QCM : Algèbre du second degré — 12 questions

Question 1

1. Quelle condition caractérise une équation du second degré écrite sous la forme $ax^2+bx+c=0$ ?

Les coefficients sont réels et

a=0

Le terme constant est nul et

a\neq0

Le coefficient de

x

est nécessairement nul et

a\neq0

Les coefficients sont réels et

a\neq0

Explication

Une équation du second degré contient un terme en $x^2$ dont le coefficient vérifie $a\neq0$ , avec $a$ , $b$ et $c$ réels. Si $a=0$ , l’équation devient affine, tandis que les autres conditions ne sont pas requises.

Answer

Les coefficients sont réels et $$a\neq0$$

Question 2

2. Quelle expression représente le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ ?

\Delta=b^2-4ac

\Delta=4ac-b^2

\Delta=b^2+4ac

\Delta=\frac{b^2-4ac}{2a}

Explication

Le discriminant est défini par $\Delta=b^2-4ac$ . Les racines sont ensuite déterminées à partir de sa valeur ; elles ne constituent donc pas la définition du discriminant.

Answer

$$\Delta=b^2-4ac$$

Question 3

3. Pour déterminer les coefficients d’une fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ dont la courbe passe par plusieurs points connus, quelle méthode faut-il utiliser ?

Remplacer les coordonnées des points dans l’expression puis résoudre le système obtenu

Calculer le discriminant avant de connaître les coefficients de la fonction

Identifier directement le coefficient de

x^2

à partir de l’ordonnée à l’origine

Remplacer les ordonnées dans l’expression sans utiliser les abscisses correspondantes

Explication

Chaque point fournit une équation en remplaçant son abscisse et son ordonnée dans $f(x)=ax^2+bx+c$ , puis ces équations forment un système. Le discriminant sert à étudier une équation connue, tandis que l’ordonnée à l’origine ne détermine pas à elle seule tous les coefficients.

Answer

Remplacer les coordonnées des points dans l’expression puis résoudre le système obtenu

Question 4

4. Pour un trinôme $ax^2+bx+c$ possédant deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2$ , quelles relations relient leurs somme et leur produit aux coefficients ?

x_1+x_2=\frac{c}{a}

et

x_1x_2=-\frac{b}{a}

x_1+x_2=\frac{b}{a}

et

x_1x_2=-\frac{c}{a}

x_1+x_2=-\frac{c}{a}

et

x_1x_2=\frac{b}{a}

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

et

x_1x_2=\frac{c}{a}

Explication

La somme des racines est l’opposé du quotient de $b$ par $a$ , tandis que leur produit est le quotient de $c$ par $a$ . La confusion fréquente consiste à intervertir les formules de la somme et du produit.

Answer

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$ et $$x_1x_2=\frac{c}{a}$$

Question 5

5. Pour résoudre l’inéquation $g(x)\leq 0$ à l’aide du tableau de signes de $g$ , quels intervalles faut-il retenir ?

Les intervalles où

g(x)

est négatif ou nul.

Les intervalles où

g(x)

est strictement négatif, en excluant les racines.

Les intervalles où

g(x)

est positif ou nul.

Les intervalles où

g(x)

est strictement positif.

Explication

Le symbole $\leq$ impose de retenir les valeurs pour lesquelles $g(x)$ est négatif ainsi que les racines où il s’annule. Une inéquation strictement négative, notée $g(x)<0$ , exclurait ces zéros.

Answer

Les intervalles où $$g(x)$$ est négatif ou nul.

Question 6

6. Quel est le signe d’un trinôme $ax^2+bx+c$ lorsque $\Delta>0$ , entre ses deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ ?

Il est nul sur tout l’intervalle entre les racines.

Il est du même signe que

a

.

Il change de signe sans dépendre de la valeur de

a

.

Il est du signe contraire de

a

.

Explication

Entre deux racines distinctes, le trinôme est du signe opposé à celui de son coefficient dominant $a$ . À l’extérieur de ces racines, il reprend le signe de $a$ .

Answer

Il est du signe contraire de $$a$$.

