Fiche de révision : Risques de marché et liquidité

📋 Plan du Cours

1. Black-Scholes et sensibilités
2. Modèles de pricing alternatifs
3. VaR, ES et backtesting
4. Volatilité et régimes de marché
5. Tracking Error et risque relatif
6. RiskMetrics et modèles factoriels
7. Liquidité et stress de portefeuille
8. Facteurs de risque par instrument
9. Instruments financiers essentiels
10. Duration, DV01 et convexité
11. Corrélation et diversification
12. Outils et diagnostics d’entretien

📖 1. Black-Scholes et sensibilités

★ À maîtriser

📐 Formule — Le prix d’un call européen vérifie $C = S_0N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$ et celui d’un put européen vérifie $P = Ke^{-rT}N(-d_2) - S_0N(-d_1)$.

📐 Formule — Les paramètres de Black-Scholes sont $d_1 = \frac{\ln(S_0/K)+(r+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}$ et $d_2 = d_1-\sigma\sqrt{T}$.

📐 Formule — L’approximation du P&L d’une option est $\Delta V \approx \Delta\,\Delta S + \frac{1}{2}\Gamma(\Delta S)^2 + Vega\,\Delta\sigma + Theta\,\Delta t + Rho\,\Delta r$.

📌 Black-Scholes est rapide et utile pour l’intuition, mais ses hypothèses de volatilité et de taux constants, de lognormalité, de marchés sans friction et de couverture continue limitent son usage pour les exotiques ou les marchés à smile marqué.

Compléments

📐 Formule — Sous mesure risque-neutre, la dynamique de l’actif est $dS = rS\,dt + \sigma S\,dW$, où le drift μ est remplacé par le taux sans risque r.

💡 Astuce mémo

Hypothèses simplificatrices → modèle rapide mais limites face au smile

📖 2. Modèles de pricing alternatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Modèle de Heston : représente une volatilité stochastique selon $dV = \kappa(\theta-V)dt + \xi\sqrt{V}\,dW$ et permet de modéliser un smile ou un skew dynamiques

★ À maîtriser

📌 Un arbre binomial ou trinomial convient notamment aux options américaines, tandis que la volatilité locale de Dupire est calibrée à la surface de volatilité pour reproduire le smile statique.

📌 Pour choisir un modèle, il faut d’abord identifier le besoin — exercice anticipé, smile, sauts, dépendance au chemin ou dynamique de courbe — puis évaluer le model risk, la calibration et le backtesting.

Compléments

📌 Le modèle de Merton jump-diffusion ajoute des sauts de Poisson pour capturer les queues épaisses et les gaps, contrairement à un modèle purement diffusif.

💡 Astuce mémo

Smile, sauts, taux ou exercice : chaque problème appelle un modèle

📖 3. VaR, ES et backtesting

🔑 Notions clés & Définitions

• Value-at-Risk : le quantile de perte qui n’est dépassé qu’avec une probabilité de 1−α, soit $VaR_\alpha(L)=\inf\{l:P(L\le l)\ge\alpha\}$
• Expected Shortfall : la perte moyenne conditionnelle au dépassement de la VaR, soit $ES_\alpha = E[L\mid L>VaR_\alpha]$

📝 Points essentiels

• Le calcul de la VaR peut être historique, paramétrique ou fondé sur Monte Carlo.

• Une VaR à 99 % sur 250 jours implique environ 2 à 3 exceptions attendues en moyenne.

💡 Astuce mémo

VaR localise la queue, ES mesure sa sévérité

📖 4. Volatilité et régimes de marché

★ À maîtriser

📐 Formule — L’annualisation de la volatilité journalière s’écrit $\sigma_{ann}=\sigma_{daily}\sqrt{252}$ sous les hypothèses usuelles.

📐 Formule — L’EWMA met davantage de poids sur les observations récentes selon $\sigma_t^2=\lambda\sigma_{t-1}^2+(1-\lambda)r_{t-1}^2$.

📌 La volatilité implicite est celle qui égalise le prix de marché d’une option et le prix du modèle, tandis que la volatilité réalisée est mesurée ex post à partir des données de marché.

Compléments

📐 Formule — Un modèle GARCH(1,1) capture le clustering de volatilité selon $\sigma_t^2=\omega+\alpha r_{t-1}^2+\beta\sigma_{t-1}^2$.

💡 Astuce mémo

Mesurer → pondérer le passé → détecter le régime

📖 5. Tracking Error et risque relatif

🔑 Notions clés & Définitions

• Tracking Error : l’écart-type des rendements actifs, avec $TE_{ex-post}=Std(R_P-R_B)$

★ À maîtriser

📐 Formule — Le Tracking Error ex ante s’estime par $TE_{ex-ante}=\sqrt{a^T\Sigma a}$, où $a=w_P-w_B$ représente les poids actifs.

Compléments

📐 Formule — L’Information Ratio est le rendement actif moyen divisé par le Tracking Error, soit $IR=\frac{E[R_P-R_B]}{TE}$.

