QCM : Nombres complexes et logique — 67 questions

Question 1

1. Quelle écriture définit un nombre complexe ?

z=x+y

, avec

x,y\in\mathbb{R}

et

i^2=1

z=xy+i

, avec

x,y\in\mathbb{R}

et

i^2=-1

z=x+iy

, avec

x,y\in\mathbb{R}

et

i^2=-1

z=x+iy

, avec

x,y\in\mathbb{C}

et

i^2=1

Explication

Un nombre complexe s’écrit $z=x+iy$ avec deux réels $x$ et $y$ , tandis que l’unité imaginaire vérifie $i^2=-1$ . L’écriture $z=x+y$ ne fait pas intervenir la partie imaginaire et ne définit donc pas la forme générale attendue.

Answer

$$z=x+iy$$, avec $$x,y\in\mathbb{R}$$ et $$i^2=-1$$

Question 2

2. Pour un nombre complexe $z=x+iy$ , que représentent $x$ et $y$ ?

x=\operatorname{Im}(z)

et

y=\operatorname{Re}(z)

, de manière unique

x=\operatorname{Re}(z)

et

y=\operatorname{Im}(z)

, de manière unique

x

et

y

sont deux arguments possibles associés à

z

x

et

y

sont deux modules associés à

z

Explication

La décomposition $z=x+iy$ est unique, avec $x$ comme partie réelle et $y$ comme partie imaginaire. Intervertir ces rôles confond les deux composantes de l’écriture cartésienne.

Answer

$$x=\operatorname{Re}(z)$$ et $$y=\operatorname{Im}(z)$$, de manière unique

Question 3

3. Quel est le conjugué de $z=3-5i$ ?

-3+5i

3-5i

-3-5i

3+5i

Explication

Le conjugué conserve la partie réelle et change le signe de la partie imaginaire, donc $\overline z=3+5i$ . L’opposé, lui, changerait les signes des deux parties et donnerait $-3+5i$ .

Answer

$$|a+b|\leq 7$$

Answer

$$\cos\theta+i\sin\theta$$

Answer

$$e^{i(\theta_1+\theta_2)}$$

Answer

$$e^{in\theta}=(e^{i\theta})^n$$

Answer

$$z=re^{i\theta}$$ avec $$r=|z|>0$$

Answer

Il vérifie $$z^n=a$$

Answer

Exactement $$n$$, données par $$1,\omega,\ldots,\omega^{n-1}$$ avec $$\omega=e^{2i\pi/n}$$

Answer

En prenant $$z_0,\omega z_0,\ldots,\omega^{n-1}z_0$$ avec $$\omega=e^{2i\pi/n}$$

Answer

$$\frac{-b+\delta}{2a}$$ et $$\frac{-b-\delta}{2a}$$, avec $$\delta^2=\Delta$$ et $$\Delta=b^2-4ac$$

Answer

$$\frac{c-a}{b-a}\in\mathbb R$$

Answer

$$f(z)=az+b$$ avec $$a\in\mathbb C^*$$ et $$b\in\mathbb C$$

Answer

Le nombre $$7$$ est premier.

Answer

$$P(x): x^2\geq 1$$

Answer

La propriété $$P(x)$$ est vraie pour chaque élément de $$E$$.

Answer

Lorsque $$P$$ est vraie et $$Q$$ est fausse.

Answer

Lorsque $$P$$ et $$Q$$ ont la même valeur de vérité.

Answer

$$\neg(P\land Q)\Leftrightarrow(\neg P)\lor(\neg Q)$$

Answer

$$\neg Q\Rightarrow\neg P$$

Answer

Il existe $$x\in E$$ tel que $$\neg P(x)$$.

Answer

$$A\subset B$$, mais $$B\not\subset A$$

Answer

$$\{3,4\}$$

Answer

$$\{1,3\}$$

Answer

Chaque élément de $$E$$ possède une unique image dans $$F$$

Answer

Elle est injective

Answer

Tout élément de $$F$$ possède au moins un antécédent

Answer

Chaque élément de $$F$$ possède un unique antécédent

Answer

Réflexivité, transitivité et antisymétrie

Answer

Réflexivité, transitivité et symétrie

Answer

Sa réunion vaut $$E$$ et ses ensembles distincts sont disjoints

Answer

Montrer que la propriété au rang $$n$$ entraîne sa validité au rang $$n+1$$

Answer

$$bc\leq ac$$

Answer

$$0<\frac{1}{b}\leq\frac{1}{a}$$

Answer

$$-M\leq a\leq M$$

Answer

$$f(-x)=f(x)$$ pour tout $$x$$ du domaine

Answer

$$f(x+T)=f(x)$$

Answer

Elle est décroissante

Answer

Les valeurs de $$f(x)$$ peuvent devenir aussi proches que souhaité de $$\ell$$ lorsque $$x$$ approche suffisamment $$a$$.

Answer

En rapprochant suffisamment $$x$$ de $$a$$, on rend $$f(x)$$ aussi proche que souhaité de $$\ell$$.

Answer

Lorsque la limite du dénominateur est non nulle

Answer

$$f(x)\xrightarrow[x\to x_0]{}f(x_0)$$

Answer

Il existe $$x_0\in[a,b]$$ tel que $$f(x_0)=y_0$$.

Answer

Le quotient $$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$ admet une limite finie quand $$h$$ tend vers zéro

Answer

La dérivabilité entraîne la continuité, mais la continuité n’entraîne pas la dérivabilité

Answer

$$2x\sin x+x^2\cos x$$

Answer

$$2x\cos(x^2)$$

Answer

F est dérivable et vérifie $$F'(x)=f(x)$$

Answer

Il existe une constante C telle que $$H=F+C$$

Answer

$$[f(x)G(x)]_a^b-\int_a^b f'(x)G(x)\,dx$$

Answer

X est une indéterminée du polynôme

Answer

On vérifie que $$P(\alpha)=0$$

Answer

Elle vaut $$u_{n+1}-u_m$$ après annulation des termes intermédiaires

Answer

$$1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}$$

Answer

Chaque équation est une combinaison linéaire des inconnues, égale à un second membre

Answer

Lorsqu’il admet au moins une solution

Answer

$$z^2=3z-2$$

Answer

$$u_n=(\lambda+\mu n)r^n$$

Answer

$$u_n=[\lambda\cos(\omega n)+\mu\sin(\omega n)]r^n$$

Answer

Choisir un pivot non nul puis éliminer la variable correspondante dans les lignes suivantes

Question 4

4. Si $|a|=3$ et $|b|=4$ , quelle majoration est garantie pour $|a+b|$ ?

|a+b|\geq 7

|a+b|\leq 7

|a+b|\leq 1

|a+b|=12

Explication

L’inégalité triangulaire donne $|a+b|\leq |a|+|b|=3+4=7$ . Le produit des modules intervient dans $|ab|$ , pas dans la majoration de la somme.

