Fiche de révision : Intérêts et calculs financiers

📋 Plan du Cours

1. Taux et coefficients financiers
2. Intérêts simples et composés
3. Capitalisation des flux financiers
4. Durée et taux inconnus
5. Conversion des taux périodiques
6. Valeur acquise des annuités
7. Intérêts précomptés et post-comptés
8. Calculs en intérêt simple

📖 1. Taux et coefficients financiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’intérêt : Pourcentage appliqué au capital pour calculer les intérêts.

★ À maîtriser

📌 Le montant des intérêts, noté I, est une somme en euros gagnée qui s’ajoute au capital, tandis que i désigne le taux d’intérêt en pourcentage.

Compléments

• Dans le cours, les taux d’intérêt annuels sont compris entre 0 % et 24 %, et les taux mensuels entre 0 % et 2 %.

• Un taux de 24 % correspond à 0,24 et à un coefficient multiplicateur de 1,24 ; un taux de 2 % correspond à 0,02 et à 1,02 ; un taux de 0,5 % correspond à 0,005 et à 1,005.

📌 Le cours note le taux annuel iₐ et le taux mensuel iₘ.

📖 2. Intérêts simples et composés

🔑 Notions clés & Définitions

• Intérêts composés : Intérêts réinvestis qui produisent eux-mêmes des intérêts, car ils sont calculés sur un capital qui augmente.
• Intérêts simples : Intérêts toujours calculés sur le capital de départ, sans que les intérêts acquis produisent eux-mêmes des intérêts.

★ À maîtriser

📐 Formule - En intérêts composés, la valeur acquise après n périodes est $C_n = C_0(1+i)^n$, où C₀ est le capital initial et i le taux par période.

📐 Formule - En intérêts simples, la valeur acquise après n périodes est $C_n = C_0(1+in)$ et le montant des intérêts est $I = C_0in$.

Compléments

📐 Formule - En intérêts composés, le montant total des intérêts est $I = C_0[(1+i)^n - 1]$.

• Pour un capital de 10 000 € placé à 10 % pendant 30 ans, le cours donne une valeur acquise de 174 494,01 € en intérêts composés et de 40 000 € en intérêts simples.

💡 Astuce mémo

Intérêt simple : capital de départ ; intérêt composé : capital qui augmente.

📖 3. Capitalisation des flux financiers

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des flux aₖ versés aux dates k et une date d’équivalence n, la valeur acquise est $V_n = \sum_{k=1}^{n} a_k(1+i)^{n-k}$.

• Pour calculer la valeur acquise à une date commune, chaque flux est capitalisé de sa date d’apparition jusqu’à cette date, puis les valeurs acquises sont additionnées.

Compléments

• Au taux de 5 %, les flux de 22 000 € à la date 0, de 3 200 € à la date 1, de 2 200 € à la date 2 et de 5 500 € à la date 3 ont une valeur acquise à la date 3 de 22 000 × 1,05³ + 3 200 × 1,05² + 2 200 × 1,05 + 5 500.

• Dans un tableau de valeurs acquises, le capital en fin d’une période devient le capital en début de la période suivante.

• Pour des versements de 5 000 € aux dates 1, 2 et 3 et un capital de 22 000 € à la date 0, au taux de 4 %, la valeur acquise à la date 3 est 31 551,01 €.

💡 Astuce mémo

Sur une frise, chaque flux avance jusqu’à la date d’équivalence en accumulant ses périodes d’intérêts.

📖 4. Durée et taux inconnus

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour trouver la durée n d’un placement composé, on utilise $n = \frac{\ln(C_n/C_0)}{\ln(1+i)}$.

📐 Formule - Pour déterminer le taux composé i à partir du capital initial, du capital final et de la durée, on utilise $i = (C_n/C_0)^{1/n}-1$.

Compléments

📌 Pour a et b strictement positifs avec a différent de 1, l’équation $a^x=b$ a pour solution $x=\frac{\ln(b)}{\ln(a)}$.

• Un capital de 25 000 € placé à 12 % atteint 200 000 € en environ 18,34 années, selon le calcul logarithmique présenté.

• Pour deux placements en intérêts simples, 12 000 € à 14 % et 19 500 € à 8 %, le premier rejoint le second après 62,5 ans si les deux commencent simultanément.

• Dans le même problème, si le placement de 12 000 € commence deux ans après celui de 19 500 €, l’équation du cours donne une durée de 90,5 ans pour le second placement.

💡 Astuce mémo

Pour isoler n : diviser les capitaux, prendre les logarithmes, puis diviser par le logarithme du facteur.

📖 5. Conversion des taux périodiques

★ À maîtriser

📐 Formule - Le taux mensuel proportionnel au taux annuel iₐ est $i_{mp}=\frac{i_a}{12}$.

📐 Formule - Le taux mensuel équivalent au taux annuel iₐ est $i_{me}=(1+i_a)^{1/12}-1$, de sorte que la capitalisation mensuelle et annuelle donnent la même valeur au bout d’un an.

Compléments

• Pour un taux annuel de 12 %, le taux mensuel proportionnel est 1 %, tandis que le taux mensuel équivalent indiqué dans le cours est environ 0,94888 %.

• Avec un capital de 25 000 € et un taux annuel de 12 %, une conversion proportionnelle à 1 % par mois donne 28 170,63 € après douze mois.

💡 Astuce mémo

Proportionnel : diviser par 12 ; équivalent : égaliser les valeurs acquises sur un an.

📖 6. Valeur acquise des annuités

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour n versements constants a au taux i, la valeur acquise à la date du dernier versement est $V_n=a\frac{(1+i)^n-1}{i}$.

Compléments

• La formule de la valeur acquise d’une suite d’annuités constantes provient de la somme des valeurs acquises d’une suite géométrique.

• Le cours pose le calcul de la valeur acquise de versements de 100 € par mois sur un compte rémunéré pendant 12 ans, sans fournir le résultat.

💡 Astuce mémo

Chaque versement capitalise jusqu’à la date finale, puis les valeurs acquises s’additionnent.

📖 7. Intérêts précomptés et post-comptés

★ À maîtriser

📌 Avec des intérêts post-comptés, les intérêts sont versés à l’échéance ; avec des intérêts précomptés, ils sont déduits au départ du montant emprunté.

Compléments

📐 Formule - Pour obtenir effectivement 70 000 € avec des intérêts précomptés à 12 %, il faut emprunter $C_0=\frac{70\,000}{1-0{,}12}=79\,545{,}45\text{ €}$.

• Pour un emprunt de 70 000 € à 12 % sur un an avec intérêts précomptés, les intérêts de 8 400 € sont déduits du montant prêté et le taux effectif indiqué est 13,6 %.

💡 Astuce mémo

Post-comptés : intérêts payés à l’échéance ; précomptés : intérêts déduits dès le départ.

📖 8. Calculs en intérêt simple

★ À maîtriser

📐 Formule - En intérêts simples, le taux se calcule par $i=\frac{C_n-C_0}{C_0n}$.

Compléments

📌 Si la durée ne correspond pas à un nombre exact d’années dans un calcul d’intérêt simple, le cours indique qu’il faut séparer les périodes d’intérêts.

📌 Le cours indique que l’épargne utilise les intérêts simples acquis, tandis que l’amortissement d’un emprunt utilise des intérêts liés au crédit.