Fiche de révision : Calculs numériques

📋 Plan du Cours

1. Nombres relatifs et repérage
2. Opérations sur les relatifs
3. Calculs fractionnaires
4. Définition des puissances
5. Règles de calcul des puissances
6. Notation scientifique

📖 1. Nombres relatifs et repérage

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre relatif : Constitué d’un signe et d’un nombre positif représentant sa distance à zéro.

📝 Points essentiels

• Sur une droite graduée, chaque point est repéré par un nombre relatif appelé son abscisse.

• Dans le nombre relatif (+7), le signe est positif et la distance à zéro vaut 7, tandis que dans (-4), le signe est négatif et la distance à zéro vaut 4.

💡 Astuce mémo

Le signe indique le sens, la distance à zéro indique la valeur.

📖 2. Opérations sur les relatifs

📝 Points essentiels

📌 Pour soustraire un nombre relatif, on additionne son opposé puis on applique les règles de l’addition de deux nombres relatifs.

📌 Pour multiplier ou diviser deux nombres relatifs, on multiplie ou divise leurs distances à zéro ; le résultat est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair et négatif s’il est impair.

• 🔄 Pour additionner deux nombres relatifs, on: détermine si les nombres ont le même signe, conserve le signe commun et additionne les distances à zéro s’ils ont le même signe, choisit le signe de la plus grande distance à zéro et soustrait les distances s’ils ont des signes différents

• Dans un enchaînement d’opérations, on effectue les parenthèses, puis les exposants, puis les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions, en lisant de gauche à droite lorsque la priorité est identique.

💡 Astuce mémo

Parenthèses → puissances → multiplications/divisions → additions/soustractions.

📖 3. Calculs fractionnaires

★ À maîtriser

📐 Formule — Le produit de deux fractions vérifie $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$.

📐 Formule — La division de deux fractions vérifie $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$, avec des dénominateurs non nuls.

📌 Pour additionner ou soustraire des fractions, on les ramène au même dénominateur, on additionne ou soustrait les numérateurs, puis on conserve le dénominateur commun.

Compléments

• Par exemple, $\frac{1}{4}+\frac{3}{5}=\frac{17}{20}$ après réduction au dénominateur commun 20.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur pour additionner, produits croisés pour multiplier, inverse pour diviser.

📖 4. Définition des puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : La puissance d’exposant n d’un nombre a non nul est notée aⁿ ; elle vaut 1 pour n=0, a pour n=1 et le produit de n facteurs égaux à a pour n≥2.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout nombre a non nul et tout entier positif n, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

Compléments

📌 Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, 0ⁿ vaut 0, et pour tout entier relatif n, 1ⁿ vaut 1.

• Les écritures 5⁴=625, 2³=8 et 10⁶=1 000 000 illustrent le produit répété d’un même nombre.

💡 Astuce mémo

Exposant positif : produit répété ; exposant négatif : inverse de la puissance positive.

📖 5. Règles de calcul des puissances

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un nombre a non nul et des entiers relatifs m et n, $a^m\times a^n=a^{m+n}$, $\left(a^m\right)^n=a^{m\times n}$ et $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

📐 Formule — Pour un nombre a non nul, un nombre b non nul et un entier relatif n, $a^n\times b^n=(a\times b)^n$ et $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$.

Compléments

• On a notamment 2³×2⁴=2⁷, (2³)⁴=2¹² et 2⁴×5⁴=10⁴.

📖 6. Notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation scientifique : Un nombre décimal non nul est en notation scientifique lorsqu’il s’écrit a×10ⁿ, avec −10<a≤−1 ou 1≤a<10 et n entier relatif.

★ À maîtriser

• Les nombres 3 000, 0,02, 14 218 000 et 0,000 000 052 1 s’écrivent respectivement 3×10³, 2×10⁻², 1,4218×10⁷ et 5,21×10⁻⁸ en notation scientifique.

Compléments

• Le nombre −6 347 s’écrit −6,347×10³ et le nombre 0,000 000 25 s’écrit 2,5×10⁻⁷ en notation scientifique.

💡 Astuce mémo

Un seul chiffre non nul avant la virgule, suivi d’une puissance de 10.

📊 Tableaux de synthèse

Règles des opérations sur les relatifs