QCM : Mathématiques financières et investissement — 29 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que signifie la valeur temps de l’argent ?

Un même montant conserve une valeur identique quelle que soit sa date de disponibilité
Un même montant peut avoir une valeur différente selon sa date de disponibilité
Un montant futur varie nécessairement en fonction de l’évolution générale des prix
Un montant présent dépend directement de la durée légale du placement

Un même montant peut avoir une valeur différente selon sa date de disponibilité

Explication

La valeur temps exprime que la date à laquelle un montant est disponible influence sa valeur économique. L’inflation concerne l’évolution générale des prix et ne se confond pas avec cette notion.

2. Dans quelle situation un agent ayant une préférence pour le présent accepterait-il de recevoir 100 euros dans un an plutôt qu’aujourd’hui ?

Lorsque le délai d’attente ne procure aucune rémunération supplémentaire
Lorsque le montant futur est inférieur au montant disponible aujourd’hui
Lorsque l’inflation anticipée est absente du calcul
Lorsque la rémunération compense le délai d’attente

Lorsque la rémunération compense le délai d’attente

Explication

La préférence pour le présent conduit l’agent à exiger une rémunération en échange du report de la réception. L’indifférence entre les deux dates, en revanche, ne nécessiterait pas de rémunération supplémentaire.

3. Quels éléments le taux d’intérêt nominal intègre-t-il lorsque les revenus ne sont pas indexés sur l’inflation ?

La durée du prêt et la consommation anticipée
La rémunération du prêt et l’inflation anticipée
Le risque de défaut et la croissance observée
La rémunération du prêt et l’inflation passée

La rémunération du prêt et l’inflation anticipée

Explication

Le taux nominal comprend la rémunération demandée pour le prêt ainsi que l’inflation anticipée lorsque les revenus ne suivent pas l’évolution des prix. L’inflation passée ou la croissance observée ne constituent pas, à elles seules, la définition donnée du taux nominal.

4. À quelle date correspond la valeur acquise d’un capital placé à la date présente ?

À une date future après la capitalisation du capital
À la date présente avant toute rémunération du capital
À une date antérieure après l’actualisation du flux
À la date du placement diminuée des intérêts produits

À une date future après la capitalisation du capital

Explication

La valeur acquise est la somme obtenue à une date future après le placement d’un capital présent. La valeur actuelle, au contraire, ramène un flux futur à une date présente ou antérieure.

5. Quel est le rôle de l’actualisation dans la comparaison de flux financiers ?

Remplacer les flux financiers par leurs montants nominaux futurs
Ajouter les intérêts produits à chaque flux déjà disponible
Ramener des flux futurs à une même date de référence
Reporter des capitaux présents vers des dates futures différentes

Ramener des flux futurs à une même date de référence

Explication

L’actualisation convertit des flux reçus à des dates différentes afin de les comparer à une même date de référence. Le report d’un capital présent vers le futur relève plutôt de la capitalisation et de la valeur acquise.

6. Pour un capital C0C_0 à la date 0, quelle relation distingue la valeur acquise CnC_n de la valeur actuelle CpC_p ?

Cn=C0−IpC_n=C_0-I_p et Cp=C0−InC_p=C_0-I_n
Cn=C0−InC_n=C_0-I_n et Cp=C0+IpC_p=C_0+I_p
Cn=C0+IpC_n=C_0+I_p et Cp=C0+InC_p=C_0+I_n
Cn=C0+InC_n=C_0+I_n et Cp=C0−IpC_p=C_0-I_p

$$C_n=C_0+I_n$$ et $$C_p=C_0-I_p$$

Explication

La valeur acquise ajoute les intérêts au capital initial, tandis que la valeur actuelle les retranche pour ramener un flux à une date antérieure. Les autres relations inversent ou mélangent les indices et les opérations.

