Fiche de révision : Mathématiques financières et investissement

📋 Plan du Cours

1. Valeur temps et choix intertemporel
2. Valeurs acquise et actuelle
3. Notations et hypothèses financières
4. Intérêts simples à court terme
5. Intérêts composés à long terme
6. Équivalence des capitaux
7. Taux équivalents et proportionnels
8. Structure et évaluation des annuités
9. Annuités constantes et perpétuelles
10. Résolution numérique d’équations financières

📖 1. Valeur temps et choix intertemporel

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur temps : La valeur temps signifie qu’un même montant monétaire n’a pas la même valeur selon la date à laquelle il est disponible.
• Taux d’intérêt nominal : Intègre la rémunération demandée pour un prêt et l’inflation anticipée lorsque les revenus ne sont pas indexés sur l’inflation.

★ À maîtriser

📌 Les agents ont généralement une préférence pour le présent et acceptent de recevoir 100 dans un an plutôt qu’aujourd’hui seulement si la rémunération compense le délai.

Compléments

📌 Un prêt implique de renoncer à des placements sur les marchés financiers et à des investissements potentiellement productifs, ce qui justifie rationnellement une rémunération du prêteur.

💡 Astuce mémo

Préférence pour le présent → rémunération du prêt

📖 2. Valeurs acquise et actuelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur acquise : Somme disponible à une date future après le placement d’un capital à la date présente.
• Valeur actuelle : Valeur aujourd’hui, ou à une date antérieure, d’un actif ou d’un flux financier disponible à une date future.

📝 Points essentiels

📌 L’actualisation permet de comparer des flux financiers qui arrivent à des dates différentes.

💡 Astuce mémo

Acquise : futur ; actuelle : aujourd’hui

📖 3. Notations et hypothèses financières

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’intérêt : Revenu produit par un capital de 1 euro pendant une unité de temps donnée.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un capital C0 à la date 0, la valeur acquise à la date n vérifie $C_n=C_0+I_n$ et la valeur actuelle à la date p vérifie $C_p=C_0-I_p$.

Compléments

• Les hypothèses générales sont: un taux d’actualisation égal au taux d’intérêt i, un taux d’intérêt exogène, un paiement des intérêts à terme échu, une structure de taux plate

• Chaque période est repérée par un indice k, avec k = 0, 1, 2, …, et la période 0 correspond à la période courante.

📖 4. Intérêts simples à court terme

★ À maîtriser

📐 Formule — Avec des intérêts simples, l’intérêt produit par un capital C0 au taux i pendant n périodes est $I_n=C_0in$.

📐 Formule — Avec des intérêts simples, la valeur acquise après n périodes est $C_n=C_0(1+in)$.

📌 Les intérêts simples s’appliquent essentiellement aux opérations financières à court terme, tandis que les intérêts composés concernent principalement le moyen et le long terme.

Compléments

📌 Dans un calcul d’intérêts simples, le taux i et la durée n doivent être exprimés dans la même unité de temps.

📖 5. Intérêts composés à long terme

🔑 Notions clés & Définitions

• Intérêt composé : Consiste à ajouter les intérêts produits durant chaque période au capital à la fin de cette période afin qu’ils produisent eux-mêmes des intérêts.

★ À maîtriser

📐 Formule — À intérêts composés, la valeur acquise après n périodes est $C_n=C_0(1+i)^n$.

📐 Formule — La valeur actuelle d’un capital C0 disponible à la date 0 et évalué à la date p à intérêts composés est $C_p=C_0(1+i)^{-p}$.

Compléments

📐 Formule — À intérêts composés, le montant des intérêts est $I_n=C_0[(1+i)^n-1]$.

• La valeur acquise à intérêts composés est une fonction croissante et convexe du temps.

💡 Astuce mémo

Capitalisation des intérêts → croissance composée

📖 6. Équivalence des capitaux

★ À maîtriser

📐 Formule — Deux capitaux C1 et C2 échéant respectivement aux dates k1 et k2 sont équivalents à la date d au taux composé i si $C_1(1+i)^{-(k_1-d)}=C_2(1+i)^{-(k_2-d)}$.

