Fiche de révision : Intérêts composés et taux périodiques

📋 Plan du Cours

1. Capitalisation et valeur acquise
2. Valeur actuelle et actualisation
3. Calcul du taux et de la durée
4. Escompte à intérêts composés
5. Taux proportionnels et équivalents
6. Choix du taux selon l’opération

📖 1. Capitalisation et valeur acquise

🔑 Notions clés & Définitions

• Intérêts composés : Capitalisation des intérêts à la fin de chaque période, de sorte qu’ils produisent eux-mêmes des intérêts pendant les périodes ultérieures.

📝 Points essentiels

• Un capital de 10 000 € placé pendant 3 ans au taux annuel de 4 % atteint une valeur acquise de 11 248,64 €.

💡 Astuce mémo

Les intérêts capitalisés produisent à leur tour des intérêts.

📖 2. Valeur actuelle et actualisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur actuelle : Montant équivalent aujourd’hui, obtenu en actualisant une somme future au taux i pendant n périodes.

★ À maîtriser

📐 Formule - La valeur actuelle correspondant à une valeur acquise $C_n$ après n périodes au taux i est $C_0=C_n(1+i)^{-n}$.

Compléments

• Pour obtenir 10 000 € dans 5 ans avec un taux annuel de 4 %, il faut placer aujourd’hui 8 219,27 €.

💡 Astuce mémo

Valeur acquise : vers le futur ; valeur actuelle : retour vers aujourd’hui.

📖 3. Calcul du taux et de la durée

★ À maîtriser

📐 Formule - La durée d’un placement composé se calcule par $n=\frac{\ln(C_n/C_0)}{\ln(1+i)}$.

📐 Formule - Le taux périodique d’un placement composé se calcule par $i=\left(\frac{C_n}{C_0}\right)^{1/n}-1$.

Compléments

• Un capital de 10 000 € placé à 4 % atteint 12 166,53 € après 5 ans.

• Un placement de 10 000 € sur 8 ans qui rapporte 15 000 € correspond à un taux annuel de 5,20 %.

📖 4. Escompte à intérêts composés

🔑 Notions clés & Définitions

• Escompte à intérêts composés : Méthode permettant de déterminer la valeur actuelle d’une dette lointaine à partir de sa valeur nominale, au taux i pendant n périodes.

★ À maîtriser

📐 Formule - La valeur actuelle escomptée vérifie $V_0=V-E=V(1+i)^{-n}$, où V est la valeur nominale et E le montant de l’escompte.

Compléments

• Un billet de trésorerie de valeur nominale 10 000 € payable dans 3 ans, escompté à 3 %, a une valeur actuelle de 9 151,42 € et un escompte de 848,58 €.

📖 5. Taux proportionnels et équivalents

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux proportionnel : Taux d’une période obtenu en multipliant ou en divisant celui d’une autre période proportionnellement au nombre de périodes.
• Taux équivalent : Taux d’une période qui, appliqué avec capitalisation, produit le même résultat que le taux de référence sur sa période.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le taux mensuel équivalent à un taux annuel i est $i_m=(1+i)^{1/12}-1$.

📐 Formule - Le taux annuel équivalent à un taux hebdomadaire i est $i_a=(1+i)^{52}-1$.

• Le taux mensuel proportionnel à un taux annuel de 8 % est 8 % divisé par 12, soit environ 0,67 %.

• Le taux annuel proportionnel à un taux hebdomadaire de 0,05 % est 0,05 % multiplié par 52, soit 2,6 %.

• Le taux mensuel équivalent à un taux annuel de 8 % est environ 0,64 %.

💡 Astuce mémo

Proportionnel : on divise ou multiplie ; équivalent : on utilise une puissance.

📖 6. Choix du taux selon l’opération

★ À maîtriser

📌 Pour un placement, le cours indique l’application du taux équivalent, tandis que pour un emprunt, il indique l’application du taux proportionnel.

Compléments

• Pour un taux annuel de 5 % calculé mensuellement, le taux équivalent d’un placement est 0,4074 %, tandis que le taux proportionnel d’un emprunt est 0,4167 %.

💡 Astuce mémo

Placement : taux équivalent ; emprunt : taux proportionnel.

📊 Tableaux de synthèse

Capitalisation et actualisation