7. Comment définir le taux d’intérêt ii relatif à une unité de temps ?

La durée nécessaire pour récupérer un capital de 1 euro sans revenu
Le capital total nécessaire pour obtenir 1 euro pendant cette unité de temps
Le revenu produit par un capital de 1 euro pendant cette unité de temps
La différence entre un capital futur et son capital initial à toute date

Le revenu produit par un capital de 1 euro pendant cette unité de temps

Explication

Le taux ii mesure le revenu généré pendant une unité de temps par un capital de 1 euro. Il ne désigne ni le capital investi, ni une durée, ni une différence calculée sans préciser le capital de départ.

8. Pour quelle durée les intérêts simples sont-ils principalement utilisés en pratique ?

Les investissements financiers à très long terme
Les opérations financières à court terme
Les emprunts dont le taux varie à chaque période
Les placements dont les intérêts sont réinvestis

Les opérations financières à court terme

Explication

Les intérêts simples sont principalement adaptés aux opérations financières à court terme. Les intérêts composés correspondent davantage aux placements de moyen ou long terme, car les intérêts sont réinvestis.

9. Un capital de 8 0008\,000 euros est placé à intérêts simples au taux annuel de 5%5\% pendant 33 ans. Quel intérêt produit-il ?

1 2001\,200 euros
1 6801\,680 euros
1 4001\,400 euros
1 2601\,260 euros

$$1\,200$$ euros

Explication

La formule donne In=C0in=8 000×0,05×3=1 200I_n=C_0in=8\,000\times0{,}05\times3=1\,200 euros. Le calcul composé utiliserait une puissance de 1+i1+i, ce qui ne correspond pas aux intérêts simples.

10. Un capital de 5 0005\,000 euros est placé à intérêts simples au taux annuel de 4%4\% pendant 22 ans. Quelle est sa valeur acquise ?

5 8005\,800 euros
5 4005\,400 euros
5 4085\,408 euros
6 0006\,000 euros

$$5\,400$$ euros

Explication

La valeur acquise est Cn=C0(1+in)=5 000(1+0,04×2)=5 400C_n=C_0(1+in)=5\,000(1+0{,}04\times2)=5\,400 euros. Le montant 5 4085\,408 euros proviendrait d’une capitalisation composée, et non d’un calcul à intérêts simples.

11. Que caractérise le mécanisme des intérêts composés à la fin de chaque période ?

Les intérêts sont calculés sur le capital initial sans réinvestissement
Les intérêts sont ajoutés au capital et produisent à leur tour des intérêts
Les intérêts sont convertis en un taux fixe indépendant du capital
Les intérêts sont retirés du capital avant le calcul de la période suivante

Les intérêts sont ajoutés au capital et produisent à leur tour des intérêts

Explication

Avec les intérêts composés, les intérêts de chaque période sont incorporés au capital, puis génèrent eux-mêmes des intérêts. Un calcul sur le capital initial sans réinvestissement décrit plutôt les intérêts simples.

12. Un capital de 10 00010\,000 euros est placé à intérêts composés au taux annuel de 6%6\% pendant 22 ans. Quelle valeur acquise obtient-on ?

11 36011\,360 euros
12 00012\,000 euros
11 20011\,200 euros
11 23611\,236 euros

$$11\,236$$ euros

Explication

La formule composée donne Cn=C0(1+i)n=10 000(1,06)2=11 236C_n=C_0(1+i)^n=10\,000(1{,}06)^2=11\,236 euros. Le montant 11 20011\,200 euros correspondrait au calcul linéaire des intérêts simples.

13. Un capital futur de 12 10012\,100 euros est évalué deux ans avant son échéance au taux composé annuel de 10%10\%. Quelle est sa valeur actuelle ?

10 10010\,100 euros
10 00010\,000 euros
10 89010\,890 euros
14 64114\,641 euros

$$10\,000$$ euros

Explication

La valeur actuelle est Cp=C0(1+i)−p=12 100(1,10)−2=10 000C_p=C_0(1+i)^{-p}=12\,100(1{,}10)^{-2}=10\,000 euros. Multiplier par 1,1021{,}10^2 conduirait à une valeur future plutôt qu’à une actualisation.

