QCM : Trigonométrie — 16 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise la fonction cosinus parmi les fonctions circulaires fondamentales ?

Elle est paire et vérifie cos'(x) = −sin(x).
Elle est paire et vérifie cos'(x) = sin(x).
Elle est impaire et vérifie cos'(x) = −sin(x).
Elle est impaire et vérifie cos'(x) = sin(x).

Elle est paire et vérifie cos'(x) = −sin(x).

Explication

Le cosinus est une fonction paire et sa dérivée vaut −sin(x). La confusion fréquente consiste à lui attribuer l’imparité, qui caractérise le sinus et la tangente.

2. Quelle égalité décrit correctement la dérivée et la parité de la fonction sinus ?

sin'(x) = −cos(x), et le sinus est pair.
sin'(x) = cos(x), et le sinus est impair.
sin'(x) = −cos(x), et le sinus est impair.
sin'(x) = cos(x), et le sinus est pair.

sin'(x) = cos(x), et le sinus est impair.

Explication

La dérivée du sinus est le cosinus, et le sinus est une fonction impaire. Le cosinus, contrairement au sinus, est pair et sa dérivée comporte un signe négatif.

3. Pour quelle valeur de x la fonction tangente n’est-elle pas définie ?

x = 0
x = π/3
x = π/2
x = π/4

x = π/2

Explication

La tangente n’est pas définie lorsque cos(x) = 0, c’est-à-dire pour x = π/2 + kπ, notamment en π/2. Aux autres valeurs proposées, le cosinus est non nul.

4. Quelle description correspond au cercle trigonométrique ?

Un cercle de centre O et de rayon 1 dans un repère orthonormé indirect.
Un cercle de centre différent de O et de rayon 1 dans un repère orthonormé direct.
Un cercle de centre O et de rayon 1 dans un repère orthonormé direct.
Un cercle de centre O et de rayon 2 dans un repère orthonormé direct.

Un cercle de centre O et de rayon 1 dans un repère orthonormé direct.

Explication

Le cercle trigonométrique est défini par son centre O, son rayon égal à 1 et l’orientation directe du repère orthonormé. Un rayon différent ou une autre orientation ne correspond pas à cette définition.

5. Quelle relation est vraie pour tout réel θ ?

cos²(θ) − sin²(θ) = 1
cos²(θ) + tan²(θ) = 1
cos(θ) + sin(θ) = 1
cos²(θ) + sin²(θ) = 1

cos²(θ) + sin²(θ) = 1

Explication

L’identité fondamentale de la trigonométrie est cos²(θ) + sin²(θ) = 1. Les autres égalités ne constituent pas des identités valables pour tout réel θ.

6. Quelle valeur prend la tangente en π/2 ?

Elle vaut −1.
Elle vaut 0.
Elle vaut 1.
Elle n’est pas définie.

Elle n’est pas définie.

Explication

En π/2, le sinus vaut 1 mais le cosinus vaut 0 ; le quotient sin(x)/cos(x) n’est donc pas défini. Le sinus et le cosinus, eux, possèdent bien des valeurs en ce point.

7. Quelle formule donne cos(a+b) ?

cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b)
cos(a)sin(b) − sin(a)cos(b)
cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b)

Explication

La formule d’addition du cosinus associe les produits cos(a)cos(b) et sin(a)sin(b) par une soustraction. Le signe plus entre ces deux produits appartient à la formule de différence du cosinus.

8. Quelle formule exprime correctement le sinus du double d’un angle ?

sin(2a) = cos²(a) − sin²(a)
sin(2a) = 2sin²(a) − 1
sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
sin(2a) = sin²(a) + cos²(a)

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Explication

La formule de duplication du sinus est sin(2a) = 2sin(a)cos(a). L’expression sin²(a) + cos²(a) vaut 1, tandis que les autres formules concernent d’autres relations trigonométriques.

9. Que signifie linéariser une expression trigonométrique ?

Transformer une somme en un produit
Remplacer chaque angle par son opposé
Transformer un produit en une somme
Réduire chaque angle modulo π

Transformer un produit en une somme

Explication

La linéarisation transforme un produit trigonométrique en une somme afin de simplifier l’expression. La transformation d’une somme en produit correspond à la factorisation.

10. Quelle formule permet de linéariser le produit sin⁡asin⁡b\sin a\sin b ?

12[sin⁡(a+b)−sin⁡(a−b)]\frac12[\sin(a+b)-\sin(a-b)]
12[sin⁡(a+b)+sin⁡(a−b)]\frac12[\sin(a+b)+\sin(a-b)]
12[cos⁡(a+b)+cos⁡(a−b)]\frac12[\cos(a+b)+\cos(a-b)]
12[cos⁡(a−b)−cos⁡(a+b)]\frac12[\cos(a-b)-\cos(a+b)]

\(\frac12[\cos(a-b)-\cos(a+b)]\)

Explication

Le produit sin⁡asin⁡b\sin a\sin b se transforme en 12[cos⁡(a−b)−cos⁡(a+b)]\frac12[\cos(a-b)-\cos(a+b)]. La somme de deux cosinus correspond au produit cos⁡acos⁡b\cos a\cos b, et non au produit de deux sinus.

