance
8. Mutualisation des risques
9. Prime pure et tarification
10. Conditions d’assurabilité

📖 1. Risque, incertitude et assurabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Assurabilité : La possibilité de transformer une perte incertaine en risque tarifable grâce à l’amélioration des connaissances, des institutions et de la capacité financière

★ À maîtriser

📌 Le risque correspond à des résultats identifiés dont les probabilités peuvent être estimées par des données, des modèles ou l’expertise, tandis que l’incertitude désigne des résultats, probabilités ou modèles trop mal connus pour établir un prix actuariel stable.

Compléments

• La frontière de l’assurabilité progresse grâce à:

  • aux données et à l’apprentissage
  • à la prévention et au suivi
  • à la standardisation
  • à la conception contractuelle
  • à la réassurance
  • aux marchés de capitaux
  • à un soutien public

• Le système Ariane 5 est passé d’une forte incertitude après l’échec de son premier vol en 1996 et le succès partiel du deuxième à un risque mieux évaluable après le succès du troisième vol en 1998, le début du service commercial en 1999 et 117 vols réalisés avant son retrait en 2023.

💡 Astuce mémo

Connaissance et données → incertitude transformée en risque tarifable

📖 2. Histoire des contrats d’assurance

★ À maîtriser

• 🔄 L’assurance moderne s’est formée par le passage: de la solidarité communautaire, au prêt à la grosse, à la séparation du financement et du transfert du risque, au paiement d’une prime contre une perte maritime définie

Compléments

• En 1347 à Gênes, une des plus anciennes polices maritimes autonomes conservées couvrait le voyage du Santa Clara et séparait la prime du financement du navire et de la cargaison.

• En 1681 en France, l’Ordonnance de la Marine de Colbert a codifié les règles du commerce maritime et de l’assurance, réduisant l’ambiguïté contractuelle et facilitant l’exécution des contrats.

💡 Astuce mémo

Assistance mutuelle → prêt à la grosse → contrat autonome

📖 3. Information et expansion du marché

★ À maîtriser

• En 1688, le coffee house d’Edward Lloyd réunissait marchands, armateurs et souscripteurs, puis Lloyd’s List a fourni dès 1734 une information systématique sur les navires et les pertes.

Compléments

• L’assurance de masse s’est développée avec: les tontines et contrats liés à la vie, l’urbanisation et l’assurance incendie, l’industrialisation, les tables de mortalité et la théorie des probabilités, la réglementation publique

💡 Astuce mémo

Information accrue → incertitude réduite → tarification et mutualisation élargies

📖 4. Diversification et réduction du risque

★ À maîtriser

• Dans le problème de Sempronius présenté par Bernoulli en 1738, un marchand transporte des marchandises d’une valeur de 8 000 € avec une probabilité de 10 % de perdre un navire et peut répartir la cargaison sur un ou deux navires indépendants.

📐 Formule — Pour un navire unique, l’espérance de perte est $E(X_1)=pD=800\,EUR$ et son écart-type est $\sigma(X_1)=\sqrt{p(1-p)}D=2\,400\,EUR$.

📐 Formule — Avec deux navires indépendants transportant chacun 4 000 €, l’espérance de perte reste 800 €, tandis que la variance devient $V(X_2)=\frac{1}{2}V(X_1)=2\,880\,000$ et l’écart-type est d’environ 1 697 €.

Compléments

📐 Formule — Pour deux pertes de corrélation ρ, la variance de la perte diversifiée est $V(X_2)=\frac{D^2}{2}p(1-p)(1+\rho)$, de sorte que le bénéfice de diversification disparaît lorsque la corrélation est parfaite.

💡 Astuce mémo

Diversification : même bilan ; assurance : autre bilan

📖 5. Utilité espérée et aversion au risque

🔑 Notions clés & Définitions

• Utilité espérée : La moyenne pondérée des utilités obtenues dans chaque état, soit $E[u(W)]=\sum_s p_su(w_s)$

📝 Points essentiels

• Deux loteries ayant la même richesse espérée peuvent procurer des utilités différentes, car un décideur averse au risque préfère un montant certain à une loterie dispersée de même moyenne.

• Pour une fonction d’utilité concave, l’inégalité de Jensen donne $E[u(W)]\leq u(E[W])$, avec préférence stricte pour la richesse certaine lorsque le risque est dispersé et que l’utilité est strictement concave.

• L’aversion au risque correspond à $u''<0$, la neutralité au risque à $u''=0$ et l’attrait pour le risque à $u''>0$.

💡 Astuce mémo

Concavité : certitude préférée ; convexité : loterie préférée

📖 6. Équivalent certain et prime de risque

🔑 Notions clés & Définitions

• Équivalent certain : Le montant certain qui procure la même utilité que la loterie et qui vérifie $u(CE)=E[u(W)]$

★ À maîtriser

📐 Formule — La prime de risque est $\pi=E(W)-CE$ et mesure le montant que l’individu accepte de sacrifier par rapport à la richesse espérée pour supprimer le risque.