Question 5

5. Quelle expression décrit l’exponentielle imaginaire $e^{i\theta}$ pour un réel $\theta$ ?

\cos\theta+i\sin\theta

e^\theta(\cos\theta+i\sin\theta)

\cosh\theta+i\sinh\theta

\sin\theta+i\cos\theta

Explication

Par définition, $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ . Son module vaut donc $1$ , contrairement à l’expression proposée avec le facteur $e^\theta$ .

Question 6

6. Comment se simplifie $e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}$ ?

e^{i(\theta_1-\theta_2)}

e^{i(\theta_1/\theta_2)}

e^{i(\theta_1+\theta_2)}

e^{i(\theta_1\theta_2)}

Explication

La multiplication des exponentielles imaginaires additionne les arguments : $e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}=e^{i(\theta_1+\theta_2)}$ . La multiplication des arguments ne correspond pas à cette règle ; les modules, eux, se multiplient.

Question 7

7. Pour un entier $n$ , quelle identité exprime la formule de Moivre ?

e^{in\theta}=(e^{i n})^\theta

e^{in\theta}=n e^{i\theta}

e^{in\theta}=e^{i\theta+n}

e^{in\theta}=(e^{i\theta})^n

Explication

La formule de Moivre relie une puissance de l’exponentielle imaginaire à une exponentielle dont l’argument est multiplié par $n$ . L’expression $n e^{i\theta}$ correspondrait à une multiplication par un réel, pas à une puissance.

Question 8

8. Quelle forme trigonométrique convient à tout complexe non nul $z$ ?

z=re^{i\theta}

avec

r=|z|>0

z=re^{\theta}

avec

r=|z|

z=|z|+i\theta

avec

\theta>0

z=\theta e^{ir}

avec

r=|z|>0

Explication

Tout complexe non nul possède une forme $z=re^{i\theta}$ , où le rayon $r$ est son module et vérifie $r>0$ . L’argument apparaît dans le facteur $e^{i\theta}$ , et non comme un coefficient réel placé devant l’exponentielle.

Question 9

9. Que signifie qu’un complexe $z$ est une racine $n$ -ième de $a$ ?

Il vérifie

nz=a

Il vérifie

z^n=n+a

Il vérifie

z^n=a

Il vérifie

z+a=n

Explication

Par définition, une racine $n$ -ième de $a$ est un complexe dont la puissance $n$ -ième vaut $a$ . L’équation $nz=a$ est une relation linéaire et ne définit pas une racine d’ordre $n$ .

Question 10

10. Combien de racines $n$ -ièmes de l’unité existe-t-il pour $n\geq1$ ?

Exactement

n-1

, données par

\omega,\ldots,\omega^{n-1}

Exactement

n

, données par

1,\omega,\ldots,\omega^{n-1}

avec

\omega=e^{2i\pi/n}

Exactement

2n

, obtenues en prenant les conjuguées de ces nombres

Une seule, égale à

1

, quel que soit

n

Explication

Les racines de l’unité sont les $n$ nombres $1,\omega,\ldots,\omega^{n-1}$ , où $\omega$ est une rotation d’angle $2\pi/n$ . La liste comprend donc bien $n$ éléments, en incluant la racine $1$ .

Question 11

11. Pour $a\neq0$ , comment obtient-on les racines $n$ -ièmes à partir d’une racine $z_0$ ?

En prenant

z_0,\omega+z_0,\ldots,\omega^{n-1}+z_0

avec

\omega=e^{i\pi/n}

En prenant

z_0,\omega z_0,\ldots,\omega^{n-1}z_0

avec

\omega=e^{2i\pi/n}

En prenant

z_0, z_0+\omega,\ldots,z_0+\omega^{n-1}

avec

\omega=e^{2i\pi/n}

En prenant

z_0,2z_0,\ldots,nz_0

avec

\omega=e^{2i\pi/n}

Explication

Les racines s’obtiennent en multipliant une racine donnée par chacune des $n$ racines de l’unité. Il s’agit donc de rotations et non d’additions ou de multiples réels de $z_0$ .

Question 12

12. Pour $az^2+bz+c$ avec $a\neq0$ et $\Delta\neq0$ , quelles sont les racines ?

\frac{-b+\Delta}{a}

et

\frac{-b-\Delta}{a}

, avec

\Delta=b^2-4ac

\frac{-a+\delta}{2b}

et

\frac{-a-\delta}{2b}

, avec

\delta^2=\Delta

et

\Delta=b^2-4ac

\frac{-b+\delta}{2a}

et

\frac{-b-\delta}{2a}

, avec

\delta^2=\Delta

et

\Delta=b^2-4ac

\frac{b+\delta}{2a}

et

\frac{b-\delta}{2a}

, avec

\delta^2=\Delta

et

\Delta=b^2+4ac

Explication

La résolution du trinôme utilise le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ et une quantité $\delta$ telle que $\delta^2=\Delta$ , ce qui donne les deux expressions indiquées. Changer le signe de $b$ dans le discriminant ou modifier le dénominateur ne respecte pas la formule quadratique.

Question 13

13. Dans un repère orthonormé direct, quel complexe est l’affixe du point de coordonnées $(-2,3)$ ?

3-2i

-2+3i

2+3i

-2-3i

Explication

L’affixe d’un point de coordonnées $(x,y)$ est le complexe $x+iy$ , donc le point considéré a pour affixe $-2+3i$ . L’expression $3-2i$ inverse les rôles de l’abscisse et de l’ordonnée.

Question 14

14. Si les affixes de A et B sont respectivement $a=1+i$ et $b=4+3i$ , quel est l’axe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ?

3-2i

-3-2i

3+2i

5+4i

Explication

L’axe de $\overrightarrow{AB}$ est $b-a=(4+3i)-(1+i)=3+2i$ . L’expression $a-b=-3-2i$ correspond à l’axe du vecteur opposé $\overrightarrow{BA}$ .

Question 15

15. Pour trois points distincts d’affixes $a$ , $b$ et $c$ , quelle condition caractérise leur alignement ?

c-a=b-a

\frac{c-a}{b-a}\in i\mathbb R

|c-a|=|b-a|

\frac{c-a}{b-a}\in\mathbb R

Explication

Les trois points sont alignés si et seulement si le quotient $\frac{c-a}{b-a}$ est réel, car les deux vecteurs correspondants ont alors des directions colinéaires. Un quotient imaginaire pur décrit plutôt une relation de perpendicularité dans ce cadre.

