Fiche de révision : Algèbre du second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonction polynôme du second degré
2. Forme canonique et variations
3. Équations et discriminant
4. Racines et factorisation
5. Signe d’un trinôme

📖 1. Fonction polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Fonction définie sur ℝ telle qu’il existe des réels a, b et c avec a ≠ 0 et, pour tout réel x, $f(x)=ax^2+bx+c$.

📝 Points essentiels

• Pour déterminer les paramètres a, b et c d’une fonction du second degré dont la courbe passe par plusieurs points, on remplace successivement les abscisses et les ordonnées des points dans $f(x)=ax^2+bx+c$ puis on résout le système obtenu.

📖 2. Forme canonique et variations

★ À maîtriser

📐 Formule — La forme canonique d’une fonction du second degré est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}$.

• Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, la courbe a pour axe de symétrie la droite d’équation x = α et pour sommet le point S(α ; β).

📌 Si a > 0, f est décroissante sur ]−∞ ; α] puis croissante sur [α ; +∞[ et admet un minimum β en α ; si a < 0, f est croissante puis décroissante et admet un maximum β en α.

Compléments

• La complétion du carré repose sur la relation $x^2+kx=\left(x+\frac{k}{2}\right)^2-\left(\frac{k}{2}\right)^2$.

💡 Astuce mémo

Le signe de a détermine la forme de la parabole, donc son minimum ou son maximum.

📖 3. Équations et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Équation de la forme $ax^2+bx+c=0$, où a, b et c sont réels et a ≠ 0.
• Discriminant : Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ est le nombre $\Delta=b^2-4ac$.

★ À maîtriser

📌 Si Δ > 0, l’équation possède deux solutions distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ ; si Δ = 0, elle possède l’unique solution $x_0=-\frac{b}{2a}$ ; si Δ < 0, elle n’a aucune solution dans ℝ.

Compléments

• Graphiquement, Δ > 0 correspond à deux intersections avec l’axe des abscisses, Δ = 0 à une intersection et Δ < 0 à aucune intersection.

💡 Astuce mémo

Δ positif : deux racines ; Δ nul : une racine ; Δ négatif : aucune racine réelle.

📖 4. Racines et factorisation

★ À maîtriser

📐 Formule — Lorsque le discriminant est strictement positif, la somme des deux racines vérifie $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et leur produit vérifie $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

📌 Si Δ > 0, le trinôme se factorise selon $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ ; si Δ = 0, selon $f(x)=a(x-x_0)^2$ ; si Δ < 0, il ne peut pas être écrit comme un produit de polynômes de degré 1.

Compléments

• Le trinôme $x^2+x-6$ ayant pour racines 2 et −3 s’écrit sous la forme factorisée $f(x)=(x-2)(x+3)$.

• Pour utiliser la somme ou le produit des racines, on vérifie d’abord que le trinôme possède deux racines, on identifie ensuite une racine connue, puis on détermine l’autre à partir de la somme ou du produit.

📖 5. Signe d’un trinôme

★ À maîtriser

📌 Si Δ < 0, le trinôme est partout du signe de a ; si Δ = 0, il est du signe de a sauf en x₀ où il s’annule ; si Δ > 0, il est du signe contraire de a entre x₁ et x₂ et du signe de a à l’extérieur.

• Pour dresser le tableau de signes d’un trinôme, on calcule Δ, on détermine les racines éventuelles, on les ordonne sur la droite réelle, puis on applique le signe de a à l’extérieur et son signe contraire entre deux racines.

Compléments

📌 Lorsque Δ > 0, le trinôme s’annule en x₁ et x₂, tandis que lorsque Δ = 0, il ne s’annule qu’en x₀.

• Pour résoudre une inéquation telle que $g(x)\leq 0$, on utilise le tableau de signes du trinôme g et on retient les intervalles où son signe est négatif ou nul.

💡 Astuce mémo

Entre deux racines, le trinôme est du signe contraire de a ; à l’extérieur, il est du signe de a.

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant