Fiche de révision : Calcul différentiel et EDP

📋 Plan du Cours

1. Objectifs de l’analyse dans Rn
2. Normes et distances
3. Topologie des espaces normés
4. Frontière et méthodologies topologiques
5. Suites dans un espace vectoriel normé
6. Limite et continuité des applications
7. Dérivées partielles et différentiabilité
8. Différentiabilité et classe C1
9. Règle de chaîne et gradient
10. EDP du premier ordre
11. Dérivées d’ordre supérieur
12. EDP du second ordre
13. Extremums locaux et globaux
14. Critères différentiels des extremums
15. Coordonnées polaires par demi-plans

📖 1. Objectifs de l’analyse dans Rn

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction scalaire à plusieurs variables : Une fonction scalaire à deux variables, telle que l’énergie interne U(T,P), est une application de R² dans R.
• Équation aux dérivées partielles : Une équation aux dérivées partielles est une équation fonctionnelle dont l’inconnue est une fonction de Rn dans Rp.

★ À maîtriser

• Le cours généralise les notions suivantes:
  • topologie
  • convergence des suites
  • limite
  • continuité
  • dérivées partielles
  • différentiabilité
  • classe Ck
  • développement de Taylor

Compléments

• En électromagnétisme, les champs vectoriels E et B sont des applications de R³ dans R³.

• L’équation de Gauss div E = ∂Ex(x,y,z)/∂x + ∂Ey(x,y,z)/∂y + ∂Ez(x,y,z)/∂z = ρ/ε₀ est un exemple d’équation aux dérivées partielles portant sur une fonction de R³ dans R³.

💡 Astuce mémo

Fonctions de plusieurs variables → généralisation de la topologie, des limites et des dérivées

📖 2. Normes et distances

🔑 Notions clés & Définitions

• Norme : Une norme sur un espace vectoriel E est une application de E dans R vérifiant la séparation, l’homogénéité absolue $\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|$ et l’inégalité triangulaire $\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|$.
• Distance : Une distance sur un ensemble X est une application de X×X dans R+ qui vérifie la séparation, la symétrie et l’inégalité triangulaire.

★ À maîtriser

📐 Formule — Sur Rn, les normes usuelles sont $\|x\|_1=\sum_{i=1}^n|x_i|$, $\|x\|_2=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$ et $\|x\|_\infty=\max_{1\leq i\leq n}|x_i|$.

📌 Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, c’est-à-dire qu’il existe α,β>0 tels que $\alpha\|x\|_a\leq\|x\|_b\leq\beta\|x\|_a$ pour tout x.

📐 Formule — La distance associée à une norme sur E est définie par $d(X,Y)=\|X-Y\|$.

Compléments

• La distance discrète définie par d₀(X,Y)=0 si X=Y et d₀(X,Y)=1 si X≠Y est une distance, mais elle n’est associée à aucune norme.

💡 Astuce mémo

La norme mesure la taille d’un vecteur, la distance mesure l’écart entre deux points

📖 3. Topologie des espaces normés

🔑 Notions clés & Définitions

• Boule ouverte : Dans un espace vectoriel normé, la boule ouverte de centre a et de rayon r>0 est l’ensemble $B(a,r)=\{x\in E\mid\|x-a\|<r\}$.
• Voisinage : Une partie V est un voisinage de a si elle contient au moins une boule ouverte centrée en a, c’est-à-dire s’il existe r>0 tel que B(a,r)⊂V.
• Ouvert : Une partie U d’un espace vectoriel normé est ouverte si, pour tout x∈U, il existe r>0 tel que B(x,r)⊂U.
• Fermé : Une partie F d’un espace vectoriel normé est fermée si son complémentaire dans l’espace est un ouvert.
• Intérieur : L’intérieur d’une partie A est l’ensemble des points x pour lesquels il existe r>0 tel que B(x,r)⊂A, et il constitue le plus grand ouvert contenu dans A.
• Adhérence : L’adhérence d’une partie A est l’ensemble des points dont tout voisinage rencontre A, et elle constitue le plus petit fermé contenant A.
• Frontière : La frontière d’une partie A est définie par $\partial A=\overline{A}\setminus\mathring{A}$.

📝 Points essentiels

📌 Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, la notion de voisinage et celle d’ouvert ne dépendent pas de la norme choisie.

💡 Astuce mémo

Boule → voisinage → ouvert ou fermé → intérieur, adhérence et frontière

📖 4. Frontière et méthodologies topologiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Frontière : L’ensemble $\partial A=\overline A\setminus\mathring A$.

