Fiche de révision : Introduction aux statistiques descriptives et inférentielles

📋 Plan du Cours

1. Intérêt des statistiques
2. Variables et distributions
3. Indicateurs des variables quantitatives
4. Indicateurs des variables qualitatives
5. Représentations graphiques
6. Analyses bivariées qualitatives
7. Comparaison quantitatif-qualitatif
8. Corrélation entre variables quantitatives
9. Fluctuations d’échantillonnage

📖 1. Intérêt des statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistiques descriptives : Les statistiques descriptives résument les caractéristiques d’un échantillon avec des indicateurs numériques et des graphiques.
• Statistiques inférentielles : Les statistiques inférentielles généralisent à une population les résultats observés dans un échantillon à l’aide de tests.
• Test d’hypothèses : Un test d’hypothèses sert à décider si une différence observée dans l’échantillon peut aussi exister dans la population, ou si elle pourrait être due au hasard.
• p-value : La p-value est un indicateur issu d’un test d’hypothèses qui quantifie la plausibilité de l’extrapolation de vos observations à la population.

📝 Points essentiels

• Les statistiques servent à décrire au mieux un échantillon et à tester, à partir de cet échantillon, des hypothèses valables pour la population.
• Décrire un échantillon revient à résumer les participants (ex. âge, poids, stade de maladie) pour comprendre rapidement le groupe.
• Les statistiques inférentielles évaluent si une différence mesurée entre groupes dans l’échantillon pourrait être attribuée au hasard.
• La p-value est calculée par le test et permet d’estimer dans quelle mesure la conclusion issue de l’échantillon s’extrapole à la population d’intérêt.
• Les indicateurs descriptifs cités incluent moyenne et écart-type, et des graphiques comme les boîtes à moustaches.
• Les tests d’hypothèses cités incluent Chi², Student et ANOVA.

💡 Astuce mémo

Décrire (descriptives) puis généraliser (inférentielles) ; le test donne la p-value pour trancher le hasard.

📖 2. Variables et distributions

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable statistique : Une variable est une caractéristique des participants mesurable ou comptable, qui peut changer d’un individu à l’autre ou avec le temps.
• Variable qualitative : Une variable qualitative regroupe les observations en catégories ou niveaux, avec des modalités pouvant être ou non hiérarchisées.
• Variable quantitative : Une variable quantitative s’exprime en chiffres sur une échelle à intervalles réguliers et permet des calculs simples comme des sommes.
• Distribution d’une variable : La distribution décrit comment les valeurs d’une variable se répartissent dans un échantillon de participants.
• Loi de probabilité : Une loi de probabilité est une distribution théorique de référence que l’on utilise pour caractériser la forme attendue d’une variable.

📝 Points essentiels

• Les variables qualitatives nominales ont des catégories sans ordre, alors que les variables ordinales permettent un classement entre catégories.
• Les variables quantitatives s’appuient sur des échelles d’intervalles réguliers (exemples : âge, taille, force musculaire).
• La distribution correspond à la répartition des valeurs observées d’une variable dans l’échantillon.
• On cherche à décrire une distribution avec peu d’indicateurs en se basant sur la loi théorique qui lui ressemble.
• La loi Normale est décrite par deux indicateurs : moyenne et écart-type.

💡 Astuce mémo

Quali = catégories (nominal sans ordre, ordinal avec ordre) ; Quanti = chiffres (intervalles réguliers, calculs) ; Distribution = répartition ; Loi = forme théorique (souvent Normale).

📖 3. Indicateurs des variables quantitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Mode : Le mode est l’indicateur de tendance centrale correspondant à la valeur la plus fréquente dans les données.
• Médiane : La médiane est la valeur qui partage un échantillon ordonné en deux groupes d’effectifs égaux.
• Moyenne : La moyenne est la somme des valeurs divisée par l’effectif total, utilisée pour résumer un centre de distribution.
• Écart interquartile : L’écart interquartile mesure la dispersion via l’écart entre le troisième et le premier quartile.
• Écart-type : L’écart-type quantifie la dispersion autour de la moyenne, en restant dans la même unité que la variable.

