Fiche de révision : Introduction à la théorie des jeux

📋 Plan du Cours

1. Décision stratégique et interactions
2. Sport et décisions simultanées
3. Repères historiques de la théorie des jeux
4. Impossibilité du vote parfait
5. Maximin et minimax
6. Équilibre de Nash et exemples
7. Stratégies pures et mixtes
8. Coopération et jeux répétés

📖 1. Décision stratégique et interactions

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorie des jeux : Étude des choix d’individus rationnels en interaction et des conséquences de leurs choix.

★ À maîtriser

• La théorie des jeux sert à déterminer les stratégies optimales induites par les règles du jeu et à comparer ce que les joueurs devraient faire à ce qu’ils font réellement.

Compléments

📌 Une stratégie est un ensemble de tactiques, tandis qu’une tactique est un choix particulier au sein de cet ensemble.

💡 Astuce mémo

Stratégie optimale prescrite ≠ comportement réellement observé

📖 2. Sport et décisions simultanées

🔑 Notions clés & Définitions

• Sport : Situation motrice codifiée sous forme de compétition et institutionnalisée, dans laquelle la motricité est essentielle et ne peut être remplacée par la parole.

📝 Points essentiels

• Lors d’un tir au but, si le gardien choisit son côté en même temps que le tireur, le tireur doit adapter son choix à celui du gardien.

📖 3. Repères historiques de la théorie des jeux

🔑 Notions clés & Définitions

• Équilibre de Nash : John Nash (1950) introduit l’équilibre de Nash, situation où aucun joueur n’a intérêt à changer seul de stratégie.

📝 Points essentiels

• Blaise Pascal (1623–1662) et Fermat posent les bases du calcul des probabilités en étudiant le problème des partis.

• Émile Borel (1921) formule clairement la stratégie mixte et applique les probabilités à des jeux comme le bridge.

• John von Neumann (1944) est présenté comme le fondateur de la théorie des jeux moderne grâce au théorème minimax.

• Daniel Bernoulli (1700–1782) introduit l’utilité espérée pour résoudre le paradoxe de Saint-Pétersbourg.

• Thomas Schelling (1960) étudie l’influence des menaces, des engagements et de la communication dans les conflits stratégiques, notamment dans The Strategy of Conflict.

💡 Astuce mémo

Probabilités avec Pascal et Fermat, stratégies mixtes avec Borel, minimax avec von Neumann, équilibre avec Nash

📖 4. Impossibilité du vote parfait

★ À maîtriser

• Le théorème d’impossibilité d’Arrow affirme qu’aucune règle de décision collective ne peut satisfaire simultanément l’universalité, la non-dictature, l’indépendance des options non pertinentes et l’unanimité. - Kenneth Arrow

📌 Selon le théorème d’Arrow, aucun système de vote démocratique ne peut satisfaire parfaitement toutes ces conditions en même temps. - Kenneth Arrow

Compléments

• Kenneth Arrow cherchait à formaliser un système de vote qui traduise fidèlement les préférences individuelles en un choix collectif.

📖 5. Maximin et minimax

🔑 Notions clés & Définitions

• Stratégie minimax : John von Neumann, 1928 - Consiste à minimiser la perte maximale possible en choisissant l’option dont le pire résultat est le moins désavantageux.
• Stratégie maximin : Consiste à choisir la stratégie dont le gain minimal possible est le plus élevé.

📝 Points essentiels

📌 Dans un jeu à deux joueurs à somme nulle, le maximin et le minimax coïncident.

💡 Astuce mémo

Maximin protège le gain minimal ; minimax réduit la perte maximale

📖 6. Équilibre de Nash et exemples

🔑 Notions clés & Définitions

• Équilibre de Nash : Situation où chaque joueur choisit la meilleure stratégie compte tenu des choix des autres et où aucun joueur ne peut améliorer son résultat en changeant seul de stratégie.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple du cinéma et du football, les choix cinéma-cinéma et football-football sont des équilibres de Nash lorsque les deux joueurs préfèrent être ensemble plutôt que séparés.

• Dans le dilemme du prisonnier, les deux joueurs choisissent entre avouer et se taire ; s’ils avouent tous les deux, ils reçoivent une peine moyenne, et s’ils se taisent tous les deux, une peine légère.

📖 7. Stratégies pures et mixtes

🔑 Notions clés & Définitions

• Stratégie mixte : Consiste à choisir une tactique selon une probabilité.
• Stratégie pure : Consiste à choisir directement une tactique.

💡 Astuce mémo

Pure : choix direct ; mixte : choix selon une probabilité

📖 8. Coopération et jeux répétés

★ À maîtriser

• Lorsque le jeu est répété plusieurs fois, le cours indique que la coopération peut devenir une stratégie envisageable.

Compléments

📌 Dans un jeu joué une seule fois, trahir peut être rationnel pour un joueur qui raisonne de manière égoïste.

💡 Astuce mémo

La répétition permet d’envisager la coopération, contrairement au jeu joué une seule fois