★ À maîtriser

📌 Pour deux ensembles A et B, l’adhérence vérifie $\overline{A\cup B}=\overline A\cup\overline B$, tandis que l’adhérence de l’intersection vérifie seulement $\overline{A\cap B}\subset\overline A\cap\overline B$.

📌 Les intérieurs vérifient $\mathring{A\cap B}=\mathring A\cap\mathring B$, alors que $\mathring A\cup\mathring B\subset\mathring{A\cup B}$ peut être une inclusion stricte.

• Pour montrer qu’un candidat B est l’adhérence de A, il faut vérifier que B est fermé, que A est inclus dans B, puis que tout point de B\A est approché par A dans toute boule centrée en ce point.

Compléments

• La frontière d’une boule fermée $\overline B(a,r)$ est la sphère $S(a,r)$.

💡 Astuce mémo

Adhérence = fermé contenant A ; intérieur = ouvert contenu dans A

📖 5. Suites dans un espace vectoriel normé

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite d’éléments d’un EVN : Une application de ℕ dans E, notée $(x_n)_{n\in\mathbb N}$.
• Suite bornée : Une suite $(x_n)$ d’un espace vectoriel normé est bornée s’il existe M>0 indépendant de n tel que $\|x_n\|\le M$ pour tout n.
• Suite convergente : Une suite $(x_n)$ converge vers l si, pour tout ε>0, il existe N∈ℕ tel que n≥N implique $\|x_n-l\|<ε$, ce qui équivaut à l’appartenance éventuelle de x_n à toute boule ou tout voisinage de l.
• Valeur d’adhérence : Un point a est une valeur d’adhérence d’une suite s’il existe une suite extraite qui converge vers a, ce qui équivaut à ce que tout voisinage de a contienne une infinité de termes de la suite.

📝 Points essentiels

• Dans un espace vectoriel normé, une suite convergente possède une limite unique.

📌 Si $x_n\to l$, alors $\|x_n\|\to\|l\|$, mais la convergence des normes ne suffit pas à assurer la convergence de la suite, comme le montre $x_n=(-1)^n$.

💡 Astuce mémo

Suite → convergence → extraite → valeur d’adhérence

📖 6. Limite et continuité des applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite d’une fonction : Une application f:A→F admet la limite l en a si, pour tout ε>0, il existe η>0 tel que tout x∈A vérifiant $\|x-a\|_E<η$ satisfasse $\|f(x)-l\|_F<ε$.
• Application continue : Une application f est continue en a si elle admet une limite en a, et elle est continue sur A si elle est continue en tout point de A.

★ À maîtriser

• La limite d’une fonction en un point est unique lorsqu’elle existe.

• Pour $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$, les chemins correspondant à θ=π/4 et θ=−π/4 donnent respectivement les limites 1/2 et −1/2 en (0,0), donc f n’a pas de limite en ce point.

📌 Une fonction f admet une limite l en a si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ de A convergeant vers a, la suite $(f(x_n))$ converge vers l.

Compléments

📌 Remplacer les normes de l’espace de départ ou d’arrivée par des normes équivalentes ne change ni l’existence ni la valeur de la limite.

💡 Astuce mémo

Tous les chemins même limite : continuité ; deux chemins différents : pas de limite

📖 7. Dérivées partielles et différentiabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée partielle : La dérivée partielle première de f par rapport à la j-ième variable en a est la limite $\frac{\partial f}{\partial x_j}(a)=\lim_{t\to0}\frac{f(a+te_j)-f(a)}{t}$, lorsque cette limite existe.
• Fonction différentiable : Une fonction f est différentiable en a s’il existe une application linéaire l et une fonction ε tendant vers 0 en 0 telles que $f(a+h)=f(a)+l(h)+\|h\|\varepsilon(h)$.

★ À maîtriser

📌 L’existence de toutes les dérivées partielles en un point n’implique pas la continuité en ce point.

• La différentielle d’une fonction différentiable en a est l’unique application linéaire qui fournit son approximation d’ordre 1 en a.

📌 Toute application différentiable en un point est continue en ce point.

📐 Formule — Pour une fonction différentiable de $\mathbb R^p$ dans un espace normé, sa différentielle vérifie $D_af(h)=\sum_{j=1}^{p}h_j\frac{\partial f}{\partial x_j}(a).$

Compléments

• Pour $f(x,y)=3x^2+xy-2y^2$, on obtient $\frac{\partial f}{\partial x}=6x+y$ et $\frac{\partial f}{\partial y}=x-4y$.

💡 Astuce mémo

Différentiabilité → dérivées partielles et continuité

📖 8. Différentiabilité et classe C1

★ À maîtriser

• Toute fonction différentiable en un point est continue en ce point.

