Qu'est-ce qu'un nombre complexe ?
Un nombre complexe est de la forme avec .
Comment s'exprime la partie réelle d'un nombre complexe ?
La partie réelle est le réel dans .
Comment s'exprime la partie imaginaire d'un nombre complexe ?
La partie imaginaire est le réel dans .
Quel est le conjugué du nombre complexe ?
Le conjugué est .
Comment se calcule le module d'un nombre complexe ?
Le module est .
Quelle relation lie et pour un nombre complexe ?
On a .
Quelle formule relie le module du produit au modules de et ?
On a .
Quelle est l'inégalité triangulaire pour deux nombres complexes et ?
Elle s'écrit .
Comment est définie l'exponentielle imaginaire pour un réel θ ?
.
Quelle formule relie à et ?
.
Quelle est la formule de Moivre pour un entier n ?
.
Comment s'exprime avec les exponentielles imaginaires ?
.
Comment s'exprime avec les exponentielles imaginaires ?
.
Quelle est la forme trigonométrique d'un complexe non nul z ?
avec et .
Comment est définie l'exponentielle complexe de ?
.
Qu'est-ce qu'une racine n-ième d'un complexe a ?
Un complexe z tel que .
Combien de racines n-ièmes de l'unité existe-t-il pour n≥1 ?
Il existe exactement n racines n-ièmes de l'unité.
Quelle est la forme générale des racines n-ièmes d'un complexe a≠0 ?
Elles sont avec .
Que vaut la somme des racines n-ièmes de l'unité pour n≥2 ?
La somme est nulle.
Quelle est la formule du discriminant du trinôme ?
Le discriminant est .
Quelles sont les racines du trinôme si ?
Elles sont et avec .
Quel est l'axe complexe du point de coordonnées (x,y) ?
L'axe complexe est x+iy.
Quel est l'axe du vecteur si A et B ont pour axes a et b ?
L'axe est b-a.
Comment calcule-t-on la distance AB entre deux points d'axes a et b ?
La distance AB vaut .
Quelle condition caractérise l'alignement de trois points d'axes a, b et c ?
est réel.
Quelle est la forme générale d'une similitude directe ?
avec et .
Comment s'exprime une similitude de centre , rapport et angle ?
.
Qu'est-ce qu'une assertion en mathématiques ?
Une phrase mathématique avec une seule valeur de vérité, vraie ou fausse.
Qu'est-ce qu'un prédicat sur un ensemble E ?
Une phrase mathématique dont la vérité dépend d'un élément x∈E.
Que signifient les quantificateurs ∀ et ∃ ?
∀ signifie « pour tout » et ∃ signifie « il existe au moins un ».
Quand l'implication P⇒Q est-elle fausse ?
Quand P est vraie et Q est fausse.
Que faut-il démontrer pour prouver une équivalence P⇔Q ?
Démontrer séparément P⇒Q puis Q⇒P.
Que dit la contraposée concernant P⇒Q ?
P⇒Q est équivalente à non Q⇒non P.
Quelle loi de De Morgan correspond à non(P et Q) ?
non(P et Q)⇔(non P ou non Q).
Quelle loi de De Morgan correspond à non(P ou Q) ?
non(P ou Q)⇔(non P et non Q).
Quand l'équivalence logique P ⇔ Q est-elle vraie ?
Lorsque P et Q ont la même valeur de vérité.
Que faut-il démontrer pour prouver P ⇔ Q ?
Il faut démontrer P ⇒ Q puis Q ⇒ P séparément.
Quelle est la loi de De Morgan pour ¬(P ∧ Q) ?
¬(P ∧ Q) est équivalent à (¬P) ∨ (¬Q).
À quoi est équivalente une implication P ⇒ Q ?
Elle est équivalente à sa contraposée ¬Q ⇒ ¬P.
Quelle est la négation de « pour tout x ∈ E, P(x) » ?
Il existe x ∈ E tel que non P(x).
Quelle est la négation de « il existe x ∈ E, P(x) » ?
Pour tout x ∈ E, non P(x).
Que signifie l'inclusion A ⊂ B ?
Tout élément de A appartient aussi à B.
Qu'est-ce que le complémentaire de A dans E ?
L'ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à A.
Que représente la différence A \ B ?
L'ensemble des éléments qui appartiennent à A et pas à B.
Qu'est-ce que le produit cartésien A × B ?