14. Quelle condition exprime l’équivalence, à la date dd, de deux capitaux C1C_1 et C2C_2 échéant aux dates k1k_1 et k2k_2 au taux composé ii ?

C1+C2=C1(1+i)k1−k2C_1+C_2=C_1(1+i)^{k_1-k_2}
C1(k1−d)=C2(k2−d)C_1(k_1-d)=C_2(k_2-d)
C1(1+i)−(k1−d)=C2(1+i)−(k2−d)C_1(1+i)^{-(k_1-d)}=C_2(1+i)^{-(k_2-d)}
C1(1+i)k1=C2(1+i)k2C_1(1+i)^{k_1}=C_2(1+i)^{k_2}

$$C_1(1+i)^{-(k_1-d)}=C_2(1+i)^{-(k_2-d)}$$

Explication

L’équivalence exige que les deux capitaux aient la même valeur actualisée à la date de comparaison, ce que traduit la formule donnée. La relation sans puissances ne tient pas compte de la capitalisation composée.

15. Si deux capitaux sont équivalents à intérêts composés à une date donnée, que peut-on en déduire ?

Ils deviennent équivalents avec tout taux choisi pour l’opération
Ils cessent d’être équivalents dès que la date de comparaison change
Ils doivent avoir la même valeur nominale à chaque échéance
Ils restent équivalents à toute autre date avec le même taux

Ils restent équivalents à toute autre date avec le même taux

Explication

L’équivalence à intérêts composés se conserve lorsqu’on transporte les deux capitaux à une autre date avec le même taux. Elle ne signifie ni que les capitaux ont la même valeur nominale ni que l’équivalence vaut pour tout taux.

16. Un capital futur de 10 60010\,600 euros est exigible dans 22 ans au taux simple annuel de 3%3\%. Quelle est sa valeur actuelle selon l’escompte rationnel ?

Environ 10 01810\,018 euros
Environ 10 00010\,000 euros
Environ 9 3649\,364 euros
Environ 10 63610\,636 euros

Environ $$10\,000$$ euros

Explication

La valeur actuelle est Cp=C01+ip=10 6001+0,03×2=10 000C_p=\frac{C_0}{1+ip}=\frac{10\,600}{1+0{,}03\times2}=10\,000 euros. L’escompte rationnel calcule les intérêts sur la valeur actuelle, contrairement à l’escompte commercial qui les calcule sur la valeur acquise.

17. Deux taux d’intérêt appliqués à des périodes de capitalisation différentes sont-ils équivalents lorsqu’ils produisent quelle conséquence pour un même capital et une même durée ?

La même durée de placement
Le même intérêt simple
Le même taux périodique
La même valeur acquise

La même valeur acquise

Explication

Des taux équivalents conduisent à une valeur acquise identique pour un capital et une durée donnés. Des taux proportionnels peuvent, en intérêts composés, produire des valeurs acquises différentes.

18. Si ii désigne le taux annuel et iki_k le taux d’une période kk fois plus courte, quelle relation exprime leur équivalence ?

1+i=1+kik1+i=1+k i_k
1+i=(1+ik)k1+i=(1+i_k)^k
i=(1+ik)1/k−1i=(1+i_k)^{1/k}-1
1+ik=(1+i)k1+i_k=(1+i)^k

$$1+i=(1+i_k)^k$$

Explication

L’équivalence repose sur la composition du taux infra-annuel pendant kk périodes, d’où 1+i=(1+ik)k1+i=(1+i_k)^k. La relation 1+kik1+k i_k correspond à une proportion simple et ne garantit pas l’équivalence en intérêts composés.