Question 16

16. Laquelle des expressions définit une similitude directe du plan complexe ?

f(z)=z^2+b

avec

b\in\mathbb C

f(z)=az+b

avec

a\in\mathbb C^*

et

b\in\mathbb C

f(z)=az^2+b

avec

a,b\in\mathbb C

f(z)=a\overline z+b

avec

a\in\mathbb C^*

et

b\in\mathbb C

Explication

Une similitude directe est de la forme affine complexe $f(z)=az+b$ , avec un coefficient $a$ non nul. L’apparition de $\overline z$ correspond à une transformation indirecte, tandis que les expressions quadratiques ne sont pas des similitudes directes générales.

Question 17

17. Laquelle des phrases suivantes est une assertion mathématique ?

Quel est le prochain entier naturel ?

Choisir un point du plan.

Déterminer un nombre réel positif.

Le nombre

7

est premier.

Explication

Une assertion est une phrase à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité unique, et « le nombre $7$ est premier » est vraie. Les autres formulations sont des consignes ou des questions qui ne sont pas directement vraies ou fausses.

Question 18

18. Laquelle des expressions est un prédicat sur $\mathbb R$ ?

2+3=5

P(x): x^2\geq 1

Résoudre une équation réelle

x^2\geq 1

est vraie pour tout réel

Explication

Un prédicat est une phrase dont la valeur de vérité dépend de l’élément choisi dans l’ensemble considéré, ici le réel $x$ . L’expression $2+3=5$ possède déjà une valeur de vérité indépendante d’une variable.

Question 19

19. Que signifie l’énoncé $\forall x\in E,\ P(x)$ ?

La propriété

P(x)

est vraie pour un élément choisi de

E

.

La propriété

P(x)

est vraie pour au moins un élément de

E

.

La propriété

P(x)

est vraie pour chaque élément de

E

.

La propriété

P(x)

est fausse pour chaque élément de

E

.

Explication

Le quantificateur universel $\forall$ signifie « pour tout » : la propriété doit donc être vérifiée par chaque élément de $E$ . Le fait qu’elle soit vraie pour au moins un élément correspond au quantificateur existentiel $\exists$ .

Question 20

20. Dans quel cas l’implication $P\Rightarrow Q$ est-elle fausse ?

Lorsque

P

et

Q

sont toutes deux fausses.

Lorsque

P

est fausse et

Q

est vraie.

Lorsque

P

est vraie et

Q

est fausse.

Lorsque

P

et

Q

sont toutes deux vraies.

Explication

Une implication n’est fausse que lorsque sa prémisse est vraie alors que sa conclusion est fausse. Dans les trois autres configurations, sa valeur logique est vraie, même lorsque $P$ est fausse.

Question 21

21. Quand l’équivalence logique $P\Leftrightarrow Q$ est-elle vraie ?

Lorsque

P

et

Q

sont nécessairement toutes deux vraies.

Lorsque

P

implique

Q

dans un seul sens.

Lorsque

P

est vraie et

Q

est fausse.

Lorsque

P

et

Q

ont la même valeur de vérité.

Explication

L’équivalence logique est vraie lorsque les deux propositions sont simultanément vraies ou simultanément fausses. Une implication dans un seul sens ne suffit pas à établir cette identité de valeur de vérité.

Question 22

22. Quelle transformation est donnée par la loi de De Morgan appliquée à $\neg(P\land Q)$ ?

\neg(P\land Q)\Leftrightarrow(\neg P)\Rightarrow(\neg Q)

\neg(P\land Q)\Leftrightarrow(\neg P)\land(\neg Q)

\neg(P\land Q)\Leftrightarrow P\lor Q

\neg(P\land Q)\Leftrightarrow(\neg P)\lor(\neg Q)

Explication

La négation d’une conjonction devient la disjonction des négations : $\neg(P\land Q)\Leftrightarrow(\neg P)\lor(\neg Q)$ . La conjonction des négations correspond à la négation d’une disjonction, et non à celle d’une conjonction.

Question 23

23. Quelle proposition est logiquement équivalente à l’implication $P\Rightarrow Q$ ?

Q\Rightarrow P

P\land\neg Q

\neg P\Rightarrow\neg Q

\neg Q\Rightarrow\neg P

Explication

Une implication et sa contraposée ont toujours la même valeur de vérité : $P\Rightarrow Q\Leftrightarrow\neg Q\Rightarrow\neg P$ . L’implication réciproque $Q\Rightarrow P$ n’est pas équivalente en général.

Question 24

24. Quelle est la négation de l’énoncé « pour tout $x\in E$ , $P(x)$ » ?

Pour tout

x\in E

,

P(x)

.

Il existe

x\in E

tel que

\neg P(x)

.

Il existe

x\in E

tel que

P(x)

.

Pour tout

x\in E

,

\neg P(x)

.

Explication

La négation d’une affirmation universelle est l’existence d’au moins un contre-exemple : $\neg(\forall x\in E, P(x))\Leftrightarrow\exists x\in E,\neg P(x)$ . Dire que tous les éléments vérifient la négation est une assertion plus forte et différente.

Question 25

25. Si $A=\{1,2\}$ et $B=\{1,2,3\}$ , quelle affirmation est correcte ?

A=B

, car les deux ensembles contiennent 1 et 2

B\subset A

, mais

A\not\subset B

A\subset B

, mais

B\not\subset A

Les deux inclusions sont fausses, car les ensembles sont distincts

Explication

Tout élément de $A$ appartient à $B$ , tandis que 3 appartient à $B$ sans appartenir à $A$ . L’égalité nécessiterait les deux inclusions, ce qui n’est pas vérifié ici.

Question 26

26. Quel est le complémentaire de $A=\{1,2\}$ dans $E=\{1,2,3,4\}$ ?

\{1,2,3,4\}

\varnothing

\{3,4\}

\{1,2\}

Explication

Le complémentaire contient les éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$ , soit 3 et 4. L’ensemble de référence est indispensable pour déterminer ce complémentaire.

Question 27

27. Si $A=\{1,2,3\}$ et $B=\{2,4\}$ , quelle est la différence $A\setminus B$ ?

\{2,4\}

\{2\}

\{1,2,3,4\}

\{1,3\}

Explication

La différence $A\setminus B$ rassemble les éléments de $A$ qui n’appartiennent pas à $B$ , ici 1 et 3. L’élément 2 est retiré parce qu’il appartient aux deux ensembles.