💡 Astuce mémo

Volatilité/VaR = risque absolu ; TE = écart au benchmark

📖 6. RiskMetrics et modèles factoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Modèle factoriel : décompose le rendement d’un actif en facteurs communs et risque spécifique selon $R_i=\beta_i^TF+\varepsilon_i$
• RiskMetrics : un cadre historique de mesure du risque fondé sur des volatilités et covariances dynamiques, notamment via l’EWMA

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un modèle factoriel, la variance totale est $Var(R_p)=\beta_p^T\Sigma_F\beta_p+Var(\varepsilon_p)$.

Compléments

📌 Barra sert à mesurer le risque relatif, décomposer les contributions par facteurs et identifier les concentrations, plutôt qu’à produire uniquement un chiffre de Tracking Error.

💡 Astuce mémo

Données récentes et facteurs → covariance dynamique et risque explicable

📖 7. Liquidité et stress de portefeuille

🔑 Notions clés & Définitions

• Risque de liquidité : l’impossibilité de vendre un actif assez vite sans coût ou impact excessif

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le coût de liquidation comprend approximativement le spread et l’impact de marché, soit $Cost\approx Spread\ Cost+Market\ Impact$, et le délai vérifie $Days-to-liquidate\approx Position/Tradable\ ADV$.

• Un stress de liquidité teste la capacité du fonds à faire face à des rachats et à une dégradation des conditions de marché.

💡 Astuce mémo

Rachats rapides → ventes forcées → coûts et portefeuille résiduel

📖 8. Facteurs de risque par instrument

📝 Points essentiels

• Pour les obligations et le crédit, les facteurs surveillés comprennent:

  • La courbe des taux
  • La duration, le DV01 et la convexité
  • Les spreads et la spread duration
  • La probabilité de défaut et le recovery
  • Le rating, la concentration émetteur et la seniorité
  • La liquidité

• Pour les dérivés, les facteurs à surveiller incluent les sensibilités, la volatilité et son smile, le carry, la basis, les taux, les corrélations, la liquidité, ainsi que le risque de contrepartie et de collatéral pour les dérivés OTC.

📖 9. Instruments financiers essentiels

🔑 Notions clés & Définitions

• Swap de taux : échange des flux fixes contre des flux variables sur un notionnel

★ À maîtriser

📌 Un forward est un contrat OTC personnalisé d’achat ou de vente future à prix fixé aujourd’hui, tandis qu’un future est standardisé, négocié sur un marché organisé et margé quotidiennement.

📌 Un call donne le droit d’acheter à un prix d’exercice K, tandis qu’un put donne le droit de vendre à K.

Compléments

📌 Une option européenne ne peut être exercée qu’à maturité, tandis qu’une option américaine peut être exercée avant la maturité.

💡 Astuce mémo

Forward OTC personnalisé, future standardisé et margé

📖 10. Duration, DV01 et convexité

🔑 Notions clés & Définitions

• Duration de Macaulay : la moyenne pondérée des maturités des flux de trésorerie d’une obligation

📝 Points essentiels

📐 Formule — La variation relative du prix obligataire s’approxime par $\Delta P/P\approx-D_{mod}\Delta y+\frac{1}{2}C(\Delta y)^2$.

📐 Formule — Le DV01 est approximativement $DV01\approx D_{mod}\times P\times0.0001$ et mesure la variation monétaire du prix pour une hausse de taux de 1 point de base.

📌 Pour une obligation classique à flux fixes, une hausse des taux diminue le prix, et une obligation zéro-coupon de 10 ans a une duration de Macaulay de 10 ans.

💡 Astuce mémo

Duration = premier ordre ; convexité = correction du second ordre

📖 11. Corrélation et diversification

★ À maîtriser

📐 Formule — La corrélation est la covariance normalisée selon $\rho=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$ et appartient à l’intervalle [-1,+1].

📐 Formule — Pour deux actifs, la variance du portefeuille est $\sigma_p^2=w_1^2\sigma_1^2+w_2^2\sigma_2^2+2w_1w_2\rho\sigma_1\sigma_2$.

📌 Une corrélation inférieure à 1 peut réduire le risque d’un portefeuille, tandis qu’une corrélation négative apporte généralement davantage de diversification.

Compléments

• En période de crise, les corrélations peuvent augmenter fortement, ce qui rend la diversification moins efficace.

💡 Astuce mémo

Corrélation plus faible → variance potentiellement réduite

📖 12. Outils et diagnostics d’entretien

📝 Points essentiels

• Un contrôle quotidien de risque peut être automatisé par extraction SQL, contrôles Python, définition de seuils et d’alertes, journalisation des anomalies, restitution et tests.

• Face à une anomalie de risque, il faut d’abord vérifier les données, quantifier l’écart, décomposer les facteurs explicatifs, juger la cohérence économique, puis documenter et escalader.

• Pour une VaR 99 % à 1 jour de 3 M€ et un P&L quotidien de −4 M€, il y a une exception de VaR, mais il faut encore examiner les positions, les prix, le change, les données de marché et les événements de marché.

💡 Astuce mémo

Donnée → écart → drivers → cohérence → escalade

📊 Tableaux de synthèse

Mesures du risque

Méthodes de calcul de la VaR