QCM : Économie de l’assurance — 28 questions

Explication

La concavité de l’utilité implique, par l’inégalité de Jensen, que $E[u(W)]\leq u(E[W])$. Lorsque la concavité est stricte et que le risque est dispersé, l’inégalité devient stricte, ce qui traduit une préférence pour la richesse certaine.

Explication

Le lieu de rencontre créé autour d’Edward Lloyd, puis Lloyd’s List dès 1734, ont organisé la circulation d’informations sur les navires et les pertes. L’hypothèse d’une garantie publique ne correspond pas au rôle informationnel de ces institutions.

Explication

L’assurabilité favorable exige notamment une perte définissable et vérifiable, des probabilités et sévérités estimables, de nombreuses expositions mutualisables, une faible corrélation et une prime abordable. Les chocs systémiques ou les pertes manipulables posent au contraire des difficultés majeures d’assurance.

Explication

La prime de risque est $\pi=E(W)-CE$ : elle mesure la somme que l’individu accepte de sacrifier par rapport à la richesse espérée pour supprimer le risque. La perte espérée, elle, décrit une moyenne de pertes et ne mesure pas le coût monétaire de leur dispersion.

Explication

L’assurance moderne dissocie le financement du voyage du transfert contractuel du risque, lequel s’effectue en échange d’une prime. Le prêt à la grosse constitue au contraire une forme où financement et risque restent liés.

Explication

Le risque porte sur des résultats identifiés dont les probabilités peuvent être estimées, alors que l’incertitude reste trop mal connue pour produire un prix actuariel stable. L’idée selon laquelle l’incertitude serait calculable grâce à des données fiables inverse précisément la distinction entre les deux notions.

Explication

L’assurabilité désigne la possibilité de convertir une perte incertaine en risque tarifable lorsque les connaissances, les institutions et les ressources financières progressent. La considérer comme une caractéristique immuable de l’événement correspond à la confusion explicitement signalée.

Explication

L’espérance de perte vaut $E(X_1)=pD=0{,}10\times 8\,000=800\,€$, tandis que l’écart-type vaut $\sigma(X_1)=\sqrt{p(1-p)}D=2\,400\,€$. L’écart-type mesure ici la dispersion de la perte et ne se confond pas avec son espérance.

Explication

Avec $\alpha=p$, la couverture ne modifie pas la richesse espérée mais réduit sa dispersion, ce qui avantage un ménage strictement averse au risque. Une couverture nulle ne procure pas cette réduction de risque.

Explication

La prime pure correspond au coût moyen attendu des sinistres sur la période, avant les dépenses, les coûts de capital et les marges. Les taxes, les frais et la marge relèvent de la prime commerciale.

Explication

La prime commerciale comprend la prime pure ainsi que les chargements de dépenses, de risque et de capital, les taxes et prélèvements, et la marge bénéficiaire. La fréquence et la sévérité servent à calculer le coût attendu des sinistres, déjà contenu dans la prime pure.

Explication

La prime maximale d’assurance complète vaut $P_{max}=w_0-CE$ et se décompose en perte espérée plus prime de risque, soit $pD+\pi$. Elle inclut donc à la fois le coût moyen de la perte et la compensation exigée pour éliminer sa dispersion.

Explication

La richesse en cas de perte combine la richesse initiale, la perte $D$, la prime $\alpha q$ et l’indemnité $q$, ce qui donne $w_0-D+(1-\alpha)q$. L’expression $w_0-\alpha q$ décrit la richesse sans perte et ne tient pas compte du sinistre.

Explication

La variance du sinistre moyen vaut $\frac{p(1-p)D^2}{n}$, donc elle décroît lorsque le portefeuille s’agrandit. La variance de la somme, en revanche, vaut $np(1-p)D^2$ et augmente avec le nombre de risques.

Explication

Une exposition commune peut faire survenir plusieurs pertes ensemble, ce qui introduit une forte corrélation et limite la diversification. L’indépendance, au contraire, signifie qu’une perte ne modifie pas la distribution d’une autre.

Explication

Le coût total s’écrit $S=\sum_{j=1}^{N}Y_j$ et, sous l’hypothèse indiquée, son espérance est le produit de la fréquence moyenne et de la sévérité moyenne. Les chargements ne font pas partie de la prime pure.

Explication

La décision du ménage dépend de sa volonté maximale de payer, tandis que l’assureur exige une prime couvrant les sinistres attendus et les coûts de fourniture. La prime maximale du ménage ne constitue donc pas le critère de rentabilité de l’assureur.

Explication

Avec deux navires indépendants, l’espérance totale reste de 800 €, mais la variance est divisée par deux et l’écart-type tombe à environ 1 697 €. La diversification réduit donc la dispersion sans modifier l’espérance de perte.

Explication

Un décideur averse au risque préfère un montant certain à une loterie dispersée ayant la même richesse moyenne. La richesse espérée est une moyenne monétaire, tandis que l’utilité espérée traduit le bien-être associé aux différents résultats.

Explication

L’aversion au risque correspond à une fonction d’utilité concave, donc à $u''<0$. La condition $u''=0$ caractérise la neutralité au risque, tandis que $u''>0$ traduit l’attrait pour le risque.

Explication

Lorsque $q$ est compris entre zéro et $D$, l’indemnité ne couvre qu’une partie de la perte et il subsiste $D-q$ à la charge de l’assuré. L’assurance complète correspond plutôt à $q=D$, tandis que $q=0$ signifie l’absence de couverture.

Explication

L’assurance de masse s’est développée avec l’urbanisation, l’industrialisation et l’augmentation des expositions, puis avec les tables de mortalité, les probabilités et la réglementation. La réglementation n’a pas réduit le besoin de couverture : elle a plutôt sécurisé les engagements de long terme.

Explication

La loi des grands nombres implique que le sinistre moyen converge vers son espérance, ici $E(X_i)=pD$, quand la taille du portefeuille augmente. Le terme $npD$ correspond à l’espérance du sinistre total, pas à celle du sinistre moyen.

Explication

L’équivalent certain est une richesse monétaire certaine qui procure la même utilité que la loterie, conformément à $u(CE)=E[u(W)]$. Il ne s’agit donc pas directement d’un niveau de bien-être comme l’utilité espérée, ni nécessairement de la richesse moyenne.

Explication

L’Ordonnance de la Marine de 1681 a codifié les règles du commerce maritime et de l’assurance, ce qui a facilité l’interprétation et l’exécution des contrats. La création de polices maritimes autonomes appartient à une étape antérieure, notamment illustrée par Gênes en 1347.

Explication

La prime pure repose sur une espérance, alors que les fluctuations aléatoires, les erreurs d’estimation, les dépenses, les corrélations et les catastrophes peuvent accroître les sinistres réalisés. La rentabilité espérée ne remplace donc pas les réserves, le capital et les mécanismes de transfert du risque.

Explication

La répartition entre deux navires indépendants diversifie le risque propre en évitant de concentrer toute la cargaison dans un seul navire. Le transfert contractuel d’une perte à un assureur relève de l’assurance et non de la diversification.

Explication

L’utilité espérée est la moyenne pondérée des utilités obtenues dans chaque état, soit $E[u(W)]=\sum_s p_su(w_s)$. L’expression $u(p_1w_1+p_2w_2)$ correspond à l’utilité de la richesse moyenne, une notion distincte.