11. Quelle transformation caractérise la factorisation d’une expression trigonométrique ?

Transformer un produit en une somme
Remplacer une différence par une somme
Diviser chaque angle par deux
Transformer une somme en un produit

Transformer une somme en un produit

Explication

Factoriser consiste à transformer une somme en un produit, ce qui peut conduire à une équation produit nul. Transformer un produit en somme relève de la linéarisation.

12. Quelle forme factorisée obtient-on pour cos⁡p−cos⁡q\cos p-\cos q ?

2cos⁡(p+q2)sin⁡(p−q2)2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\sin\left(\frac{p-q}{2}\right)
−2sin⁡(p+q2)sin⁡(p−q2)-2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\sin\left(\frac{p-q}{2}\right)
2sin⁡(p+q2)cos⁡(p−q2)2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)
2cos⁡(p+q2)cos⁡(p−q2)2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)

\(-2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\sin\left(\frac{p-q}{2}\right)\)

Explication

La différence de deux cosinus se factorise selon cos⁡p−cos⁡q=−2sin⁡(p+q2)sin⁡(p−q2)\cos p-\cos q=-2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\sin\left(\frac{p-q}{2}\right). La forme avec deux cosinus correspond à une somme de cosinus, pas à leur différence.

13. Quand deux réels aa et bb sont-ils congrus modulo 2π2\pi ?

Lorsqu’il existe k∈Zk\in\mathbb Z tel que a=b+kπa=b+k\pi
Lorsqu’il existe k∈Zk\in\mathbb Z tel que a=b+2kπa=b+2k\pi
Lorsqu’il existe k∈Zk\in\mathbb Z tel que a=b+2ka=b+2k
Lorsqu’il existe k∈Zk\in\mathbb Z tel que a=b+kπ2a=b+\frac{k\pi}{2}

Lorsqu’il existe \(k\in\mathbb Z\) tel que \(a=b+2k\pi\)

Explication

La congruence modulo 2π2\pi signifie que la différence entre les deux réels est un multiple entier de 2π2\pi. Un écart de kπk\pi définit une congruence modulo π\pi.

14. Quelles sont les solutions de la congruence 3x≡3a [2π]3x\equiv3a\ [2\pi] ?

x=3a+2kπx=3a+2k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb Z
x=a+kπ3x=a+\frac{k\pi}{3}, avec k∈Zk\in\mathbb Z
x=a+2kπx=a+2k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb Z
x=a+2kπ3x=a+\frac{2k\pi}{3}, avec k∈Zk\in\mathbb Z

\(x=a+\frac{2k\pi}{3}\), avec \(k\in\mathbb Z\)

Explication

En divisant la relation par 3, le pas de variation devient 2π3\frac{2\pi}{3}, d’où x=a+2kπ3x=a+\frac{2k\pi}{3}. Conserver un pas de 2π2\pi ferait perdre des solutions.

15. Quelle équivalence décrit les solutions de l’équation cos⁡x=cos⁡a\cos x=\cos a ?

x=a+2kπx=a+2k\pi ou x=π−a+2kπx=\pi-a+2k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb Z
x=a+2kπx=a+2k\pi ou x=−a+2kπx=-a+2k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb Z
x=a+kπx=a+k\pi ou x=π−a+kπx=\pi-a+k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb Z
x=a+kπx=a+k\pi ou x=−a+kπx=-a+k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb Z

\(x=a+2k\pi\) ou \(x=-a+2k\pi\), avec \(k\in\mathbb Z\)

Explication

Le cosinus prend la même valeur pour les angles aa et −a-a, à des multiples de 2π2\pi près. La famille π−a\pi-a caractérise plutôt la résolution d’une équation de type sinus.

16. Quelle est la forme générale des solutions de tan⁡x=tan⁡a\tan x=\tan a, lorsque les deux membres sont définis ?

x=a2+kπx=\frac a2+k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb Z
x=a+kπx=a+k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb Z
x=a+2kπx=a+2k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb Z
x=−a+2kπx=-a+2k\pi, avec k∈Zk\in\mathbb Z

\(x=a+k\pi\), avec \(k\in\mathbb Z\)

Explication

La tangente possède une période de π\pi, donc ses valeurs se répètent lorsque l’on ajoute un multiple entier de π\pi. Un pas de 2π2\pi décrit une famille trop restreinte et omet des solutions.

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Quelles sont les propriétés de la fonction cosinus sur ℝ ?

Elle est définie, continue, dérivable, 2π-périodique et paire.

Quelle est la dérivée de la fonction cosinus ?

La dérivée est cos'(x) = -sin(x).

Quelles sont les propriétés de la fonction sinus sur ℝ ?

Elle est définie, continue, dérivable, 2π-périodique et impaire.

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