📐 Formule — À intérêts simples, la valeur actuelle d’un capital futur C0 est $C_p=\frac{C_0}{1+ip}$ et l’escompte rationnel est $e_R=\frac{C_0ip}{1+ip}$.

📌 Deux capitaux équivalents à intérêts composés à une date donnée le sont à n’importe quelle autre date.

Compléments

📌 Deux capitaux équivalents à un taux composé i ne sont généralement pas équivalents à un autre taux composé.

📖 7. Taux équivalents et proportionnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux équivalents : Deux taux d’intérêt relatifs à des périodes de capitalisation différentes sont équivalents s’ils conduisent à des valeurs acquises égales pour un même capital et une même durée.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si i est le taux annuel et ik le taux relatif à une période k fois plus faible que l’année, leur équivalence vérifie $1+i=(1+i_k)^k$.

📐 Formule — Les conversions entre taux équivalents sont $i_k=(1+i)^{1/k}-1$ et $i=(1+i_k)^k-1$.

📌 À intérêts composés, deux taux proportionnels ne sont pas équivalents.

Compléments

• Pour un taux mensuel, le nombre de périodes infra-annuelles est k = 12.

💡 Astuce mémo

Taux équivalents ≠ taux proportionnels

📖 8. Structure et évaluation des annuités

🔑 Notions clés & Définitions

• Annuité : Versement effectué à intervalles de temps constants pour constituer un capital, rembourser une dette ou atteindre toute autre fin financière.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour n annuités quelconques ak versées en fin de période, les valeurs à la date 0 et à la date n sont $V_0=\sum_{k=1}^{n}a_k(1+i)^{-k}$ et $V_n=\sum_{k=1}^{n}a_k(1+i)^{n-k}$.

• Une suite d’annuités est définie par: l’intervalle d entre deux règlements, le nombre n de versements, les montants ai des versements, la date du premier versement par rapport à l’origine

Compléments

📌 L’évaluation d’une annuité doit utiliser un taux i relatif à la période séparant deux annuités.

📌 Une annuité peut être versée en fin de période, en début de période ou après un délai lorsqu’elle est différée.

📖 9. Annuités constantes et perpétuelles

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour n annuités constantes a versées aux dates 1 à n, la valeur actuelle est $V_0=a\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$.

📐 Formule — Pour n annuités constantes a versées aux dates 1 à n, la valeur future est $V_n=a\frac{(1+i)^n-1}{i}$.

Compléments

📐 Formule — La valeur actuelle et la valeur future d’une suite d’annuités constantes sont liées par $V_0=V_n(1+i)^{-n}$.

📐 Formule — Pour un prêt de 120 000 euros remboursé par 48 mensualités constantes, la mensualité a est déterminée par l’égalité $120000=a\frac{1-(1+i)^{-48}}{i}$, où i est le taux mensuel.

📖 10. Résolution numérique d’équations financières

★ À maîtriser

📐 Formule — La valeur actuelle d’une annuité constante perpétuelle a versée à partir de la période suivante est $V_0=\frac{a}{i}$.

📐 Formule — L’interpolation linéaire entre a et b estime la racine k par $x'_0=b-(b-a)\frac{f(b)-k}{f(b)-f(a)}$.

📌 Pour une rente perpétuelle, la valeur acquise n’a pas de sens lorsque n tend vers l’infini et seule la valeur actuelle est calculée.

• La dichotomie encadre la solution d’une équation par des essais successifs lorsque la fonction est monotone sur l’intervalle étudié.

Compléments

📐 Formule — Pour le calcul numérique présenté, la fonction est $f(x)=10000(1+x)^{48}+1000((1+x)^{48}-1)-70980$ et la solution recherchée vérifie f(x)=0.

• Pour obtenir une rente annuelle perpétuelle constante de 500 euros avec un taux d’intérêt de 3 %, le capital à placer aujourd’hui est $V_0=\frac{500}{0{,}03}$.

• Dans l’exemple, avec a = 0,00682149, f(a) = −3,79464, b = 0,00720732 et f(b) = 1,74305, l’interpolation donne x′0 = 0,00708587568.

💡 Astuce mémo

Encadrer par dichotomie → affiner par interpolation

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des régimes d’intérêt