Fiche de révision : Algèbre vectorielle

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs en deux dimensions
2. Vecteurs en trois dimensions
3. Moment et bras de levier

📖 1. Vecteurs en deux dimensions

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’angle entre les vecteurs a et d vaut $\alpha = 32{,}47^\circ$.

📐 Formule — Le produit vectoriel de d par a, noté $\vec f=\vec d\otimes\vec a$ ou $\vec f=\vec d\wedge\vec a$, vaut $\vec f=-28\,\vec 1_z$.

• Dans le tableau de l’exercice à deux dimensions, les points sont A(-3; 3), B(2; 6), C(-4; -5), D(0,5; 1), E(6; -5), F(2; -2), G(6; 6), H(-5; 3) et I(3; 1).

• Les vecteurs de l’exercice sont a = AB, b = CD, c = (-5/2; 5), d = FG et e = HI, avec notamment d = (4; 8) et e = (8; -2).

💡 Astuce mémo

Composantes et normes décrivent le vecteur, tandis que l’angle décrit son orientation.

📖 2. Vecteurs en trois dimensions

★ À maîtriser

📐 Formule — Le produit vectoriel de v₁ par v₂ donne $\vec v_4=(1;7;-5)$.

📐 Formule — La somme vectorielle de v₁, v₂ et v₃ est donnée dans les réponses sous la forme $\vec v_4=(13;11;8)$.

• Les trois vecteurs de l’exercice en trois dimensions sont v₁ = (1; 2; 3), v₂ = (4; 3; 5) et v₃ = (8; 6; 0).

Compléments

📐 Formule — La norme de v₁ est indiquée dans les réponses comme valant $\|\vec v_1\|=14$.

💡 Astuce mémo

Produit vectoriel, angle, somme, norme : les quatre calculs de l’exercice 2.

📖 3. Moment et bras de levier

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le moment du vecteur v par rapport au point P est indiqué comme valant $M_{v/P}=(25+5\sqrt{3})\,\vec 1_z$.

📐 Formule — Le bras de levier du vecteur v par rapport au point P est indiqué comme valant $B_{dl}=5+3\sqrt{}$.

• Dans l’exercice sur le moment, la norme du vecteur v vaut 5 et l’angle α vaut 60°.

💡 Astuce mémo

La position et la force produisent un moment, dont le bras de levier mesure l’efficacité.