L'ensemble des couples (a,b) avec a ∈ A et b ∈ B.
Comment s'exprime l'égalité de couples dans A × B ?
Par égalité composante par composante.
Qu'est-ce qu'une application f de E dans F ?
Une application associe à chaque x ∈ E un unique élément f(x) ∈ F.
Quand une application f:E→F est-elle injective ?
Quand f(x₁)=f(x₂) implique x₁=x₂.
Que signifie qu'une application f:E→F est injective en termes d'antécédents ?
Chaque élément de F a au plus un antécédent.
Quand une application f:E→F est-elle surjective ?
Quand tout élément de F possède au moins un antécédent.
Quelle est la condition équivalente à la surjectivité de f:E→F ?
L'image de f est égale à F, Im f = F.
Qu'est-ce qu'une application bijective ?
Une application à la fois injective et surjective.
Que garantit la bijection pour chaque élément du codomaine ?
Chaque élément du codomaine possède un unique antécédent.
Comment se définit la composée g∘f:E→G pour f:E→F et g:F→G ?
Par (g∘f)(x) = g(f(x)).
Quelles sont les trois propriétés d'une relation d'ordre ?
Réflexive, transitive et antisymétrique.
Quelles sont les trois propriétés d'une relation d'équivalence ?
Réflexive, transitive et symétrique.
Quelles conditions définissent une partition d'un ensemble E ?
La réunion vaut E et les ensembles distincts sont disjoints.
Quel est le premier pas du principe de récurrence sur N ?
Vérifier l'initialisation en 0.
Quelle est la condition d'hérédité dans le principe de récurrence ?
Si n appartient à A, alors n+1 appartient à A.
Que se passe-t-il si on multiplie une inégalité par un nombre négatif ?
Le sens de l'inégalité s'inverse.
Quelle inégalité obtient-on si a≤b et c≤0 ?
On obtient bc≤ac.
Que vaut par rapport à si 0<a≤b ?
.
Comment se comporte l'ordre lors de l'inversion des nombres positifs ?
L'ordre est renversé.
Quelle est la définition de la valeur absolue d'un réel a ?
Elle vaut a si a≥0 et −a si a≤0.
Que signifie pour M≥0 ?
Qu'a est compris entre −M et M.
Quelle inégalité exprime l'inégalité triangulaire pour deux réels a et b ?
.
Qu'est-ce qu'une fonction paire sur un domaine symétrique ?
C'est une fonction telle que f(−x)=f(x) pour tout x.
Qu'impose la périodicité T d'une fonction sur son domaine ?
Que f(x+T)=f(x) pour tout x du domaine.
Quand une fonction est-elle croissante ?
Quand x≤y implique f(x)≤f(y).
Quand une fonction est-elle décroissante ?
Quand x≤y implique f(x)≥f(y).
Qu'est-ce qu'une fonction bornée ?
C'est une fonction dont la valeur absolue est toujours ≤ M pour un M≥0.
Que signifie que f(x) tend vers ℓ quand x tend vers a ?
Que f(x) peut être rendu aussi proche que voulu de ℓ en prenant x proche de a.
Que vaut la limite de la somme de f(x) et g(x) si f(x)→ℓf et g(x)→ℓg ?
Elle tend vers ℓf+ℓg.
Que vaut la limite du produit de f(x) et g(x) si f(x)→ℓf et g(x)→ℓg ?
Elle tend vers ℓfℓg.
Qu'impose la limite pour la fonction f ?
Que f(x) peut être rendu arbitrairement proche de ℓ en rendant x proche de a.
Comment se calculent les limites selon les règles usuelles ?
Par linéarité, produit, inverse, quotient et composition sous conditions.
Quelles formes sont indéterminées parmi et ?
Les formes et sont indéterminées.
Quelle est la condition de continuité de f en un point ?
Que .
Quand une fonction est-elle dite continue ?
Lorsqu'elle est continue en tout point de son domaine.
Quelles opérations préservent la continuité des fonctions ?
Combinaison linéaire, produit, quotient sans zéro au dénominateur et composition.
Que garantit la continuité de f sur un intervalle [a,b] ?
Que toute valeur entre f(a) et f(b) est atteinte en un point de [a,b].
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1. Quelle écriture définit un nombre complexe ?
2. Pour un nombre complexe , que représentent et ?
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