📝 Points essentiels

• La tendance centrale d’une variable quantitative peut être résumée par le mode, la médiane ou la moyenne, avec une robustesse différente face aux valeurs extrêmes.
• L’étendue vaut max-min et elle est très sensible aux valeurs extrêmes, alors que l’écart interquartile repose sur les quartiles pour être plus robuste.
• L’écart interquartile se calcule par $Q3-Q1$, où $Q1$ et $Q3$ sont les valeurs qui découpent la distribution en 4 groupes d’effectifs égaux.
• La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne et l’écart-type est la racine carrée de la variance, en conservant l’unité d’origine.
• Pour choisir les indicateurs : on utilise moyenne ± écart-type si la distribution ressemble à une loi normale, sinon on privilégie médiane et écart interquartile.
• Si la distribution est proche d’une loi normale, environ 68% des valeurs sont comprises entre la moyenne et ±1 écart-type.

💡 Astuce mémo

Normal = moyenne ± 1σ (≈68%) ; sinon médiane + IQR.

📖 4. Indicateurs des variables qualitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Fréquence de distribution : Une fréquence de distribution est le nombre d’observations appartenant à une catégorie donnée d’une variable qualitative.
• Pourcentage (fréquence relative) : Un pourcentage exprime la part relative d’une catégorie par rapport à l’effectif total de l’échantillon, pour une variable qualitative.

📝 Points essentiels

• Pour une variable qualitative, les indicateurs privilégiés sont les effectifs (fréquences) de chaque catégorie et les pourcentages associés.
• Le pourcentage d’une catégorie se calcule comme sa fréquence divisée par l’effectif total, puis exprimée en pourcentage.
• Dans l’exemple formation oui/non, 21 répondants sur 42 correspondent à 50% de l’échantillon.
• Les mêmes deux indicateurs s’appliquent aussi aux catégories ordinales (ex. peu fréquente, fréquente, très fréquente), avec lecture en termes de proportions par catégorie.

📖 5. Représentations graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Histogramme : Représentation graphique de variables quantitatives continues qui montre les effectifs par classes grâce à des rectangles collés.
• Boîte à moustaches : Représentation graphique des variables quantitatives qui résume quartiles et dispersion avec une boîte (Q1 à Q3) et des moustaches (valeurs extrêmes).
• Violin plot : Représentation graphique des variables quantitatives combinant une boîte à moustaches et une forme de densité qui rappelle un histogramme.
• Diagramme en bâtons : Représentation graphique de variables qualitatives sous forme de barres séparées, où la hauteur indique effectifs ou pourcentages par catégorie.
• Diagramme en secteurs : Représentation graphique de variables qualitatives où chaque secteur correspond à la contribution relative d’une catégorie au total.

📝 Points essentiels

• Un bon graphique décrit fidèlement les données, met en évidence la distribution, aide à repérer les valeurs aberrantes et utilise des coordonnées cohérentes.
• Pour une variable quantitative, on choisit notamment l’histogramme, la boîte à moustaches ou le violin plot afin d’évaluer aussi l’allure de la distribution.
• Dans une boîte à moustaches, la barre centrale correspond à la médiane et la boîte va de Q1 à Q3, donc sa largeur vaut l’écart interquartile Q3−Q1.
• Les moustaches d’une boîte à moustaches indiquent généralement les valeurs minimales et maximales, mais peuvent être complétées par des points au-delà dans certains cas.
• Dans un histogramme, des rectangles collés représentent les effectifs par classes, et on n’y lit pas directement médiane, moyenne ou variance même si la forme aide à juger une distribution normale.
• Pour une variable qualitative, les barres d’un diagramme en bâtons sont espacées car les catégories ne sont pas continues, tandis qu’un diagramme en secteurs montre des proportions relatives par catégorie.

💡 Astuce mémo

Histogramme = Quantitatif en classes collées ; Boîte = Quartiles + extrêmes ; Violin = Boîte + densité ; Bâtons/Secteurs = Qualitatif en catégories séparées/proportions.