Question 7

7. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme de degré 2 sur ℝ ?

f(x)=3x^2-2x+1

f(x)=3x-2+1

f(x)=\frac{3}{x^2}-2x+1

f(x)=3x^3-2x+1

Explication

Une fonction polynôme de degré 2 s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$ . L’expression affine ne comporte pas de terme en $x^2$ , l’expression cubique est de degré 3 et la dernière n’est pas un polynôme.

Answer

$$f(x)=3x^2-2x+1$$

Question 8

8. Si $a<0$ dans $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , comment la fonction varie-t-elle ?

Elle est décroissante sur

]-\infty\,;\,\alpha]

puis croissante sur

[\alpha\,;\,+\infty[

, avec un minimum

\beta

en

\alpha

Elle est croissante sur les deux intervalles et atteint sa valeur maximale en

\beta

Elle est croissante sur

]-\infty\,;\,\alpha]

puis décroissante sur

[\alpha\,;\,+\infty[

, avec un maximum

\beta

en

\alpha

Elle est décroissante sur les deux intervalles et atteint sa valeur minimale en

\alpha

Explication

Lorsque $a<0$ , la parabole est tournée vers le bas : la fonction croît jusqu’à $\alpha$ , puis décroît, et sa valeur maximale est $\beta$ . Le minimum associé à une décroissance puis une croissance correspond au cas $a>0$ .

Answer

Elle est croissante sur $$]-\infty\,;\,\alpha]$$ puis décroissante sur $$[\alpha\,;\,+\infty[$$, avec un maximum $$\beta$$ en $$\alpha$$

Question 9

9. Quelle forme factorisée correspond à un trinôme dont le discriminant est strictement positif et dont les racines distinctes sont $x_1$ et $x_2$ ?

f(x)=a(x-x_1)^2(x-x_2)^2

f(x)=a(x-x_1+x_2)^2

f(x)=a(x+x_1)(x+x_2)

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

Explication

Avec $\Delta>0$ , le trinôme possède deux racines distinctes et se décompose en deux facteurs linéaires distincts multipliés par $a$ . Un facteur linéaire au carré correspond au cas $\Delta=0$ , et non à deux racines distinctes.

Answer

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Question 10

10. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelles expressions donnent les paramètres de sa forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

\alpha=-\frac{2a}{b}

et

\beta=-\frac{4a}{b^2-4ac}

\alpha=-\frac{b}{a}

et

\beta=-\frac{b^2-4ac}{2a}

\alpha=-\frac{b}{2a}

et

\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}

\alpha=\frac{b}{2a}

et

\beta=\frac{b^2-4ac}{4a}

Explication

La forme canonique utilise $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}$ . Les autres expressions modifient les signes ou les facteurs du calcul et ne correspondent pas à la transformation canonique.

Answer

$$\alpha=-\frac{b}{2a}$$ et $$\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}$$

Question 11

11. Une équation du second degré possède un discriminant $\Delta=0$ : quelle est alors sa solution réelle ?

Elle possède l’unique solution

x_0=-\frac{b}{2a}

Elle ne possède aucune solution réelle puisque le discriminant est nul

Elle possède deux solutions

x_1=-\frac{b}{2a}

et

x_2=\frac{b}{2a}

Elle possède les solutions

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

et

x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Explication

Lorsque $\Delta=0$ , les deux racines se confondent et l’unique solution est $x_0=-\frac{b}{2a}$ . La formule donnant deux solutions distinctes s’applique lorsque $\Delta>0$ , tandis que l’absence de solution réelle correspond à $\Delta<0$ .

Answer

Elle possède l’unique solution $$x_0=-\frac{b}{2a}$$

Question 12

12. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , quelles sont l’axe de symétrie et le sommet de la parabole ?

L’axe est

x=\alpha

et le sommet est

S(\beta\,;\,\alpha)

L’axe est

x=\beta

et le sommet est

S(\alpha\,;\,\beta)

L’axe est

x=\alpha

et le sommet est

S(\alpha\,;\,\beta)

L’axe est

y=\alpha

et le sommet est

S(\beta\,;\,\alpha)

Explication

Le carré $(x-\alpha)^2$ est symétrique par rapport à la droite verticale $x=\alpha$ , et la valeur extrême est atteinte au point de coordonnées $(\alpha\,;\,\beta)$ . Confondre l’axe avec $x=\beta$ revient à utiliser la valeur verticale à la place de l’abscisse.