19. Comment convertit-on un taux annuel effectif ii en taux équivalent pour une période kk fois plus courte ?

ik=(1+i)k−1i_k=(1+i)^k-1
ik=iki_k=\frac{i}{k}
ik=(1+i)1/k−1i_k=(1+i)^{1/k}-1
ik=1+ik−1i_k=\frac{1+i}{k}-1

$$i_k=(1+i)^{1/k}-1$$

Explication

Le taux équivalent infra-annuel s’obtient en prenant la racine kk-ième du facteur annuel, puis en retranchant un. Le quotient i/ki/k donne un taux proportionnel, qui peut différer du taux équivalent.

20. À intérêts composés, quelle affirmation distingue correctement deux taux proportionnels ?

Ils vérifient nécessairement la composition par puissances.
Ils correspondent à des périodes de même durée.
Ils produisent une valeur acquise identique.
Ils peuvent produire des valeurs acquises différentes.

Ils peuvent produire des valeurs acquises différentes.

Explication

À intérêts composés, la simple proportion entre les taux ne suffit pas à assurer l’équivalence, si bien que les valeurs acquises peuvent différer. La composition par puissances caractérise la relation d’équivalence plutôt que la proportionnalité.

21. Quelle caractéristique est indispensable pour qu’une suite de versements soit appelée une annuité ?

Des montants identiques à chaque versement
Un nombre de versements égal à la durée du prêt
Des intervalles de temps constants entre les versements
Un versement effectué à la date d’origine

Des intervalles de temps constants entre les versements

Explication

Une annuité est définie par des versements effectués à intervalles de temps constants, même si leurs montants peuvent varier. Une suite de versements irrégulièrement espacés ne constitue donc pas une annuité au sens financier considéré.

22. Quels éléments définissent une suite d’annuités ?

La fréquence des intérêts, le capital acquis, le risque et la date de clôture
Le taux annuel, la durée totale, le capital initial et le montant final
Le nombre de périodes, le taux nominal, les frais bancaires et le solde final
L’intervalle entre règlements, leur nombre, leurs montants et la date du premier versement

L’intervalle entre règlements, leur nombre, leurs montants et la date du premier versement

Explication

La structure d’une suite d’annuités repose sur l’intervalle dd, le nombre nn, les montants aia_i et la position temporelle du premier versement. Les autres ensembles mélangent des paramètres financiers qui ne définissent pas cette structure.

23. Pour des versements quelconques effectués en fin de période, que représente la formule V0=∑k=1nak(1+i)−kV_0=\sum_{k=1}^{n}a_k(1+i)^{-k} ?

La somme non actualisée des versements périodiques
La valeur des versements à la date d’origine
Le montant du dernier versement augmenté des intérêts
La valeur capitalisée des versements à la date finale

La valeur des versements à la date d’origine

Explication

Chaque versement aka_k est actualisé jusqu’à la date 0 par le facteur (1+i)−k(1+i)^{-k}, ce qui donne V0V_0. La valeur à la date finale s’obtient plutôt en capitalisant les versements selon la formule de VnV_n.

24. Quelle formule donne la valeur actuelle de nn annuités constantes aa versées aux dates 11 à nn ?

V0=an(1+i)V_0=an(1+i)
V0=a(1+i)nV_0=a(1+i)^n
V0=a(1+i)n−1iV_0=a\frac{(1+i)^n-1}{i}
V0=a1−(1+i)−niV_0=a\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}

$$V_0=a\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$$

Explication

La valeur actuelle actualise chaque versement à la date 0 et s’écrit a1−(1+i)−nia\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}. L’expression contenant (1+i)n−1(1+i)^n-1 correspond à la valeur future des versements.

