Fiche de révision : Nombres complexes et logique

📋 Plan du Cours

1. Fondements des nombres complexes
2. Forme trigonométrique et exponentielle
3. Racines complexes
4. Géométrie complexe
5. Assertions et raisonnements logiques
6. Équivalence et lois logiques
7. Ensembles et opérations
8. Applications et bijections
9. Relations et récurrence
10. Ordre et valeur absolue
11. Fonctions réelles et limites
12. Limites et continuité
13. Dérivation et monotonie
14. Primitives et intégration
15. Polynômes et racines
16. Sommes, trigonométrie et récurrences
17. Systèmes linéaires
18. Suites récurrentes d’ordre deux

📖 1. Fondements des nombres complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : Nombre de la forme z=x+iy où x et y sont réels et où i vérifie i²=-1.
• Partie réelle et imaginaire : Tout nombre complexe s’écrit de manière unique sous la forme z=x+iy, avec Re(z)=x et Im(z)=y.
• Conjugué complexe : Nombre complexe x-iy.
• Module complexe : Réel positif $|z|=\\sqrt{x^2+y^2}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tout nombre complexe z, $|z|^2=z\\overline z$ et $|zz'|=|z||z'|$.

📐 Formule — Pour deux nombres complexes a et b, l’inégalité triangulaire est $|a+b|\\leq |a|+|b|$.

💡 Astuce mémo

Un point z=x+iy dans le plan, avec son miroir conjugué sur l’axe réel

📖 2. Forme trigonométrique et exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Exponentielle imaginaire : Pour tout réel θ, $e^{iθ}=\\cos θ+i\\sin θ$.
• Forme trigonométrique : Tout complexe non nul admet une écriture $z=re^{iθ}$ avec r>0, où r=|z|.
• Exponentielle complexe : Si z=x+iy, alors son exponentielle complexe est définie par $e^z=e^x(\\cos y+i\\sin y)$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tous réels θ₁ et θ₂, $e^{i(θ\_1+θ\_2)}=e^{iθ\_1}e^{iθ\_2}$.

📐 Formule — La formule de Moivre donne, pour tout entier n, $e^{inθ}=(e^{iθ})^n$.

📐 Formule — Les formules d’Euler sont $\\cos θ=\\frac{e^{iθ}+e^{-iθ}}{2}$ et $\\sin θ=\\frac{e^{iθ}-e^{-iθ}}{2i}$.

💡 Astuce mémo

Forme cartésienne pour les sommes, forme trigonométrique pour les produits

📖 3. Racines complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine n-ième : Complexe z vérifiant $z^n=a$.

★ À maîtriser

• Pour n≥1, il existe exactement n racines n-ièmes de l’unité : $1,\\omega,\\ldots,\\omega^{n-1}$ avec $\\omega=e^{2i\\pi/n}$.

📐 Formule — Si a∈C* et n≥1, ses racines n-ièmes sont $z_0,\\omega z_0,\\ldots,\\omega^{n-1}z_0$, où z₀ est une racine et $\\omega=e^{2i\\pi/n}$.

📐 Formule — Pour le trinôme $az^2+bz+c$ avec a≠0, le discriminant est $\\Delta=b^2-4ac$ ; si Δ≠0, les racines sont $\\frac{-b+\\delta}{2a}$ et $\\frac{-b-\\delta}{2a}$, où δ²=Δ.

Compléments

• La somme des racines n-ièmes de l’unité est nulle lorsque n≥2.

💡 Astuce mémo

Second degré → racines de l’unité → racines n-ièmes

📖 4. Géométrie complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Axe complexe : Dans un repère orthonormé direct, le point de coordonnées (x,y) est associé au complexe x+iy.

★ À maîtriser

• Si A et B ont pour axes a et b, le vecteur $\\overrightarrow{AB}$ a pour axe b-a et la distance AB vaut $|b-a|$.

📌 Pour trois points distincts d’axes a, b et c, A, B et C sont alignés si et seulement si $\\frac{c-a}{b-a}\\in\\mathbb R$.

📐 Formule — Une similitude directe est une application de la forme $f(z)=az+b$ avec a∈C* et b∈C.

Compléments

📐 Formule — Une similitude de centre ω, de rapport r>0 et d’angle θ transforme z en $z'=re^{iθ}(z-ω)+ω$.

💡 Astuce mémo

Multiplier par un complexe → agrandir et tourner

📖 5. Assertions et raisonnements logiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Assertion : Phrase mathématique possédant une et une seule valeur de vérité : vraie ou fausse.
• Prédicat : Phrase mathématique dont la valeur de vérité dépend d’un élément x∈E.