📐 Formule — Pour une perte binaire D de probabilité p, la prime maximale d’assurance complète est $P_{max}=w_0-CE=pD+\pi$.

Compléments

• Avec une richesse initiale de 5 000 €, une perte de 1 000 €, une probabilité de 10 % et une utilité logarithmique, l’équivalent certain vaut environ 4 889,66 € et la prime maximale vaut 110,34 €, dont 100 € de perte espérée et 10,34 € de prime de risque.

💡 Astuce mémo

Loterie → utilité espérée → équivalent certain → prime maximale

📖 7. Demande et couverture d’assurance

📝 Points essentiels

📌 Une indemnité q comprise entre 0 et D correspond à une assurance partielle, q=0 à l’absence d’assurance et q=D à une assurance complète.

📐 Formule — Avec un prix α par euro d’indemnité, la prime est $P(q)=\alpha q$ et les richesses finales sont $W_L=w_0-D+(1-\alpha)q$ en cas de perte et $W_N=w_0-\alpha q$ sans perte.

• Un ménage accepte une assurance complète seulement si la prime P ne dépasse pas sa prime maximale Pmax, tandis que l’assureur exige que la prime couvre les sinistres attendus et les coûts de fourniture.

• Avec une tarification actuariellement juste α=p, un ménage strictement averse au risque choisit une couverture complète q=D, car la couverture réduit la dispersion sans modifier la richesse espérée.

• Lorsque le chargement vérifie α>p, l’assurance réduit la richesse espérée en plus de la dispersion, si bien que la couverture complète n’est plus généralement optimale et qu’un ménage neutre au risque rejette tout contrat chargé.

💡 Astuce mémo

Prix actuariel : couverture complète ; chargement : couverture partielle

📖 8. Mutualisation des risques

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour n risques indépendants identiques, la somme des sinistres vérifie $E(S_n)=npD$ et $V(S_n)=np(1-p)D^2$, tandis que la variance du sinistre moyen par police vaut $V\left(\frac{S_n}{n}\right)=\frac{p(1-p)D^2}{n}$.

📌 La loi des grands nombres implique que, pour des pertes indépendantes et identiquement distribuées de moyenne finie, $S_n/n\to E(X_i)=pD$ lorsque la taille du portefeuille augmente.

📌 L’indépendance signifie que la réalisation d’une perte ne modifie pas la distribution de l’autre, tandis qu’une forte corrélation ou une exposition commune empêche la diversification complète.

Compléments

• La variance d’une somme de pertes comprend les variances individuelles et deux fois les covariances entre pertes, selon $V\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)=\sum_{i=1}^nV(X_i)+2\sum_{i<j}\operatorname{Cov}(X_i,X_j)$.

💡 Astuce mémo

Risques indépendants nombreux → moyenne des sinistres plus prévisible

📖 9. Prime pure et tarification

🔑 Notions clés & Définitions

• Prime pure : Le coût moyen des sinistres attendu pour une police sur une période donnée, avant les dépenses, les coûts de capital et les marges

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans le modèle fréquence-sévérité, si N est le nombre de sinistres, Yj le coût du sinistre j et S le coût total, alors $S=\sum_{j=1}^{N}Y_j$ et $\pi_{pure}=E(S)=E(N)E(Y)$ lorsque la sévérité moyenne ne dépend pas systématiquement de la fréquence.

• La prime commerciale ajoute à la prime pure:
  • les chargements de dépenses
  • le chargement de risque
  • le coût du capital
  • les taxes et prélèvements
  • la marge bénéficiaire

Compléments

📐 Formule — Pour une classe de risque caractérisée par X, la prime pure conditionnelle est $\pi_{pure}(X)=E(N\mid X)E(Y\mid X)$ lorsque fréquence et sévérité sont indépendantes conditionnellement à X.

💡 Astuce mémo

Fréquence → sévérité → prime pure → chargements → prime commerciale

📖 10. Conditions d’assurabilité

★ À maîtriser

📌 La seule collecte de la prime pure ne garantit pas la solvabilité, car les sinistres peuvent dépasser leur espérance à cause des fluctuations aléatoires, de l’erreur d’estimation, des dépenses, des pertes corrélées et des catastrophes.

• Une perte est favorablement assurable lorsque: elle est définissable et vérifiable, ses probabilités et sévérités sont estimables, de nombreuses expositions peuvent être mutualisées, les pertes sont peu corrélées, la prime reste abordable

Compléments

• Les cas difficiles à assurer comprennent: les sinistres endogènes ou manipulables, les événements rares disposant de peu de données historiques, les chocs systémiques et catastrophiques, l’incertitude juridique ou technologique, les pertes dépassant la capacité du secteur privé

📌 Une franchise réduit la prime en laissant la première partie de la perte au souscripteur, tout en limitant les coûts administratifs et les incitations à la prévention ou à la majoration des sinistres.

💡 Astuce mémo

Pertes vérifiables et mutualisables versus chocs systémiques et incertains

📊 Tableaux de synthèse

Types de tarification et couverture

Composantes de la prime commerciale