QCM : Aire d’un décagone régulier (3 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un décagone régulier est divisé en dix triangles isocèles en reliant son centre à ses sommets. Quelle est la mesure de l’angle au centre de chaque triangle ?

10∘10^\circ
36∘36^\circ
144∘144^\circ
18∘18^\circ

$$36^\circ$$

Explication

Les dix angles au centre se partagent un tour complet, soit 360∘360^\circ ; chacun mesure donc 360∘/10=36∘360^\circ/10=36^\circ. 18∘18^\circ résulte d’une division supplémentaire par deux, 10∘10^\circ confond le nombre de secteurs et leur angle, et 144∘144^\circ correspond à un angle intérieur du décagone.

2. Dans un triangle isocèle formé par le centre et deux sommets consécutifs d’un décagone régulier, la hauteur mesure 1212 cm et la moitié du côté mesure 55 cm. Quel est le rayon du cercle circonscrit ?

119\sqrt{119} cm
1313 cm
169169 cm
1717 cm

$$13$$ cm

Explication

Le rayon est l’hypoténuse du triangle rectangle dont les côtés mesurent 1212 cm et 55 cm : r=122+52=169=13r=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13 cm. 1717 additionne les longueurs, 119\sqrt{119} soustrait les carrés, et 169169 omet la racine carrée.

3. Un décagone régulier est décomposé en dix triangles isocèles de base 88 cm et de hauteur 66 cm. Quelle est son aire totale ?

24 cm224\text{ cm}^2
120 cm2120\text{ cm}^2
480 cm2480\text{ cm}^2
240 cm2240\text{ cm}^2

$$240\text{ cm}^2$$

Explication

L’aire totale vaut dix fois l’aire d’un triangle : A=10×8×62=240 cm2A=10\times\frac{8\times6}{2}=240\text{ cm}^2. 24 cm224\text{ cm}^2 est l’aire d’un triangle, 480 cm2480\text{ cm}^2 oublie la division par deux, et 120 cm2120\text{ cm}^2 ne compte que cinq triangles.

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Quelle est la mesure de l’angle au centre de chaque triangle isocèle du décagone régulier ?

36∘36^\circ

Quelle formule relie le rayon du décagone régulier à la hauteur de ses triangles et à son côté ?

r=h2+(c2)2r=\sqrt{h^2+\left(\frac{c}{2}\right)^2}

Quelle formule donne l’aire du décagone régulier en fonction de son côté et de la hauteur des triangles ?

A=10×ch2A=10\times\frac{ch}{2}

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