QCM : Calcul différentiel et EDP — 53 questions

Questions et réponses du QCM

1. Comment se définit une fonction scalaire à deux variables comme l’énergie interne U(T,P)U(T,P) ?

Comme une application de R2\mathbb{R}^2 dans R3\mathbb{R}^3
Comme une application de R2\mathbb{R}^2 dans R\mathbb{R}
Comme une application de R\mathbb{R} dans R2\mathbb{R}^2
Comme une application de R3\mathbb{R}^3 dans R2\mathbb{R}^2

Comme une application de $$\mathbb{R}^2$$ dans $$\mathbb{R}$$

Explication

Une fonction scalaire à deux variables associe à chaque couple réel une valeur réelle, donc elle est définie de R2\mathbb{R}^2 vers R\mathbb{R}. Une application vers R3\mathbb{R}^3 serait plutôt un champ vectoriel.

2. Quelles notions l’analyse généralise-t-elle aux espaces vectoriels normés ?

La seule diagonalisation des matrices carrées
La topologie, la convergence, les limites et la différentiabilité
Les seules intégrales définies de fonctions continues
La seule résolution numérique des systèmes linéaires

La topologie, la convergence, les limites et la différentiabilité

Explication

L’analyse dans les espaces vectoriels normés étend notamment la topologie, la convergence des suites, les limites, la continuité et la différentiabilité. La diagonalisation et la résolution numérique relèvent d’autres domaines mathématiques.

3. Quelle est la nature de l’inconnue dans une équation aux dérivées partielles ?

Un vecteur fixé sans variable indépendante
Une fonction d’un espace Rn\mathbb{R}^n vers un espace Rp\mathbb{R}^p
Un nombre réel dépendant d’un seul paramètre
Une matrice carrée à coefficients constants

Une fonction d’un espace $$\mathbb{R}^n$$ vers un espace $$\mathbb{R}^p$$

Explication

Une équation aux dérivées partielles est une équation fonctionnelle dont l’inconnue est une fonction de Rn\mathbb{R}^n dans Rp\mathbb{R}^p. Une matrice ou un nombre réel ne constitue pas, par définition, cette fonction inconnue.

4. Laquelle des propriétés distingue une norme d’une application positive quelconque ?

Elle associe à chaque vecteur une valeur strictement supérieure à zéro
Elle conserve chaque vecteur lorsqu’il est multiplié par un scalaire
Elle transforme l’addition des vecteurs en multiplication des valeurs
Elle vérifie la séparation, l’homogénéité absolue et l’inégalité triangulaire

Elle vérifie la séparation, l’homogénéité absolue et l’inégalité triangulaire

Explication

Une norme vérifie notamment la séparation, l’homogénéité absolue ∥λx∥=∣λ∣∥x∥\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\| et l’inégalité triangulaire. Une application positive peut s’annuler sur un vecteur non nul et ne satisfait donc pas nécessairement la séparation.

5. Quelle expression donne la norme infinie d’un vecteur x∈Rnx\in\mathbb{R}^n ?

∥x∥∞=∑i=1nxi2\|x\|_\infty=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}
∥x∥∞=∑i=1n∣xi∣\|x\|_\infty=\sum_{i=1}^n|x_i|
∥x∥∞=∏i=1n∣xi∣\|x\|_\infty=\prod_{i=1}^n|x_i|
∥x∥∞=max⁡1≤i≤n∣xi∣\|x\|_\infty=\max_{1\leq i\leq n}|x_i|

$$\|x\|_\infty=\max_{1\leq i\leq n}|x_i|$$

Explication

La norme infinie est le maximum des valeurs absolues des coordonnées. La somme correspond à la norme 1 et la racine de la somme des carrés à la norme euclidienne, ou norme 2.

6. Que signifie l’équivalence de toutes les normes sur un espace vectoriel de dimension finie ?

Chaque norme possède la même formule dans toutes les bases
Une seule norme peut être définie sur un espace de dimension finie
Il existe α,β>0\alpha,\beta>0 telles que α∥x∥a≤∥x∥b≤β∥x∥a\alpha\|x\|_a\leq\|x\|_b\leq\beta\|x\|_a pour tout xx
Les normes prennent exactement la même valeur sur chaque vecteur

Il existe $$\alpha,\beta>0$$ telles que $$\alpha\|x\|_a\leq\|x\|_b\leq\beta\|x\|_a$$ pour tout $$x$$

Explication

L’équivalence signifie que deux normes se bornent mutuellement par des constantes positives, selon l’inégalité indiquée. Elle n’implique pas que les valeurs ou les formules des normes soient identiques.