📖 6. Analyses bivariées qualitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de contingence : Un tableau de contingence croise deux variables qualitatives et affiche les effectifs et/ou pourcentages dans chaque combinaison de catégories.
• Risk ratio : Le risk ratio est un ratio de proportions qui compare la fréquence d’une catégorie d’intérêt entre deux groupes d’une autre variable qualitative.
• Odds ratio : L’odds ratio est un ratio de cotes qui compare les odds d’une catégorie d’intérêt entre deux groupes définis par une variable qualitative.
• Catégorie de référence : La catégorie de référence sert de base pour calculer puis interpréter les odds ratios des autres catégories d’une variable qualitative.

📝 Points essentiels

• Pour deux variables qualitatives, la relation se décrit à partir des effectifs et des pourcentages dans les cases du tableau de contingence.
• Le risk ratio se calcule comme le rapport de la proportion de fumeurs chez les hommes sur celle chez les femmes et une valeur de 1 correspond à l’absence d’association.
• Dans l’exemple, le risk ratio vaut 1,52 car 50% des hommes fument contre 33% des femmes, ce qui indique une fréquence plus élevée chez les hommes.
• L’odds ratio se calcule comme un rapport de côtes, par exemple (A/B)/(C/D), et une valeur de 1 correspond à l’absence d’association.
• Dans l’exemple, l’odds ratio vaut 2,00 car (50/50)/(20/40), ce qui indique une association défavorable aux hommes par rapport à la référence.
• Les pourcentages peuvent être des pourcentages ligne (somme à 100% sur une ligne), utiles pour lire la distribution d’une variable à l’intérieur de chaque catégorie de l’autre variable.

💡 Astuce mémo

RR = rapport de PROPORTIONS ; OR = rapport de CÔTES, avec 1 ⇒ pas d’association.

📖 7. Comparaison quantitatif-qualitatif

🔑 Notions clés & Définitions

• Différence de moyennes : Indicateur numérique qui compare deux valeurs numériques moyennes calculées pour chaque modalité d’une variable qualitative.
• Graphique en violon : Représentation graphique qui compare la distribution d’une variable quantitative selon les catégories d’une variable qualitative.

📝 Points essentiels

• Pour étudier une association quantitative x qualitative, on compare les valeurs de la variable quantitative entre les modalités de la variable qualitative avec des différences de moyennes.
• Dans l’exemple, la taille moyenne est 175 (±5) cm chez les hommes contre 165 (±5) cm chez les femmes, soit une différence moyenne de +10 cm.
• Les différences de distributions entre catégories se lisent via un graphique en violon plutôt que via des indicateurs basés uniquement sur des pourcentages.
• Le graphique en violon permet d’anticiper si la différence observée en moyenne s’accompagne d’un changement de forme (dispersion/étalement) de la distribution.

💡 Astuce mémo

Quantitatif = nombre : on compare les groupes par moyenne (différence), et on voit la distribution avec le violon.

📖 8. Corrélation entre variables quantitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Corrélation de Pearson : La corrélation de Pearson mesure l’association linéaire entre deux variables quantitatives dans un même échantillon.
• Nuage de points : Le nuage de points représente, pour chaque individu, la paire (valeur de la première variable, valeur de la seconde variable).

📝 Points essentiels

• Le coefficient de corrélation de Pearson est compris entre -1 et 1.
• Si le coefficient de Pearson est supérieur à 0, les valeurs augmentent ensemble (association positive).
• Si le coefficient de Pearson vaut 0, il n’y a pas d’association linéaire entre les deux variables.
• Si le coefficient de Pearson est négatif, la relation va dans le sens inverse (association négative, droite décroissante).
• Dans l’exemple, un coefficient de Pearson de 0,51 indique que lorsque la taille augmente, le poids augmente aussi.
• La valeur de Pearson est associée à une droite d’ajustement représentée sur le nuage de points.

💡 Astuce mémo

Signe de r : + hausse ensemble, − hausse en inverse, 0 pas de lien linéaire.

📖 9. Fluctuations d’échantillonnage

🔑 Notions clés & Définitions

• Fluctuations d’échantillonnage : Les fluctuations d’échantillonnage sont des variations des estimations observées dans différents échantillons par rapport à la valeur réelle dans la population cible.
• Intervalle de confiance : Un intervalle de confiance est un intervalle de valeurs accompagné d’une estimation ponctuelle, décrivant l’incertitude liée à l’échantillonnage, notamment à la taille de l’échantillon.
• Population cible : La population cible est l’ensemble sur lequel on voudrait connaître une proportion ou une statistique, mais qu’on ne peut pas interroger intégralement.