★ À maîtriser

• Le quantificateur universel ∀ signifie « pour tout », tandis que le quantificateur existentiel ∃ signifie « il existe au moins un ».

• L’implication P⇒Q est fausse uniquement lorsque P est vraie et Q est fausse ; sinon elle est vraie.

• Pour démontrer une équivalence P⇔Q, il suffit de démontrer séparément P⇒Q puis Q⇒P.

• La contraposée affirme que P⇒Q est équivalente à non Q⇒non P.

Compléments

📌 Les lois de De Morgan donnent non(P et Q)⇔(non P ou non Q) et non(P ou Q)⇔(non P et non Q).

💡 Astuce mémo

Implication : condition suffisante ; équivalence : condition nécessaire et suffisante

📖 6. Équivalence et lois logiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Équivalence logique : Vraie lorsque P et Q ont la même valeur de vérité, et fausse sinon.

★ À maîtriser

• Pour démontrer P ⇔ Q, il faut démontrer séparément P ⇒ Q puis Q ⇒ P.

• Les lois de De Morgan donnent $\\neg(P\\land Q)\\Leftrightarrow(\\neg P)\\lor(\\neg Q)$ et $\\neg(P\\lor Q)\\Leftrightarrow(\\neg P)\\land(\\neg Q)$.

📌 Une implication P ⇒ Q est équivalente à sa contraposée ¬Q ⇒ ¬P.

Compléments

📌 La négation de « pour tout x ∈ E, P(x) » est « il existe x ∈ E tel que non P(x) », et la négation de « il existe x ∈ E, P(x) » est « pour tout x ∈ E, non P(x) ».

💡 Astuce mémo

Implication : un seul sens ; équivalence : les deux sens.

📖 7. Ensembles et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Inclusion : Tout élément de A appartient aussi à B.
• Complémentaire : L’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A.
• Différence ensembliste : L’ensemble des éléments qui appartiennent à A et n’appartiennent pas à B.
• Produit cartésien : L’ensemble des couples (a,b) tels que a ∈ A et b ∈ B, avec égalité de couples composante par composante.

💡 Astuce mémo

Des ensembles comme des boîtes : intersection au croisement, union au rassemblement.

📖 8. Applications et bijections

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : Associe à chaque élément x ∈ E un unique élément f(x) ∈ F.
• Injection : Lorsque f(x₁)=f(x₂) implique x₁=x₂, c’est-à-dire lorsque tout élément de F a au plus un antécédent.
• Surjection : Lorsque tout élément de F possède au moins un antécédent, ce qui équivaut à Im f=F.
• Bijection : À la fois injective et surjective, de sorte que chaque élément du codomaine possède un unique antécédent.
• Composition : Pour f:E→F et g:F→G, la composée g∘f:E→G est définie par (g∘f)(x)=g(f(x)).

💡 Astuce mémo

Injective : au plus un antécédent ; surjective : au moins un ; bijective : exactement un.

📖 9. Relations et récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation d'ordre : Une relation binaire réflexive, transitive et antisymétrique.
• Relation d'équivalence : Une relation binaire réflexive, transitive et symétrique.
• Partition : Une famille (Aᵢ)ᵢ∈I est une partition de E si sa réunion vaut E et si deux ensembles distincts de la famille sont disjoints.

📝 Points essentiels

• Le principe de récurrence établit une propriété sur N en vérifiant une initialisation en 0 puis l’hérédité n∈A ⇒ n+1∈A.

💡 Astuce mémo

Récurrence : initialisation, hérédité, conclusion.

📖 10. Ordre et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Vaut a si a≥0 et −a si a≤0.

★ À maîtriser

📌 Si a≤b et c≤0, alors multiplier par c inverse le sens de l’inégalité et donne bc≤ac.

📐 Formule — Pour 0<a≤b, l’inversion renverse l’ordre : 0&lt;\\frac{1}{b}\\leq\\frac{1}{a}.

📐 Formule — Pour tout réel a et tout réel M≥0, $|a|\\leq M\\Longleftrightarrow -M\\leq a\\leq M$.

Compléments

📐 Formule — L’inégalité triangulaire donne $|a+b|\\leq|a|+|b|$ pour tous réels a et b.

💡 Astuce mémo

Multiplier une inégalité par un négatif entraîne l’inversion de son sens.