Question 28

28. Quelle condition caractérise une application $f:E\to F$ ?

Chaque élément de

F

possède une unique image dans

E

Chaque élément de

E

possède au moins deux images dans

F

Chaque élément de

F

possède au moins deux antécédents dans

E

Chaque élément de

E

possède une unique image dans

F

Explication

Une application attribue à chaque élément de l’ensemble de départ une image unique dans l’ensemble d’arrivée. Elle ne requiert pas que chaque élément d’arrivée ait un antécédent.

Question 29

29. Une application $f:E\to F$ vérifie $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$ . Quelle propriété possède-t-elle ?

Elle est surjective

Elle est bijective

Elle est constante

Elle est injective

Explication

Cette implication signifie que deux éléments ayant la même image sont nécessairement égaux, ce qui définit l’injectivité. Elle n’indique pas que chaque élément de $F$ possède un antécédent, condition requise pour la surjectivité.

Question 30

30. Quelle condition caractérise la surjectivité d’une application $f:E\to F$ ?

Tout élément de

F

possède au plus un antécédent

Tout élément de

E

possède au moins deux images

Tout élément de

F

possède au moins un antécédent

L’image de

f

est strictement incluse dans

F

Explication

Une application est surjective lorsque chaque élément du codomaine $F$ est atteint par au moins un élément de $E$ , donc lorsque $\operatorname{Im} f=F$ . La condition « au plus un antécédent » décrit l’injectivité.

Question 31

31. Que peut-on déduire d’une application bijective $f:E\to F$ ?

Tous les éléments de

E

ont la même image

Chaque élément de

F

possède un unique antécédent

Certains éléments de

F

n’ont pas d’antécédent

Chaque élément de

F

possède au moins deux antécédents

Explication

La bijectivité combine l’injectivité et la surjectivité : chaque élément d’arrivée possède au moins un antécédent et au plus un, donc un unique antécédent. Les autres propositions contredisent l’une de ces deux propriétés.

Question 32

32. Quelles propriétés définissent une relation d’ordre ?

Symétrie, antisymétrie et transitivité

Réflexivité, symétrie et complémentarité

Réflexivité, transitivité et antisymétrie

Réflexivité, transitivité et symétrie

Explication

Une relation d’ordre est réflexive, transitive et antisymétrique. La symétrie appartient à la définition d’une relation d’équivalence, et non à celle d’une relation d’ordre.

Question 33

33. Quelles propriétés définissent une relation d’équivalence ?

Symétrie, antisymétrie et réflexivité

Transitivité, complémentarité et antisymétrie

Réflexivité, transitivité et symétrie

Réflexivité, transitivité et antisymétrie

Explication

Une relation d’équivalence est réflexive, symétrique et transitive. L’antisymétrie est une propriété caractéristique des relations d’ordre, mais elle n’est pas requise ici.

Question 34

34. Quelle condition caractérise une partition d’un ensemble $E$ par une famille $\left(A_i\right)_{i\in I}$ ?

Sa réunion est vide et ses ensembles distincts se recouvrent

Sa réunion vaut

E

et ses ensembles distincts sont disjoints

Sa réunion contient

E

et les ensembles peuvent se chevaucher

Chaque ensemble de la famille vaut

E

et ils sont identiques

Explication

Une partition couvre tout $E$ par une réunion égale à $E$ , tout en séparant les parties distinctes par disjonction. Une simple couverture autorisant des recouvrements ne suffit pas.

Question 35

35. Dans une démonstration par récurrence, quelle est la fonction de l’hérédité ?

Établir que la propriété est fausse pour chaque rang suivant

Remplacer la vérification du premier rang par une définition

Vérifier directement la propriété au premier rang considéré

Montrer que la propriété au rang

n

entraîne sa validité au rang

n+1

Explication

L’hérédité établit l’implication $n\in A\Rightarrow n+1\in A$ , ce qui transmet la propriété d’un rang au suivant. La vérification au premier rang relève de l’initialisation.

Question 36

36. Si $a\leq b$ et $c\leq 0$ , quelle inégalité obtient-on après multiplication par $c$ ?

bc\geq ac

b+c\leq a+c

ac\leq bc

bc\leq ac

Explication

La multiplication par un nombre négatif ou nul inverse le sens de l’inégalité, d’où $bc\leq ac$ . L’ordre ne resterait inchangé qu’avec une multiplication par un nombre positif.

Question 37

37. Pour deux réels positifs vérifiant $0<a\leq b$ , quelle relation leurs inverses satisfont-ils ?

0<\frac{1}{a}\leq\frac{1}{b}

\frac{1}{a}\leq 0\leq\frac{1}{b}

\frac{1}{a}=\frac{1}{b}

0<\frac{1}{b}\leq\frac{1}{a}

Explication

L’inversion renverse l’ordre entre nombres strictement positifs, donc le plus grand nombre possède le plus petit inverse. La relation correcte est ainsi $0<\frac{1}{b}\leq\frac{1}{a}$ .

Question 38

38. Quelle expression donne la valeur absolue d’un réel négatif $a$ ?

-a

a

a^2

\frac{1}{a}

Explication

Lorsque $a\leq 0$ , sa valeur absolue est définie par $|a|=-a$ , ce qui donne un résultat positif ou nul. L’expression $a$ resterait négative si $a<0$ .

Question 39

39. Pour un réel $M\geq 0$ , quelle inégalité est équivalente à $|a|\leq M$ ?

0\leq a\leq M

-a\leq M\leq a

a\leq -M\text{ ou }a\geq M

-M\leq a\leq M

Explication

La condition $|a|\leq M$ signifie que la distance de $a$ à zéro ne dépasse pas $M$ , donc $a$ appartient à l’intervalle $[-M,M]$ . La condition avec deux branches extérieures correspondrait plutôt à une valeur absolue au moins égale à une borne.

Question 40

40. Quelle propriété caractérise une fonction paire définie sur un domaine symétrique par rapport à zéro ?

f(-x)=-f(x)

pour tout

x

du domaine

f(x+T)=f(x)

pour tout

x

du domaine

f(-x)=f(x)

pour tout

x

du domaine

f(x)\geq f(y)

dès que

x\leq y

Explication

Une fonction paire prend la même valeur en $x$ et en $-x$ , ce qui s’écrit $f(-x)=f(x)$ . La relation $f(-x)=-f(x)$ caractérise plutôt une fonction impaire.