7. Comment définit-on la distance associée à une norme sur un espace vectoriel EE ?

Par d(X,Y)=∥X+Y∥d(X,Y)=\|X+Y\|
Par d(X,Y)=∥X−Y∥d(X,Y)=\|X-Y\|
Par d(X,Y)=∥X∥ ∥Y∥d(X,Y)=\|X\|\,\|Y\|
Par d(X,Y)=∥X∥−∥Y∥d(X,Y)=\|X\|-\|Y\|

Par $$d(X,Y)=\|X-Y\|$$

Explication

La distance induite par une norme mesure la norme du vecteur déplacement entre les deux points, soit d(X,Y)=∥X−Y∥d(X,Y)=\|X-Y\|. La somme et le produit des normes ne mesurent pas directement l’écart entre XX et YY.

8. Quelle condition caractérise la boule ouverte de centre aa et de rayon r>0r>0 ?

B(a,r)={x∈E∣∥x−a∥≤r}B(a,r)=\{x\in E\mid\|x-a\|\leq r\}
B(a,r)={x∈E∣∥x+a∥<r}B(a,r)=\{x\in E\mid\|x+a\|<r\}
B(a,r)={x∈E∣∥x−a∥>r}B(a,r)=\{x\in E\mid\|x-a\|>r\}
B(a,r)={x∈E∣∥x−a∥<r}B(a,r)=\{x\in E\mid\|x-a\|<r\}

$$B(a,r)=\{x\in E\mid\|x-a\|<r\}$$

Explication

Une boule ouverte contient les points dont la distance à son centre est strictement inférieure au rayon. L’inégalité large ≤r\leq r décrit la boule fermée, et non la boule ouverte.

9. Quand une partie VV est-elle un voisinage d’un point aa ?

Lorsqu’il existe r>0r>0 tel que B(a,r)⊂VB(a,r)\subset V
Lorsque toute boule centrée en un autre point est incluse dans VV
Lorsque aa est nécessairement le seul point de VV
Lorsqu’il existe r>0r>0 tel que V⊂B(a,r)V\subset B(a,r)

Lorsqu’il existe $$r>0$$ tel que $$B(a,r)\subset V$$

Explication

Un voisinage de aa contient au moins une boule ouverte centrée en aa. L’inclusion inverse décrit une condition différente et ne garantit pas que la partie contienne une région autour de aa.

10. Comment caractérise-t-on une partie fermée d’un espace vectoriel normé ?

Elle est égale à l’intérieur de son complémentaire
Elle contient une boule ouverte autour de chacun de ses points
Toute boule centrée en un point extérieur lui appartient
Son complémentaire est un ouvert de l’espace

Son complémentaire est un ouvert de l’espace

Explication

Une partie est fermée lorsque son complémentaire dans l’espace est ouvert. La propriété de contenir une boule autour de chacun de ses points caractérise plutôt une partie ouverte.

11. Comment reconnaît-on qu’un point appartient à l’adhérence d’une partie AA ?

Le point possède une boule ouverte entièrement contenue dans AA
Le point est situé à une distance positive de chaque élément de AA
Tout voisinage de ce point rencontre AA
Le point appartient au complémentaire ouvert de AA

Tout voisinage de ce point rencontre $$A$$

Explication

L’adhérence de AA est formée des points dont tout voisinage rencontre AA, y compris les points de frontière. Une boule entièrement contenue dans AA caractérise plutôt un point intérieur.

12. Laquelle des affirmations décrit correctement le comportement de l’adhérence par rapport à l’union et à l’intersection de deux ensembles $A$ et $B$ ?

L’adhérence de l’union donne une inclusion stricte, tandis que celle de l’intersection donne une égalité.
Les deux opérations donnent toujours des égalités entre les adhérences correspondantes.
On a A∪B‾=A‾∪B‾\overline{A\cup B}=\overline A\cup\overline B, tandis que A∩B‾⊂A‾∩B‾\overline{A\cap B}\subset\overline A\cap\overline B.
On a A∪B‾⊂A‾∪B‾\overline{A\cup B}\subset\overline A\cup\overline B, tandis que A∩B‾=A‾∩B‾\overline{A\cap B}=\overline A\cap\overline B.

On a $$\overline{A\cup B}=\overline A\cup\overline B$$, tandis que $$\overline{A\cap B}\subset\overline A\cap\overline B$$.

Explication

L’adhérence commute avec l’union finie, alors que pour l’intersection elle fournit seulement une inclusion qui peut être stricte. L’égalité pour l’intersection n’est donc pas garantie, contrairement à celle de l’union.