📖 11. Fonctions réelles et limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Définie sur un domaine symétrique par rapport à 0 et vérifiant f(−x)=f(x) pour tout x de son domaine.
• Fonction périodique : Son domaine contient x−T et x+T et vérifiant f(x+T)=f(x) pour tout x de son domaine.
• Monotonie : Une fonction est croissante si x≤y implique f(x)≤f(y), et décroissante si x≤y implique f(x)≥f(y).
• Limite : Que l’on peut rendre f(x) aussi proche que souhaité de ℓ en prenant x suffisamment proche de a.
• Fonction bornée : Lorsqu’il existe M≥0 tel que |f(x)|≤M pour tout x de son domaine.

📝 Points essentiels

📌 Si f(x) tend vers ℓf et g(x) vers ℓg lorsque x tend vers a, alors la somme tend vers ℓf+ℓg et le produit tend vers ℓfℓg.

💡 Astuce mémo

Paire : symétrie par rapport à Oy ; impaire : symétrie centrale en O.

📖 12. Limites et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite en un point : La fonction f tend vers ℓ lorsque x tend vers a si, en rendant x suffisamment proche de a, on peut rendre f(x) aussi proche que souhaité de ℓ.
• Continuité : La fonction f est continue en x_0 si f(x)\\xrightarrow\[x\\to x_0\]{}f(x_0), et elle est continue si elle est continue en tout point de son domaine.

★ À maîtriser

📌 Les limites se calculent par linéarité, produit, inverse lorsque la limite du dénominateur est non nulle, quotient lorsque cette limite est non nulle et composition lorsque les limites sont compatibles.

📌 Si f est continue sur [a,b], toute valeur y_0 comprise entre f(a) et f(b) est atteinte en un point x_0 de [a,b].

Compléments

• Les formes $0^0$ et $1^{+\\infty}$ sont indéterminées.

📌 Une combinaison linéaire, un produit, un quotient dont le dénominateur ne s’annule pas et une composée de fonctions continues sont continus.

💡 Astuce mémo

x proche de a → f(x) proche de ℓ

📖 13. Dérivation et monotonie

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : La fonction f est dérivable en x_0 lorsque $\\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ admet une limite finie quand h tend vers 0, cette limite étant le nombre dérivé f′(x_0).

📝 Points essentiels

📌 Toute fonction dérivable en x_0 est continue en x_0, mais la fonction x↦|x| est continue en 0 sans être dérivable en 0.

📐 Formule — La dérivée d’un produit vérifie $(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$.

📐 Formule — La dérivée d’une composée vérifie $(g\\circ f)'(x)=f'(x)g'(f(x))$.

📌 Sur un intervalle, une fonction dérivable est croissante si et seulement si sa dérivée est positive ou nulle partout, et elle est constante si et seulement si sa dérivée est nulle partout.

💡 Astuce mémo

Continuité nécessaire, mais non suffisante pour la dérivabilité

📖 14. Primitives et intégration

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Une primitive de f est une fonction dérivable F telle que $F'(x)=f(x)$ sur son domaine.

★ À maîtriser

📌 Sur un intervalle, si F est une primitive de f, toutes les primitives de f sont les fonctions F+C avec C constant.

📐 Formule — Si f est continue sur [a,b] et F est une primitive de f, alors $\\int_a^b f(x),dx=F(b)-F(a)$.

📐 Formule — L’intégration par parties vérifie \\int_a^b f(x)g(x),dx=\[f(x)G(x)\]\_a^b-\\int_a^b f'(x)G(x),dx lorsque G est une primitive de g.

Compléments

📌 Si f(x)≤g(x) sur [a,b] avec a≤b, alors $\\int_a^b f(x),dx\\le\\int_a^b g(x),dx$.

💡 Astuce mémo

Primitive → intégrale → parties ou changement de variable

📖 15. Polynômes et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme : Un polynôme à coefficients dans K est une expression $P=a_0+a_1X+\\cdots+a_nX^n$ avec les coefficients dans K.
• Racine d’un polynôme : Un élément α de K est une racine de P si et seulement si $P(α)=0$.

📝 Points essentiels

📌 Pour des polynômes non nuls, le degré du produit vérifie $\\deg(PQ)=\\deg P+\\deg Q$, tandis qu’une combinaison linéaire peut avoir un degré inférieur à celui de ses termes.

📌 α est une racine de P si et seulement s’il existe Q tel que $P=(X-α)Q$.

• Un polynôme de degré n admet au plus n racines.