Question 41

41. Une fonction est-elle T-périodique lorsqu’elle vérifie quelle relation, avec les points requis dans son domaine ?

f(x+T)=f(x)

f(Tx)=f(x)

f(x+T)=f(x)+T

f(-x)=f(x)

Explication

La périodicité de période $T$ signifie que la translation horizontale de $T$ reproduit les valeurs : $f(x+T)=f(x)$ . La relation entre $x$ et $-x$ concerne la parité, et non la périodicité.

Question 42

42. Si une fonction vérifie $x\leq y\Rightarrow f(x)\geq f(y)$ , comment la qualifie-t-on ?

Elle est croissante

Elle est périodique

Elle est paire

Elle est décroissante

Explication

Une fonction est décroissante lorsque l’ordre des valeurs diminue ou reste constant quand l’argument augmente, soit $x\leq y\Rightarrow f(x)\geq f(y)$ . Une fonction croissante satisferait l’inégalité opposée entre les images.

Question 43

43. Que signifie $f(x)\to\ell$ lorsque $x\to a$ ?

La valeur de

f(a)

est nécessairement égale à

\ell

dès que

x

approche

a

.

La fonction prend la valeur

\ell

pour tout

x

suffisamment éloigné de

a

.

La distance entre

x

et

a

devient égale à la distance entre

f(x)

et

\ell

.

Les valeurs de

f(x)

peuvent devenir aussi proches que souhaité de

\ell

lorsque

x

approche suffisamment

a

.

Explication

Une limite décrit le comportement des valeurs de la fonction au voisinage de $a$ : elles peuvent approcher autant qu’on le souhaite $\ell$ . Elle n’impose pas, à elle seule, que la valeur définie au point $a$ soit égale à $\ell$ .

Question 44

44. Quelle interprétation correspond à la notation $f(x)\xrightarrow[x\to a]{}\ell$ ?

En rapprochant suffisamment

x

de

a

, on rend

f(x)

aussi proche que souhaité de

\ell

.

En éloignant suffisamment

x

de

a

, on rapproche

f(x)

de

\ell

.

La distance de

f(x)

à

\ell

devient égale à celle de

x

à

a

.

En prenant

x=a

, on obtient nécessairement

f(x)=\ell

.

Explication

La notation exprime que les valeurs de $f(x)$ s’approchent de $\ell$ lorsque $x$ s’approche de $a$ . Cette propriété porte sur les points voisins de $a$ et ne détermine pas directement la valeur $f(a)$ .

Question 45

45. Dans quelle situation la règle directe du quotient des limites peut-elle être appliquée ?

Lorsque le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers zéro

Lorsque la limite du dénominateur est nulle et celle du numérateur est finie

Lorsque la limite du dénominateur est non nulle

Lorsque le dénominateur ne possède pas de limite

Explication

Le quotient des limites est valable lorsque la limite du dénominateur est non nulle, car l’inversion est alors autorisée. Les situations comme $0/0$ sont des formes indéterminées qui nécessitent une étude supplémentaire.

Question 46

46. Quelle condition caractérise la continuité de $f$ en $x_0$ ?

f(x)\xrightarrow[x\to x_0]{}f(x_0)

f(x+1)=f(x)

pour tout

x

f(x_0)\xrightarrow[x\to x]{}f(x)

f(x)\xrightarrow[x\to x_0]{}0

Explication

La continuité en $x_0$ exige que la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ soit précisément la valeur $f(x_0)$ . Une limite nulle ou une relation de périodicité ne constitue pas le critère général de continuité.

Question 47

47. Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et qu’un réel $y_0$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , que peut-on conclure ?

Il existe

x_0\in[a,b]

tel que

f(x_0)=y_0

.

La fonction est nécessairement croissante sur

[a,b]

.

Il existe

x_0\in[a,b]

tel que

f(x_0)=0

.

La fonction prend la valeur

y_0

uniquement en

a

ou en

b

.

Explication

La continuité sur l’intervalle garantit que toute valeur située entre les images des extrémités est atteinte en un point de cet intervalle. Elle n’implique pas que la fonction soit croissante ni que la valeur soit prise à une extrémité.

Question 48

48. Que signifie la dérivabilité de la fonction f en $x_0$ ?

La fonction f admet une valeur nulle lorsque

h

tend vers zéro

Le quotient

\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

admet une limite finie quand

h

tend vers zéro

La fonction f possède une limite infinie lorsque

x

tend vers

x_0

Le quotient

\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

devient constant pour toute valeur de

h

Explication

La dérivabilité en $x_0$ est définie par l’existence d’une limite finie du quotient de différences lorsque $h$ tend vers zéro. Une valeur nulle ou une limite infinie ne constitue pas cette définition.

Question 49

49. Quelle relation entre continuité et dérivabilité est illustrée par la fonction $x\mapsto |x|$ en zéro ?

La continuité et la dérivabilité sont deux propriétés indépendantes en tout point

La continuité entraîne la dérivabilité, mais la dérivabilité n’entraîne pas la continuité

La fonction valeur absolue est dérivable en zéro, mais elle n’y est pas continue

La dérivabilité entraîne la continuité, mais la continuité n’entraîne pas la dérivabilité

Explication

Toute fonction dérivable en un point y est continue, tandis que la fonction valeur absolue est continue en zéro sans y être dérivable. La continuité seule ne suffit donc pas à garantir la dérivabilité.

Question 50

50. Si $f(x)=x^2$ et $g(x)=\sin x$ , quelle expression donne la dérivée de leur produit ?

2x\sin x+x^2\cos x

2x\sin x+x^2\sin x

x^2\cos x+\cos x

2x\cos x+x^2\sin x

Explication

La règle du produit donne $(fg)'=f'g+fg'$ , donc ici $f'=2x$ et $g'=\cos x$ . L’expression obtenue est ainsi $2x\sin x+x^2\cos x$ .

Question 51

51. Pour $f(x)=x^2$ et $g(u)=\sin u$ , quelle est la dérivée de la composée $g\circ f$ ?

\cos(x^2)

2x\sin(x^2)

x^2\cos(x)

2x\cos(x^2)

Explication

La règle de dérivation d’une composée donne $(g\circ f)'(x)=f'(x)g'(f(x))$ . Avec $f'(x)=2x$ et $g'(u)=\cos u$ , on obtient $2x\cos(x^2)$ .

Question 52

52. Quelle propriété caractérise une primitive F d’une fonction f sur son domaine ?

F vérifie

F(x)=\int f(x)\,dx

pour chaque valeur de x

F est continue et vérifie

F(x)=f'(x)

F est dérivable et vérifie

F'(x)=f(x)

F est dérivable et vérifie

F'(x)=1/f(x)

Explication

Une primitive de f est une fonction dérivable dont la dérivée est f. Une intégrale peut désigner une valeur numérique, tandis qu’une primitive est une fonction.