• Une fonction de classe C1 sur un ouvert possède des dérivées partielles premières définies et continues en tout point de cet ouvert.

• Si f est de classe C1 sur U, alors f est différentiable sur U et continue sur U.

Compléments

📌 Toute application linéaire de Rp dans un espace vectoriel normé F est de classe C1 sur Rp.

• La fonction définie par f(x,y)=(x²+y²)sin(1/√(x²+y²)) pour (x,y)≠(0,0) et f(0,0)=0 est continue et différentiable en (0,0), mais elle n’est pas de classe C1 car sa dérivée partielle par rapport à x n’est pas continue en (0,0).

💡 Astuce mémo

Différentiable implique continue, mais différentiable n’implique pas C1

📖 9. Règle de chaîne et gradient

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice de Jacobi : La matrice à n lignes et p colonnes dont le coefficient de ligne i et de colonne j est $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)$.
• Gradient : Le vecteur des dérivées partielles premières de f en a, noté $\nabla_a f=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a),...,\frac{\partial f}{\partial x_p}(a)\right)^T$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si g(t)=f(u1(t),...,un(t)), alors $g'(t)=\sum_{i=1}^{n}u_i'(t)\frac{\partial f}{\partial x_i}\bigg|_{(u_1(t),...,u_n(t))}$ lorsque f et les ui sont de classe C1.

📐 Formule — Pour deux fonctions u et v, $\frac{d}{dt}f(u(t),v(t))=u'(t)\frac{\partial f}{\partial x}+v'(t)\frac{\partial f}{\partial y}$ les dérivées partielles étant évaluées en (u(t),v(t)).

📐 Formule — Pour un changement de variables h(u,v)=f(g1(u,v),g2(u,v)), on a $\frac{\partial h}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial g_1}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial g_2}{\partial u}$ et une formule analogue pour la dérivée par rapport à v.

📌 Pour une fonction réelle différentiable, la différentielle vérifie $D_af(h)=\nabla_a f\cdot h$.

📌 Le gradient est perpendiculaire aux directions où f est constante et indique la direction de plus grande pente, tandis que sa norme mesure l’intensité de la variation maximale.

💡 Astuce mémo

Chemin → dérivées des coordonnées → dérivée composée

📖 10. EDP du premier ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• EDP du premier ordre : Une équation aux dérivées partielles du premier ordre relie une fonction de plusieurs variables à ses dérivées partielles d’ordre au plus égal à 1.
• C1-difféomorphisme : Une application φ de U dans V est C1, bijective de U dans V et son inverse φ−1 est C1 sur V.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les solutions C1 de $\frac{\partial f}{\partial x}=g(x,y)$ sont de la forme $f(x,y)=K(y)+\int g(x,y)\,dx$, où K est une fonction C1 quelconque de y.

📌 Si le jacobien de φ en a est non nul, alors la différentielle D_aφ est inversible en a.

• 🔄 La résolution suit les étapes suivantes:
  1. Choisir un C1-difféomorphisme
  2. Introduire la fonction dans les nouvelles variables
  3. Transformer les dérivées par la règle de chaîne
  4. Résoudre l’EDP obtenue
  5. Revenir aux variables initiales

Compléments

📌 Si φ est C1, bijective et que sa différentielle est linéaire bijective en tout point, alors φ est un C1-difféomorphisme.

💡 Astuce mémo

Changement C1-difféomorphe → EDP transformée → solution générale

📖 11. Dérivées d’ordre supérieur

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée partielle d’ordre supérieur : Obtenue en dérivant successivement une dérivée partielle d’ordre k−1 par rapport à une nouvelle variable.
• Fonction de classe Ck : Une fonction est de classe Ck sur U lorsque toutes ses dérivées partielles d’ordre k existent et sont continues sur U, et elle est de classe C∞ lorsqu’elle est Ck pour tout entier naturel k.

📝 Points essentiels

📌 Si une fonction est de classe Ck, toutes ses dérivées partielles d’ordre inférieur ou égal à k sont définies et continues.

📌 Si les dérivées secondes croisées sont définies et continues en un point, alors le théorème de Schwarz donne $\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_i}=\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}$ en ce point.

💡 Astuce mémo

Ck impose la continuité des dérivées d’ordre k, tandis que Schwarz exige les dérivées croisées continues

📖 12. EDP du second ordre

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les solutions C2 de $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=0$ sont de la forme $f(x,y)=xG(y)+H(y)$, où G et H sont C2.

• Pour l’équation $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2f}{\partial t^2}=0$ et le changement de variables X=x+ct, Y=x−ct, les solutions C2 sont $f(x,t)=h(x-ct)+k(x+ct)$, où h et k sont des fonctions C2 quelconques.