💡 Astuce mémo

Racine α ↔ facteur X−α

📖 16. Sommes, trigonométrie et récurrences

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme télescopique : Une somme de la forme $\\sum\_{k=m}^{n}(u\_{k+1}-u_k)$ est télescopique et vaut $u\_{n+1}-u_m$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une suite arithmétique, $\\sum\_{k=m}^{n}u_k=\\frac{u_m+u_n}{2}(n-m+1)$.

📐 Formule — Pour une suite géométrique de raison q différente de 1, $\\sum\_{k=m}^{n}u_k=\\frac{u_m-u\_{n+1}}{1-q}$.

📐 Formule — Les identités trigonométriques fondamentales sont $\\cos^2x+\\sin^2x=1$, $1+\\tan^2x=\\frac{1}{\\cos^2x}$ et $1+\\cotan^2x=\\frac{1}{\\sin^2x}$.

• Pour résoudre une récurrence linéaire d’ordre 2 homogène, on résout d’abord l’équation caractéristique puis on utilise ses racines pour construire la solution générale.

💡 Astuce mémo

Sommer → transformer → résoudre la récurrence

📖 17. Systèmes linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire : Un système linéaire à q équations et p inconnues est un ensemble d’équations où chaque équation est une combinaison linéaire des inconnues x_1,…,x_p, égale à un second membre.

📝 Points essentiels

📌 Un système est compatible s’il admet au moins une solution et incompatible s’il n’en admet aucune.

📖 18. Suites récurrentes d’ordre deux

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire : Un système linéaire à q équations et p inconnues est un système dont chaque équation est une combinaison linéaire des inconnues x_1,...,x_p, avec des coefficients et des seconds membres dans K.
• Système homogène : Lorsque tous ses seconds membres sont nuls

★ À maîtriser

📐 Formule — L'équation caractéristique d'une suite vérifiant $u\_{n+2}=au\_{n+1}+bu_n$ est $z^2=az+b$.

📐 Formule — Lorsque l'équation caractéristique possède une racine réelle double r non nulle, les solutions sont $u_n=(\\lambda+\\mu n)r^n$ avec $\\lambda,\\mu\\in\\mathbb R$.

📐 Formule — Lorsque l'équation caractéristique possède deux racines complexes conjuguées $re^{i\\omega}$ et $re^{-i\\omega}$, les solutions réelles sont u_n=\[\\lambda\\cos(\\omega n)+\\mu\\sin(\\omega n)\]r^n avec $\\lambda,\\mu\\in\\mathbb R$.

• Les opérations élémentaires autorisées sont: changer l'ordre des équations, changer l'ordre des inconnues, multiplier une équation par un scalaire non nul, ajouter un multiple d'une équation à une autre

• Le pivot de Gauss transforme un système linéaire en système échelonné en choisissant un pivot non nul, en éliminant la variable correspondante dans les lignes suivantes, puis en répétant l'opération sur les lignes restantes.

📌 Après échelonnement, une équation $0=0$ est supprimée, tandis qu'une équation $0=b$ avec $b\\ne0$ prouve que le système est incompatible.

📌 Un système échelonné à r pivots est compatible si et seulement si toutes les lignes restantes ont un second membre nul, et il possède une solution unique si et seulement s'il est compatible et r=p.

• Lorsque le système est compatible, les inconnues sans pivot sont introduites comme paramètres, puis les équations sont résolues par substitution en remontant de la dernière ligne à la première.

• Le vecteur nul est toujours solution d'un système linéaire homogène et constitue sa solution triviale.

📐 Formule — Dans le plan, si $(a,b)\\ne(0{,}0)$, l'équation $ax+by=c$ représente une droite dont un vecteur normal a pour coordonnées $(a,b)$.

📌 Pour deux équations à deux inconnues, des droites non parallèles donnent une solution unique, des droites parallèles distinctes donnent aucune solution, et des droites confondues donnent une infinité de solutions.

📐 Formule — Dans l'espace, si $(a,b,c)\\ne(0{,}0{,}0)$, l'équation $ax+by+cz=d$ représente un plan dont un vecteur normal a pour coordonnées $(a,b,c)$.

📌 Pour trois plans, un rang égal à 3 donne un point d'intersection unique ; un rang inférieur à 3 donne une intersection vide si le système est incompatible, sinon une droite lorsque le rang vaut 2 ou un plan lorsque le rang vaut 1.

Compléments

• Si un système compatible à p inconnues possède r pivots, son ensemble de solutions possède d=p-r degrés de liberté.

💡 Astuce mémo

Racines distinctes : deux puissances ; racine double : puissance multipliée par n ; racines complexes : cosinus et sinus.

📊 Tableaux de synthèse

Formes d’un nombre complexe

Types d'applications