Question 53

53. Si F et H sont deux primitives d’une même fonction f sur un intervalle, que peut-on affirmer ?

Il existe une fonction affine A telle que

H=F+A

Leurs différences sont proportionnelles à la fonction f

Les fonctions F et H sont nécessairement égales sur l’intervalle

Il existe une constante C telle que

H=F+C

Explication

Deux primitives d’une même fonction ont la même dérivée, donc leur différence est constante sur l’intervalle. Elles s’écrivent ainsi sous la forme $F+C$ .

Question 54

54. Quelle formule applique-t-on à $\int_a^b f(x)g(x)\,dx$ lorsque G est une primitive de g ?

[f(x)G(x)]_a^b+\int_a^b f'(x)G(x)\,dx

[f'(x)G(x)]_a^b-\int_a^b f(x)G(x)\,dx

f(b)G(b)-f(a)G(a)\int_a^b f'(x)G(x)\,dx

[f(x)G(x)]_a^b-\int_a^b f'(x)G(x)\,dx

Explication

L’intégration par parties s’obtient en intégrant la règle du produit et conduit à un terme évalué aux bornes moins une nouvelle intégrale. Le signe devant cette dernière intégrale est donc négatif.

Question 55

55. Dans l’écriture $P=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n$ , quel rôle joue la lettre X avant toute substitution ?

X désigne le coefficient du terme de plus haut degré

X est nécessairement une racine du polynôme

X est une indéterminée du polynôme

X représente la valeur numérique obtenue après substitution

Explication

Dans l’écriture formelle d’un polynôme, X est une indéterminée. Après substitution d’une valeur x, on obtient la valeur numérique $P(x)$ , ce qui est une notion différente.

Question 56

56. Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non nuls de degrés respectifs 3 et 5. Quel est le degré de leur produit ?

8

15

5

3

Explication

Pour deux polynômes non nuls, le degré du produit est la somme des degrés, donc $\deg(PQ)=3+5=8$ . La multiplication des degrés ne correspond pas à la règle concernée.

Question 57

57. Comment reconnaît-on qu’un élément $\alpha$ de K est une racine du polynôme P ?

On vérifie que

P(\alpha)=1

On vérifie que

P'(\alpha)=0

On vérifie que

P(\alpha)=0

On vérifie que

P(0)=\alpha

Explication

Par définition, $\alpha$ est une racine de P si et seulement si la valeur du polynôme en $\alpha$ est nulle. L’annulation de la dérivée caractérise une autre propriété éventuelle.

Question 58

58. Combien de racines au plus un polynôme de degré 7 peut-il admettre ?

49

14

6

7

Explication

Un polynôme de degré n possède au plus n racines. Pour un degré égal à 7, le nombre maximal de racines est donc 7.

Question 59

59. Comment se simplifie la somme télescopique $\sum_{k=m}^{n}(u_{k+1}-u_k)$ ?

Elle vaut

\frac{u_m+u_n}{2}(n-m+1)

par moyenne des termes

Elle vaut

u_{n+1}-u_m

après annulation des termes intermédiaires

Elle vaut

u_n-u_{m+1}

après regroupement des termes extrêmes

Elle vaut

\frac{u_m-u_{n+1}}{1-q}

comme une somme géométrique

Explication

Les termes intermédiaires s’annulent deux à deux, ce qui laisse $u_{n+1}-u_m$ . La formule faisant intervenir la moyenne des termes concerne une suite arithmétique, pas une somme télescopique.

Question 60

60. Une suite arithmétique possède $u_3=5$ et $u_8=20$ ; combien vaut $\sum_{k=3}^{8}u_k$ ?

125

75

60

90

Explication

Il y a six termes, et leur moyenne est $\frac{5+20}{2}=12,5$ , donc la somme vaut $6\times12,5=75$ . La différence entre les termes extrêmes ne donne pas la somme recherchée.

Question 61

61. Laquelle de ces identités est une identité trigonométrique fondamentale correcte ?

1+\cotan^2x=\frac{1}{\cos^2x}

\cos^2x-\sin^2x=1

1+\tan^2x=\frac{1}{\sin^2x}

1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}

Explication

L’identité $1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}$ fait partie des identités fondamentales. L’expression avec $\cotan^2x$ doit avoir $\sin^2x$ au dénominateur, et non $\cos^2x$ .

Question 62

62. Quelle propriété caractérise un système linéaire à $q$ équations et $p$ inconnues ?

Chaque inconnue doit apparaître dans toutes les équations avec un coefficient non nul

Chaque équation peut contenir des produits ou des carrés des inconnues

Chaque équation est une combinaison linéaire des inconnues, égale à un second membre

Chaque équation doit avoir le même second membre que les autres

Explication

Dans un système linéaire, les inconnues interviennent à la puissance première et sont combinées linéairement avec des coefficients et un second membre. La présence de carrés ou de produits d’inconnues relève d’un système polynomial plus général.

Question 63

63. Un système linéaire est dit compatible dans quel cas ?

Lorsqu’il possède une solution unique entière

Lorsqu’il peut être écrit sous forme échelonnée

Lorsqu’il possède autant d’équations que d’inconnues

Lorsqu’il admet au moins une solution

Explication

La compatibilité signifie qu’au moins un jeu de valeurs satisfait simultanément toutes les équations. Un système compatible peut avoir plusieurs solutions, et le nombre d’équations ne suffit pas à déterminer cette propriété.

Question 64

64. Pour la récurrence $u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n$ , quelle est l’équation caractéristique correspondante ?

z^2=3z-2

z^2=3z+2

z^2-3z-2=0

u^2=3u-2

Explication

On remplace les termes de la récurrence par les puissances correspondantes de la variable caractéristique, ce qui donne $z^2=3z-2$ . L’équation caractéristique porte sur $z$ , tandis que la relation initiale porte sur les termes $u_n$ .

QCM : Nombres complexes et logique — 67 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle écriture définit un nombre complexe ?