💡 Astuce mémo

Difféomorphisme C2 → changement de variables → EDP canonique → solution

📖 13. Extremums locaux et globaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Minimum local : Un voisinage V de a contenu dans A vérifie f(x)≥f(a) pour tout x∈V.
• Extremum global : Une fonction f admet un minimum global en a si f(x)≥f(a) pour tout x∈A, et un maximum global en a si f(x)≤f(a) pour tout x∈A.

★ À maîtriser

• Sur un ensemble ouvert, la recherche des extremums se fait à l’intérieur du domaine, tandis que sur un ensemble fermé il faut aussi évaluer la fonction sur la frontière.

• Un minimum global de f en a vérifie f(x) ≥ f(a) pour tout x ∈ A, tandis qu’un maximum global vérifie f(x) ≤ f(a) pour tout x ∈ A.

• Un extremum global situé à l’intérieur de A est aussi un extremum local, alors qu’un extremum global situé sur la frontière de A n’est pas nécessairement un extremum local.

• Sur un ensemble ouvert, la recherche des extremums s’effectue par les extremums locaux, tandis que sur un ensemble fermé il faut aussi évaluer la fonction sur la frontière.

• Pour une fonction d’une variable de classe C2, la condition f′(a)=0 est nécessaire pour un extremum intérieur, mais le signe de f″(a) permet seul de distinguer le minimum, le maximum ou le méplat.

Compléments

📌 Un extremum local strict impose une inégalité stricte pour tout point voisin différent de a, tandis qu’un extremum local non strict autorise l’égalité.

📌 Une fonction non majorée n’admet pas de maximum global, et une fonction non minorée n’admet pas de minimum global.

💡 Astuce mémo

Local = voisinage et intérieur ; global = tout le domaine, frontière comprise

📖 14. Critères différentiels des extremums

🔑 Notions clés & Définitions

• Point critique : Point d’un ouvert U où toutes les dérivées partielles premières sont définies et nulles, ce qui équivaut à $\nabla_a f=0_{\mathbb{R}^p}$.

★ À maîtriser

• Si f admet un extremum local en a et que toutes ses dérivées partielles en a sont définies, alors a est un point critique.

• Pour un point critique, si la forme quadratique $Q(h)=\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{p}h_i h_j\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(a)$ est positive et ne s’annule qu’en 0, f possède un minimum local strict en a ; si elle est négative et ne s’annule qu’en 0, f possède un maximum local strict en a.

• Si, dans tout voisinage de 0, la forme quadratique Q prend des valeurs positives et négatives, alors f n’admet pas d’extremum local en a.

• Pour une fonction de R2 dans R, si det(Hf(a))=rt−s²>0 et r>0, a est un minimum local strict ; si det(Hf(a))>0 et r<0, a est un maximum local strict ; si det(Hf(a))<0, a est un point-col sans extremum ; si det(Hf(a))=0, le critère ne permet pas de conclure.

Compléments

📐 Formule — Le développement limité d’ordre 2 en a s’écrit $f(a+h)=f(a)+\sum_{j=1}^{p}h_j\frac{\partial f}{\partial x_j}(a)+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{p}h_i h_j\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(a)+\|h\|^2\varepsilon(h)$, avec $\lim_{h\to0}\varepsilon(h)=0$.

💡 Astuce mémo

Gradient nul → étude de la Hessienne → nature de l’extremum.

📖 15. Coordonnées polaires par demi-plans

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées polaires : Association à (ρ,θ) du point (x,y)=(ρ cos(θ),ρ sin(θ)), avec ρ>0 et un intervalle d’angles choisi selon le demi-plan étudié.

★ À maîtriser

📌 Pour le demi-plan x>0, le C1-difféomorphisme utilise ρ∈R+* et θ∈]−π/2,π/2[, avec l’inverse ρ=√(x²+y²) et θ=Arctan(y/x).

📐 Formule — Pour le changement polaire du demi-plan x>0, le jacobien vérifie $J_\varphi(\rho,\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\rho\sin\theta\sin\theta&\rho\cos\theta\end{pmatrix}$ et $|J_\varphi(\rho,\theta)|=\rho>0$.

Compléments

📌 Pour le demi-plan y>0, le C1-difféomorphisme utilise ρ∈R+* et θ∈]0,π[, avec l’inverse ρ=√(x²+y²) et θ=Arccos(x/√(x²+y²)).

💡 Astuce mémo

x>0 : angle central ; x<0 : angle décalé de π ; y>0 : angle dans ]0,π[.

📊 Tableaux de synthèse

Norme et distance

Convergence et valeurs d’adhérence