Answer

L’axe est $$x=\alpha$$ et le sommet est $$S(\alpha\,;\,\beta)$$

QCM : Algèbre du second degré — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise une équation du second degré écrite sous la forme $ax^2+bx+c=0$ ?

2. Quelle expression représente le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ ?

3. Pour déterminer les coefficients d’une fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ dont la courbe passe par plusieurs points connus, quelle méthode faut-il utiliser ?

4. Pour un trinôme $ax^2+bx+c$ possédant deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2$ , quelles relations relient leurs somme et leur produit aux coefficients ?

5. Pour résoudre l’inéquation $g(x)\leq 0$ à l’aide du tableau de signes de $g$ , quels intervalles faut-il retenir ?

6. Quel est le signe d’un trinôme $ax^2+bx+c$ lorsque $\Delta>0$ , entre ses deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ ?

7. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme de degré 2 sur ℝ ?

8. Si $a<0$ dans $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , comment la fonction varie-t-elle ?

9. Quelle forme factorisée correspond à un trinôme dont le discriminant est strictement positif et dont les racines distinctes sont $x_1$ et $x_2$ ?

10. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelles expressions donnent les paramètres de sa forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

11. Une équation du second degré possède un discriminant $\Delta=0$ : quelle est alors sa solution réelle ?

12. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , quelles sont l’axe de symétrie et le sommet de la parabole ?

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QCM : Algèbre du second degré — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise une équation du second degré écrite sous la forme ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 ?

2. Quelle expression représente le discriminant du trinôme ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c ?

3. Pour déterminer les coefficients d’une fonction f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c dont la courbe passe par plusieurs points connus, quelle méthode faut-il utiliser ?

4. Pour un trinôme ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c possédant deux racines réelles distinctes x1x_1x1​ et x2x_2x2​, quelles relations relient leurs somme et leur produit aux coefficients ?

5. Pour résoudre l’inéquation g(x)≤0g(x)\leq 0g(x)≤0 à l’aide du tableau de signes de ggg, quels intervalles faut-il retenir ?

6. Quel est le signe d’un trinôme ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c lorsque Δ>0\Delta>0Δ>0, entre ses deux racines distinctes x1x_1x1​ et x2x_2x2​ ?

7. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme de degré 2 sur ℝ ?

8. Si a<0a<0a<0 dans f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β, comment la fonction varie-t-elle ?

9. Quelle forme factorisée correspond à un trinôme dont le discriminant est strictement positif et dont les racines distinctes sont x1x_1x1​ et x2x_2x2​ ?

10. Pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c, quelles expressions donnent les paramètres de sa forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β ?

11. Une équation du second degré possède un discriminant Δ=0\Delta=0Δ=0 : quelle est alors sa solution réelle ?

12. Dans la forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β, quelles sont l’axe de symétrie et le sommet de la parabole ?

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1. Quelle condition caractérise une équation du second degré écrite sous la forme $ax^2+bx+c=0$ ?

2. Quelle expression représente le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ ?

3. Pour déterminer les coefficients d’une fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ dont la courbe passe par plusieurs points connus, quelle méthode faut-il utiliser ?

4. Pour un trinôme $ax^2+bx+c$ possédant deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2$ , quelles relations relient leurs somme et leur produit aux coefficients ?

5. Pour résoudre l’inéquation $g(x)\leq 0$ à l’aide du tableau de signes de $g$ , quels intervalles faut-il retenir ?

6. Quel est le signe d’un trinôme $ax^2+bx+c$ lorsque $\Delta>0$ , entre ses deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ ?

8. Si $a<0$ dans $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , comment la fonction varie-t-elle ?

9. Quelle forme factorisée correspond à un trinôme dont le discriminant est strictement positif et dont les racines distinctes sont $x_1$ et $x_2$ ?

10. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelles expressions donnent les paramètres de sa forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

11. Une équation du second degré possède un discriminant $\Delta=0$ : quelle est alors sa solution réelle ?

12. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , quelles sont l’axe de symétrie et le sommet de la parabole ?