2. Pour un nombre complexe z=x+iyz=x+iyz=x+iy, que représentent xxx et yyy ?

3. Quel est le conjugué de z=3−5iz=3-5iz=3−5i ?

4. Si ∣a∣=3|a|=3∣a∣=3 et ∣b∣=4|b|=4∣b∣=4, quelle majoration est garantie pour ∣a+b∣|a+b|∣a+b∣ ?

5. Quelle expression décrit l’exponentielle imaginaire eiθe^{i\theta}eiθ pour un réel θ\thetaθ ?

6. Comment se simplifie eiθ1eiθ2e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}eiθ1​eiθ2​ ?

7. Pour un entier nnn, quelle identité exprime la formule de Moivre ?

8. Quelle forme trigonométrique convient à tout complexe non nul zzz ?

9. Que signifie qu’un complexe zzz est une racine nnn-ième de aaa ?

10. Combien de racines nnn-ièmes de l’unité existe-t-il pour n≥1n\geq1n≥1 ?

11. Pour a≠0a\neq0a=0, comment obtient-on les racines nnn-ièmes à partir d’une racine z0z_0z0​ ?

12. Pour az2+bz+caz^2+bz+caz2+bz+c avec a≠0a\neq0a=0 et Δ≠0\Delta\neq0Δ=0, quelles sont les racines ?

13. Dans un repère orthonormé direct, quel complexe est l’affixe du point de coordonnées (−2,3)(-2,3)(−2,3) ?

14. Si les affixes de A et B sont respectivement a=1+ia=1+ia=1+i et b=4+3ib=4+3ib=4+3i, quel est l’axe du vecteur AB→\overrightarrow{AB}AB ?

15. Pour trois points distincts d’affixes aaa, bbb et ccc, quelle condition caractérise leur alignement ?

16. Laquelle des expressions définit une similitude directe du plan complexe ?

17. Laquelle des phrases suivantes est une assertion mathématique ?

18. Laquelle des expressions est un prédicat sur R\mathbb RR ?

19. Que signifie l’énoncé ∀x∈E, P(x)\forall x\in E,\ P(x)∀x∈E, P(x) ?

20. Dans quel cas l’implication P⇒QP\Rightarrow QP⇒Q est-elle fausse ?

21. Quand l’équivalence logique P⇔QP\Leftrightarrow QP⇔Q est-elle vraie ?

22. Quelle transformation est donnée par la loi de De Morgan appliquée à ¬(P∧Q)\neg(P\land Q)¬(P∧Q) ?

23. Quelle proposition est logiquement équivalente à l’implication P⇒QP\Rightarrow QP⇒Q ?

24. Quelle est la négation de l’énoncé « pour tout x∈Ex\in Ex∈E, P(x)P(x)P(x) » ?

25. Si A={1,2}A=\{1,2\}A={1,2} et B={1,2,3}B=\{1,2,3\}B={1,2,3}, quelle affirmation est correcte ?

26. Quel est le complémentaire de A={1,2}A=\{1,2\}A={1,2} dans E={1,2,3,4}E=\{1,2,3,4\}E={1,2,3,4} ?

27. Si A={1,2,3}A=\{1,2,3\}A={1,2,3} et B={2,4}B=\{2,4\}B={2,4}, quelle est la différence A∖BA\setminus BA∖B ?

28. Quelle condition caractérise une application f:E→Ff:E\to Ff:E→F ?

29. Une application f:E→Ff:E\to Ff:E→F vérifie f(x1)=f(x2)⇒x1=x2f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2f(x1​)=f(x2​)⇒x1​=x2​. Quelle propriété possède-t-elle ?

30. Quelle condition caractérise la surjectivité d’une application f:E→Ff:E\to Ff:E→F ?

31. Que peut-on déduire d’une application bijective f:E→Ff:E\to Ff:E→F ?

32. Quelles propriétés définissent une relation d’ordre ?

33. Quelles propriétés définissent une relation d’équivalence ?

34. Quelle condition caractérise une partition d’un ensemble EEE par une famille (Ai)i∈I\left(A_i\right)_{i\in I}(Ai​)i∈I​ ?

35. Dans une démonstration par récurrence, quelle est la fonction de l’hérédité ?

36. Si a≤ba\leq ba≤b et c≤0c\leq 0c≤0, quelle inégalité obtient-on après multiplication par ccc ?

37. Pour deux réels positifs vérifiant 0<a≤b0<a\leq b0<a≤b, quelle relation leurs inverses satisfont-ils ?

38. Quelle expression donne la valeur absolue d’un réel négatif aaa ?

39. Pour un réel M≥0M\geq 0M≥0, quelle inégalité est équivalente à ∣a∣≤M|a|\leq M∣a∣≤M ?

40. Quelle propriété caractérise une fonction paire définie sur un domaine symétrique par rapport à zéro ?

41. Une fonction est-elle T-périodique lorsqu’elle vérifie quelle relation, avec les points requis dans son domaine ?

42. Si une fonction vérifie x≤y⇒f(x)≥f(y)x\leq y\Rightarrow f(x)\geq f(y)x≤y⇒f(x)≥f(y), comment la qualifie-t-on ?

43. Que signifie f(x)→ℓf(x)\to\ellf(x)→ℓ lorsque x→ax\to ax→a ?

44. Quelle interprétation correspond à la notation f(x)→x→aℓf(x)\xrightarrow[x\to a]{}\ellf(x)x→a​ℓ ?

45. Dans quelle situation la règle directe du quotient des limites peut-elle être appliquée ?

46. Quelle condition caractérise la continuité de fff en x0x_0x0​ ?

47. Si fff est continue sur [a,b][a,b][a,b] et qu’un réel y0y_0y0​ est compris entre f(a)f(a)f(a) et f(b)f(b)f(b), que peut-on conclure ?

48. Que signifie la dérivabilité de la fonction f en x0x_0x0​ ?

49. Quelle relation entre continuité et dérivabilité est illustrée par la fonction x↦∣x∣x\mapsto |x|x↦∣x∣ en zéro ?

50. Si f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 et g(x)=sin⁡xg(x)=\sin xg(x)=sinx, quelle expression donne la dérivée de leur produit ?

51. Pour f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 et g(u)=sin⁡ug(u)=\sin ug(u)=sinu, quelle est la dérivée de la composée g∘fg\circ fg∘f ?

52. Quelle propriété caractérise une primitive F d’une fonction f sur son domaine ?

53. Si F et H sont deux primitives d’une même fonction f sur un intervalle, que peut-on affirmer ?

54. Quelle formule applique-t-on à ∫abf(x)g(x) dx\int_a^b f(x)g(x)\,dx∫ab​f(x)g(x)dx lorsque G est une primitive de g ?

55. Dans l’écriture P=a0+a1X+⋯+anXnP=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^nP=a0​+a1​X+⋯+an​Xn, quel rôle joue la lettre X avant toute substitution ?

