Fiche de révision : Calcul littéral et équations

📋 Plan du Cours

1. Développements et suppression des parenthèses
2. Factorisation des expressions littérales
3. Équations du premier degré
4. Équations produit et quotient
5. Somme de multiples

📖 1. Développements et suppression des parenthèses

🔑 Notions clés & Définitions

• Développer : Transformer un produit en une somme algébrique.

📝 Points essentiels

📌 Devant une parenthèse, le signe « + » ou l’absence de signe permet de supprimer la parenthèse sans modifier les signes, tandis que le signe « − » impose de changer tous les signes.

📐 Formule — La distributivité simple s’écrit $k(a+b)=ka+kb$.

📐 Formule — La double distributivité s’écrit $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

💡 Astuce mémo

« + » conserve les signes, tandis que « − » les inverse.

📖 2. Factorisation des expressions littérales

🔑 Notions clés & Définitions

• Factoriser : Transformer une somme en un produit.

★ À maîtriser

📐 Formule — La factorisation par facteur commun s’écrit $ka+kb=k(a+b)$.

Compléments

• Dans l’expression $5x-5y$, le facteur commun 5 permet d’obtenir $5(x-y)$.

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme ; factoriser transforme une somme en produit.

📖 3. Équations du premier degré

📝 Points essentiels

📌 Une équation conserve ses solutions lorsqu’on ajoute ou retranche le même nombre ou la même expression dans chacun de ses membres.

📌 Une équation conserve ses solutions lorsqu’on multiplie ou divise chacun de ses membres par un nombre non nul.

• Pour résoudre une équation du premier degré, on développe les parenthèses, on réduit chaque membre, on regroupe les termes contenant l’inconnue et les constantes, puis on isole l’inconnue par une opération autorisée.

💡 Astuce mémo

Développer, réduire, regrouper, puis isoler l’inconnue.

📖 4. Équations produit et quotient

★ À maîtriser

📌 Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul.

📌 Pour des réels a et b avec $b\ne0$, le quotient $\frac{a}{b}$ est nul si et seulement si $a=0$.

Compléments

• Pour résoudre $(3x+2)(-5x+7)=0$, on résout séparément $3x+2=0$ et $-5x+7=0$, ce qui donne $x=-\frac{2}{3}$ ou $x=\frac{7}{5}$.

• L’équation $\frac{x+1}{3x}=0$ a pour solution $x=-1$, car le numérateur s’annule et la condition $x\ne0$ est respectée.

• L’équation $\frac{5x}{x+1}=-4$ se transforme en $\frac{9x+4}{x+1}=0$ et admet la solution $x=-\frac{4}{9}$, avec la condition $x\ne-1$.

💡 Astuce mémo

Produit nul : un facteur nul ; quotient nul : numérateur nul avec dénominateur non nul.

📖 5. Somme de multiples

★ À maîtriser

📌 La somme de deux multiples d’un entier naturel a est encore un multiple de a.

Compléments

• Si $b=ka$ et $b'=k'a$ avec k et k' entiers relatifs, alors $b+b'=a(k+k')$, donc b+b' est un multiple de a.

💡 Astuce mémo

Deux multiples partagent le facteur a, donc leur somme reste un multiple de a.