Fiche de révision : Représentation de l’information en binaire

📋 Plan du Cours

1. Bases décimale et binaire
2. Conversions décimal et binaire
3. Bits octets et hexadécimal
4. Entiers relatifs et complément à deux
5. Capacité et taille des entiers
6. Nombres flottants binaires
7. Norme IEEE 754
8. Encodage des caractères

📖 1. Bases décimale et binaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Base : Un système de comptage dans lequel chaque rang vaut une puissance de l’indice de la base.

★ À maîtriser

• Le système décimal, appelé base 10, utilise les dix chiffres de 0 à 9.

• En base b, la valeur du rang de position n est $b^n$.

• Le système binaire est la base 2, dans laquelle chaque bit ne peut prendre que la valeur 0 ou 1.

Compléments

• Le nombre 2019 en base 10 s’écrit $2\times10^3+0\times10^2+1\times10^1+9\times10^0$.

• Dans un circuit électrique, 1 représente le passage du courant et 0 son absence.

💡 Astuce mémo

Décimal : puissances de 10 ; binaire : puissances de 2

📖 2. Conversions décimal et binaire

★ À maîtriser

• Pour convertir un nombre décimal en binaire, on le divise successivement par 2, on conserve chaque reste, puis on lit les restes de bas en haut lorsque le quotient devient nul.

• Pour convertir un nombre binaire en décimal, on multiplie chaque bit par $2^n$, où n est son rang en commençant par 0 à droite, puis on additionne les résultats.

• Un nombre codé sur n bits peut représenter $2^n$ valeurs différentes.

Compléments

• Les nombres décimaux 11 et 13 s’écrivent respectivement 1011 et 1101 en binaire.

💡 Astuce mémo

Diviser, noter les restes, lire de bas en haut

📖 3. Bits octets et hexadécimal

🔑 Notions clés & Définitions

• Octet : Un ensemble de 8 bits.

★ À maîtriser

• Le système hexadécimal est la base 16 et utilise les chiffres 0 à 9 ainsi que les lettres A à F.

• Le plus grand chiffre hexadécimal est F, qui vaut 15 en décimal et 1111 en binaire.

• 🔄 La conversion binaire-hexadécimal consiste à:

  1. Ajouter des zéros à gauche si nécessaire
  2. Regrouper les bits quatre par quatre
  3. Convertir chaque groupe en chiffre hexadécimal

Compléments

• Pour convertir un nombre hexadécimal en décimal, on multiplie chaque chiffre par $16^n$ selon son rang, puis on additionne les résultats.

💡 Astuce mémo

Un octet comme une boîte de 8 bits, séparée en deux groupes de 4

📖 4. Entiers relatifs et complément à deux

★ À maîtriser

📌 Dans une représentation signée sur n bits, le bit de poids fort indique le signe : 0 représente un nombre positif et 1 un nombre négatif, tandis que les n−1 autres bits représentent la valeur absolue.

📌 La représentation signe-valeur absolue produit deux représentations de zéro, 00000000 et 10000000 sur 8 bits, et ne peut donc pas être appliquée directement.

• Pour obtenir le complément à deux d’un entier positif, on inverse tous ses bits puis on ajoute 1 sur le même nombre de bits.

Compléments

📌 Lors d’une addition sur un nombre fixé de bits, la retenue qui produirait un bit supplémentaire est abandonnée.

• Sur 8 bits, l’entier −15 est représenté par 11110001 en complément à deux.

💡 Astuce mémo

Inverser les bits puis ajouter 1

📖 5. Capacité et taille des entiers

★ À maîtriser

• Sur n bits en complément à deux, les entiers relatifs représentables vont de $-2^{n-1}$ à $2^{n-1}-1$.

• Sur 8 bits, l’intervalle des entiers relatifs représentables va de −128 à 127.

• Pour un entier naturel strictement inférieur à $2^n$, n bits suffisent pour l’écrire.