56. Soient PPP et QQQ deux polynômes non nuls de degrés respectifs 3 et 5. Quel est le degré de leur produit ?

57. Comment reconnaît-on qu’un élément α\alphaα de K est une racine du polynôme P ?

58. Combien de racines au plus un polynôme de degré 7 peut-il admettre ?

59. Comment se simplifie la somme télescopique ∑k=mn(uk+1−uk)\sum_{k=m}^{n}(u_{k+1}-u_k)∑k=mn​(uk+1​−uk​) ?

60. Une suite arithmétique possède u3=5u_3=5u3​=5 et u8=20u_8=20u8​=20 ; combien vaut ∑k=38uk\sum_{k=3}^{8}u_k∑k=38​uk​ ?

61. Laquelle de ces identités est une identité trigonométrique fondamentale correcte ?

62. Quelle propriété caractérise un système linéaire à qqq équations et ppp inconnues ?

63. Un système linéaire est dit compatible dans quel cas ?

64. Pour la récurrence un+2=3un+1−2unu_{n+2}=3u_{n+1}-2u_nun+2​=3un+1​−2un​, quelle est l’équation caractéristique correspondante ?

65. Quelle forme prend la solution générale lorsque l’équation caractéristique possède une racine réelle double r≠0r\neq0r=0 ?

66. Quelle expression décrit les solutions réelles associées aux racines complexes conjuguées reiωre^{i\omega}reiω et re−iωre^{-i\omega}re−iω ?

67. Quelle opération constitue une étape du pivot de Gauss pour obtenir un système échelonné ?

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Crée tes propres QCM

2. Pour un nombre complexe $z=x+iy$ , que représentent $x$ et $y$ ?

3. Quel est le conjugué de $z=3-5i$ ?

4. Si $|a|=3$ et $|b|=4$ , quelle majoration est garantie pour $|a+b|$ ?

5. Quelle expression décrit l’exponentielle imaginaire $e^{i\theta}$ pour un réel $\theta$ ?

6. Comment se simplifie $e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}$ ?

7. Pour un entier $n$ , quelle identité exprime la formule de Moivre ?

8. Quelle forme trigonométrique convient à tout complexe non nul $z$ ?

9. Que signifie qu’un complexe $z$ est une racine $n$ -ième de $a$ ?

10. Combien de racines $n$ -ièmes de l’unité existe-t-il pour $n\geq1$ ?

11. Pour $a\neq0$ , comment obtient-on les racines $n$ -ièmes à partir d’une racine $z_0$ ?

12. Pour $az^2+bz+c$ avec $a\neq0$ et $\Delta\neq0$ , quelles sont les racines ?

13. Dans un repère orthonormé direct, quel complexe est l’affixe du point de coordonnées $(-2,3)$ ?

14. Si les affixes de A et B sont respectivement $a=1+i$ et $b=4+3i$ , quel est l’axe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ?

15. Pour trois points distincts d’affixes $a$ , $b$ et $c$ , quelle condition caractérise leur alignement ?

18. Laquelle des expressions est un prédicat sur $\mathbb R$ ?

19. Que signifie l’énoncé $\forall x\in E,\ P(x)$ ?

20. Dans quel cas l’implication $P\Rightarrow Q$ est-elle fausse ?

21. Quand l’équivalence logique $P\Leftrightarrow Q$ est-elle vraie ?

22. Quelle transformation est donnée par la loi de De Morgan appliquée à $\neg(P\land Q)$ ?

23. Quelle proposition est logiquement équivalente à l’implication $P\Rightarrow Q$ ?

24. Quelle est la négation de l’énoncé « pour tout $x\in E$ , $P(x)$ » ?

25. Si $A=\{1,2\}$ et $B=\{1,2,3\}$ , quelle affirmation est correcte ?

26. Quel est le complémentaire de $A=\{1,2\}$ dans $E=\{1,2,3,4\}$ ?

27. Si $A=\{1,2,3\}$ et $B=\{2,4\}$ , quelle est la différence $A\setminus B$ ?

28. Quelle condition caractérise une application $f:E\to F$ ?

29. Une application $f:E\to F$ vérifie $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$ . Quelle propriété possède-t-elle ?

30. Quelle condition caractérise la surjectivité d’une application $f:E\to F$ ?

31. Que peut-on déduire d’une application bijective $f:E\to F$ ?

34. Quelle condition caractérise une partition d’un ensemble $E$ par une famille $\left(A_i\right)_{i\in I}$ ?

36. Si $a\leq b$ et $c\leq 0$ , quelle inégalité obtient-on après multiplication par $c$ ?

37. Pour deux réels positifs vérifiant $0<a\leq b$ , quelle relation leurs inverses satisfont-ils ?

38. Quelle expression donne la valeur absolue d’un réel négatif $a$ ?

39. Pour un réel $M\geq 0$ , quelle inégalité est équivalente à $|a|\leq M$ ?

42. Si une fonction vérifie $x\leq y\Rightarrow f(x)\geq f(y)$ , comment la qualifie-t-on ?

43. Que signifie $f(x)\to\ell$ lorsque $x\to a$ ?

44. Quelle interprétation correspond à la notation $f(x)\xrightarrow[x\to a]{}\ell$ ?

46. Quelle condition caractérise la continuité de $f$ en $x_0$ ?

47. Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et qu’un réel $y_0$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , que peut-on conclure ?

48. Que signifie la dérivabilité de la fonction f en $x_0$ ?

49. Quelle relation entre continuité et dérivabilité est illustrée par la fonction $x\mapsto |x|$ en zéro ?

50. Si $f(x)=x^2$ et $g(x)=\sin x$ , quelle expression donne la dérivée de leur produit ?

51. Pour $f(x)=x^2$ et $g(u)=\sin u$ , quelle est la dérivée de la composée $g\circ f$ ?

54. Quelle formule applique-t-on à $\int_a^b f(x)g(x)\,dx$ lorsque G est une primitive de g ?

55. Dans l’écriture $P=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n$ , quel rôle joue la lettre X avant toute substitution ?

56. Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non nuls de degrés respectifs 3 et 5. Quel est le degré de leur produit ?

57. Comment reconnaît-on qu’un élément $\alpha$ de K est une racine du polynôme P ?

59. Comment se simplifie la somme télescopique $\sum_{k=m}^{n}(u_{k+1}-u_k)$ ?

60. Une suite arithmétique possède $u_3=5$ et $u_8=20$ ; combien vaut $\sum_{k=3}^{8}u_k$ ?

62. Quelle propriété caractérise un système linéaire à $q$ équations et $p$ inconnues ?

64. Pour la récurrence $u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n$ , quelle est l’équation caractéristique correspondante ?

65. Quelle forme prend la solution générale lorsque l’équation caractéristique possède une racine réelle double $r\neq0$ ?

66. Quelle expression décrit les solutions réelles associées aux racines complexes conjuguées $re^{i\omega}$ et $re^{-i\omega}$ ?