25. Quelle formule permet de calculer la valeur future de nn annuités constantes aa versées aux dates 11 à nn ?

Vn=a(1+i)n−1iV_n=a\frac{(1+i)^n-1}{i}
Vn=a(1+i)−nV_n=a(1+i)^{-n}
Vn=a1−(1+i)−niV_n=a\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}
Vn=an(1+i)−1V_n=an(1+i)^{-1}

$$V_n=a\frac{(1+i)^n-1}{i}$$

Explication

La valeur future capitalise chaque versement jusqu’à la date nn, ce qui donne a(1+i)n−1ia\frac{(1+i)^n-1}{i}. La formule avec (1+i)−n(1+i)^{-n} calcule la valeur actuelle à la date 0.

26. Pour une rente perpétuelle, quelle grandeur financière est calculée lorsque le nombre de périodes tend vers l’infini ?

Le montant cumulé après la dernière période
La valeur acquise du dernier versement
La valeur actuelle de la rente
La valeur future d’un capital arrivé à échéance

La valeur actuelle de la rente

Explication

Lorsque la rente se prolonge indéfiniment, une valeur acquise à une échéance finale n’est pas définie de manière pertinente. L’analyse porte donc sur la valeur actuelle des versements futurs, et non sur un capital accumulé jusqu’à une dernière période.

27. Une annuité perpétuelle constante verse un montant annuel aa à partir de la période suivante, au taux d’intérêt ii. Quelle formule donne sa valeur actuelle ?

V0=a+iV_0=a+i
V0=aiV_0=\frac{a}{i}
V0=a×iV_0=a\times i
V0=iaV_0=\frac{i}{a}

$$V_0=\frac{a}{i}$$

Explication

La valeur actuelle d’une annuité constante perpétuelle dont le premier versement intervient à la période suivante est obtenue en divisant le versement périodique par le taux. Les autres expressions ne correspondent pas à l’actualisation d’une rente perpétuelle.

28. Dans quelle situation la méthode de dichotomie peut-elle encadrer efficacement la solution d’une équation financière ?

Lorsque la fonction ne permet aucune comparaison entre deux bornes
Lorsque la fonction est monotone sur l’intervalle étudié
Lorsque la fonction change de formule à chaque essai
Lorsque les valeurs testées sont choisies sans intervalle initial

Lorsque la fonction est monotone sur l’intervalle étudié

Explication

La dichotomie repose sur des essais successifs à l’intérieur d’un intervalle où le comportement monotone de la fonction permet de resserrer l’encadrement de la solution. Une sélection de valeurs sans intervalle de départ ne fournit pas ce mécanisme d’encadrement.

29. Pour estimer une racine kk par interpolation linéaire entre deux points aa et bb, quelle expression faut-il utiliser ?

x0′=a−(b−a)f(b)+kf(b)−f(a)x'_0=a-(b-a)\frac{f(b)+k}{f(b)-f(a)}
x0′=a+(b−a)f(b)−kf(b)+f(a)x'_0=a+(b-a)\frac{f(b)-k}{f(b)+f(a)}
x0′=b−(b−a)f(b)−kf(b)−f(a)x'_0=b-(b-a)\frac{f(b)-k}{f(b)-f(a)}
x0′=b+(b−a)f(a)−kf(b)−f(a)x'_0=b+(b-a)\frac{f(a)-k}{f(b)-f(a)}

$$x'_0=b-(b-a)\frac{f(b)-k}{f(b)-f(a)}$$

Explication

L’interpolation linéaire estime la position de la racine en utilisant la droite reliant les valeurs de la fonction aux bornes, ce qui conduit à l’expression donnée. Les autres formules modifient le signe, le dénominateur ou le point de référence et ne représentent pas cette interpolation.

Révisez avec les flashcards

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Que signifie la valeur temps en économie monétaire ?

Un même montant monétaire a une valeur différente selon sa date de disponibilité.

Pourquoi les agents préfèrent-ils généralement le présent ?

Ils préfèrent le présent car ils veulent une rémunération pour compenser un délai.

Quand les agents acceptent-ils de recevoir 100 dans un an plutôt qu'aujourd'hui ?

Quand la rémunération compense le délai d'attente.

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