📌 Pour coder un entier relatif positif, on ajoute un bit de signe au nombre de bits nécessaires pour sa valeur ; pour un entier négatif x, on ajoute un bit de signe au nombre de bits nécessaires pour |x+1|.

Compléments

📌 Dans le pire des cas, une somme d’entiers nécessite un bit de plus que le nombre de bits du plus grand entier.

📐 Formule — Pour une multiplication, la propriété utilisée est $\log_2(a\times b)=\log_2(a)+\log_2(b)$, ce qui conduit à additionner les nombres de bits nécessaires aux deux facteurs.

💡 Astuce mémo

Naturel sans signe ; relatif avec bit de signe

📖 6. Nombres flottants binaires

★ À maîtriser

• Pour convertir la partie décimale d’un nombre décimal en binaire, on la multiplie successivement par 2 et on relève à chaque étape la partie entière obtenue, jusqu’à obtenir une partie décimale nulle ou une répétition.

• Le nombre décimal 0,1 possède en binaire une écriture infinie périodique : 0,0001100110011…₂, avec répétition de la séquence 0011.

• Pour convertir un flottant binaire en décimal, on multiplie chaque chiffre situé après la virgule par $2^{-n}$, où n est sa position, puis on ajoute la partie entière.

Compléments

📌 En binaire, déplacer la virgule de n rangs vers la gauche revient à multiplier par $2^n$, tandis qu’un déplacement vers la droite revient à multiplier par $2^{-n}$.

💡 Astuce mémo

Multiplier la fraction par 2 et relever les parties entières

📖 7. Norme IEEE 754

★ À maîtriser

• La norme IEEE 754, dont la première version date de 1985, représente les nombres flottants avec un bit de signe, un exposant et une mantisse.

• Le format IEEE 754 simple précision utilise 32 bits : 1 bit de signe, 8 bits d’exposant et 23 bits de mantisse.

• Le format IEEE 754 double précision utilise 64 bits : 1 bit de signe, 11 bits d’exposant et 52 bits de mantisse.

• Pour normaliser un nombre binaire flottant, on déplace la virgule afin d’obtenir un seul chiffre 1 à gauche, puis on sépare le signe, l’exposant et la partie située après la virgule.

📌 En simple précision, on ajoute 127 à l’exposant réel pour obtenir l’exposant décalé ; en double précision, on ajoute 1023.

Compléments

• La mantisse limitée à 23 bits en simple précision peut provoquer une approximation, comme l’affichage de 0,1 + 0,2 sous la forme 0,30000000000000004.

💡 Astuce mémo

Signe, exposant, mantisse

📖 8. Encodage des caractères

★ À maîtriser

• La norme ASCII, créée en 1960, associe chaque caractère à un code sur 8 bits, dont 7 bits seulement sont utilisés pour coder jusqu’à 128 caractères.

• La norme ISO-8859-1, aussi appelée Latin-1, code les caractères sur 8 bits et peut représenter jusqu’à 256 caractères, notamment les caractères accentués des langues européennes.

• Unicode, apparu en 1991, rassemble les caractères de toutes les langues sans imposer une méthode unique de codage.

📌 Unicode accepte plusieurs codages, notamment UTF-8, UTF-16 et UTF-32, tandis qu’UTF-8 est le plus utilisé, notamment sur le Web.

• UTF-8 utilise un nombre variable d’octets : les caractères courants sont codés sur un octet et certains caractères peuvent utiliser jusqu’à 4 octets.

Compléments

• En ASCII, le caractère A majuscule correspond à 65 en décimal, 1000001 en binaire et 41 en hexadécimal.

📌 UTF-8 est compatible avec ASCII, car les caractères Unicode codés en UTF-8 ont le même code que leurs équivalents ASCII.

💡 Astuce mémo

ASCII, Latin-1, puis Unicode

📊 Tableaux de synthèse

Formats de nombres flottants IEEE 754

Normes d’encodage des caractères