📝 Points essentiels

• Dans une population où 30% de personnes sont malades, un échantillon de taille 20 peut donner des résultats très différents selon le tirage, comme 10% ou 50% de malades au lieu de 30%.
• Avec 10 000 échantillons de 20 sujets, le mode de l’estimation correspond à 6/20, soit 34% de malades.
• Sur ces 10 000 échantillons, environ 95% des estimations se trouvent entre 2/20 (10%) et 10/20 (50%) lorsque la vraie proportion est 30%.
• Plus la taille de l’échantillon est petite, plus la fluctuation des estimations est grande et plus l’intervalle de confiance est large.
• Un intervalle de confiance à 95% signifie qu’en répétant l’opération sur 100 échantillons indépendants, 95 intervalles contiendront effectivement la vraie valeur de la population cible.
• Exemple: pour 100 personnes, une estimation à 27% peut s’accompagner d’un 95% IC allant de 21% à 39% pour la proportion de malades dans la population cible.

💡 Astuce mémo

Taille petite = tirages plus “volatils” : plus l’échantillon est grand, plus l’intervalle de confiance se resserre.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Descriptives vs inférentielles

Choix indicateurs/graphes selon le type de variable

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre stats descriptives (décrire un échantillon) et statistiques inférentielles (généraliser via tests d’hypothèses).
2. Interpréter un histogramme comme donnant directement médiane/moyenne/variance : la médiane est plutôt lue sur une boîte à moustaches.
3. Inverser le raisonnement sur l’étendue : elle vaut max−min et est très sensible aux valeurs extrêmes (contrairement à l’écart interquartile).
4. Croire que l’écart interquartile correspond aux extrêmes : il s’agit bien de Q3−Q1, basé sur des quartiles d’effectifs égaux.
5. Calculer ou lire les pourcentages avec le mauvais repère : le cours distingue notamment les pourcentages ligne (total = 100% sur la ligne).
6. Prendre les odds ratio (OR) comme des rapports de proportions : OR est un rapport de côtes (et 1 correspond à l’absence d’association).
7. Extrapoler un intervalle de confiance sans comprendre son sens : à 95%, il y a une compatibilité de valeurs et une probabilité de couverture via répétition d’échantillons indépendants, pas une certitude sur une valeur unique.

✅ Checklist Examen

1. Expliquer l’objectif des statistiques descriptives et inférentielles, et citer le rôle des tests d’hypothèses.
2. Définir une variable et distinguer qualitatives vs quantitatives (nominales vs ordinales ; échelles d’intervalles réguliers).
3. Définir la distribution d’une variable dans un échantillon et le lien avec une loi théorique (ex. Normale).
4. Pour une variable quantitative : définir mode, médiane et moyenne et rappeler leurs avantages/inconvénients face aux valeurs extrêmes.
5. Pour une variable quantitative : définir l’étendue (max−min) et expliquer sa sensibilité aux valeurs extrêmes.
6. Définir l’écart interquartile et savoir écrire qu’il vaut Q3−Q1 à partir de quartiles (quartiles issus d’un effectif ordonné en 4 groupes).
7. Définir variance et écart-type (variance = moyenne des carrés des écarts ; écart-type = racine carrée, même unité).
8. Pour une variable qualitative : donner les indicateurs attendus (effectifs et pourcentages) et savoir calculer un pourcentage à partir de la fréquence/effectif total.
9. Savoir associer les bons graphiques au bon type de variable : histogramme/boîte/violin pour quantitatif ; bâtons/secteurs pour qualitatif, et lire la médiane sur une boîte.
10. En bivarié : distinguer les 3 cas (qualitatif×qualitatif, quantitatif×qualitatif, quantitatif×quantitatif) et citer les indicateurs correspondants (RR/OR, différence de moyennes/violon, Pearson/nuage de points).
11. En fluctuations d’échantillonnage : définir population cible, fluctuations et intervalle de confiance, et rappeler l’idée de couverture à 95% sur des échantillons indépendants.
12. Relier la taille de l’échantillon à la largeur de l’intervalle de confiance (petit n ⇒ intervalle plus large, donc incertitude plus grande).