13. Quelle relation entre les intérieurs de deux ensembles $A$ et $B$ est correcte ?

On a A∩B˚⊂A˚∩B˚\mathring{A\cap B}\subset\mathring A\cap\mathring B, tandis que A˚∪B˚=A∪B˚\mathring A\cup\mathring B=\mathring{A\cup B}.
Les intérieurs de l’intersection et de l’union vérifient tous deux une égalité avec les opérations correspondantes.
On a A∩B˚=A˚∩B˚\mathring{A\cap B}=\mathring A\cap\mathring B, tandis que A˚∪B˚⊂A∪B˚\mathring A\cup\mathring B\subset\mathring{A\cup B}.
On a A∩B˚=A˚∪B˚\mathring{A\cap B}=\mathring A\cup\mathring B, tandis que A∪B˚⊂A˚∩B˚\mathring{A\cup B}\subset\mathring A\cap\mathring B.

On a $$\mathring{A\cap B}=\mathring A\cap\mathring B$$, tandis que $$\mathring A\cup\mathring B\subset\mathring{A\cup B}$$.

Explication

L’intérieur commute avec l’intersection finie, mais l’union des intérieurs peut être strictement plus petite que l’intérieur de l’union. L’égalité pour l’union n’est donc pas générale.

14. Comment définit-on la frontière d’un ensemble $A$ dans un espace topologique ?

Par ∂A=A˚∖A‾\partial A=\mathring A\setminus\overline A.
Par ∂A=A‾∪A˚\partial A=\overline A\cup\mathring A.
Par ∂A=A∖A‾\partial A=A\setminus\overline A.
Par ∂A=A‾∖A˚\partial A=\overline A\setminus\mathring A.

Par $$\partial A=\overline A\setminus\mathring A$$.

Explication

La frontière rassemble les points de l’adhérence qui ne sont pas intérieurs, d’où la formule ∂A=A‾∖A˚\partial A=\overline A\setminus\mathring A. L’intérieur est inclus dans l’adhérence, ce qui exclut la différence inverse.

15. Pour établir qu’un ensemble $B$ est l’adhérence d’un ensemble $A$, quelles vérifications faut-il effectuer ?

Montrer que $A$ est fermé, que $B\subset A$, puis que chaque point de $A\setminus B$ est approché par $B$ dans une boule donnée.
Montrer que $B$ est fermé, que $A\subset B$, puis qu’il existe une boule de centre chaque point de $B\setminus A$ rencontrant $A$.
Montrer que $B$ est ouvert, que $B\subset A$, puis que chaque point de $A\setminus B$ possède une boule disjointe de $B$.
Montrer que $B$ est fermé, que $A\subset B$, puis que chaque point de $B\setminus A$ est approché par $A$ dans toute boule centrée en ce point.

Montrer que $B$ est fermé, que $A\subset B$, puis que chaque point de $B\setminus A$ est approché par $A$ dans toute boule centrée en ce point.

Explication

La caractérisation demande que $B$ soit un fermé contenant $A$ et que tout point supplémentaire de $B$ soit adhérent à $A$, c’est-à-dire approché dans toute boule. Une seule boule ne suffit pas à exprimer cette propriété d’adhérence.

16. Quelle description correspond à une suite d’éléments d’un espace vectoriel normé $E$ ?

C’est une application de $E$ dans N\mathbb N, notée (xn)n∈N(x_n)_{n\in\mathbb N}.
C’est une application de R\mathbb R dans $E$ définie par une formule continue.
C’est une famille finie d’éléments de $E$ indexée par les nombres naturels.
C’est une application de N\mathbb N dans $E$, notée (xn)n∈N(x_n)_{n\in\mathbb N}.

C’est une application de $$\mathbb N$$ dans $E$, notée $$(x_n)_{n\in\mathbb N}$$.

Explication

Une suite dans $E$ associe à chaque entier naturel un élément de $E$, ce qui en fait une application de N\mathbb N vers $E$. Elle n’est donc pas une application définie sur $E$ ni une famille nécessairement finie.

17. Quand une suite $(x_n)$ d’un espace vectoriel normé est-elle bornée ?

Lorsqu’il existe un indice $N$ tel que ∥xn∥≤M\|x_n\|\le M pour tout $n\ge N$, avec $M$ pouvant dépendre de $n$.
Lorsqu’il existe un réel $M>0$, indépendant de $n$, tel que ∥xn∥≤M\|x_n\|\le M pour tout $n$.
Lorsqu’il existe un réel $M>0$ tel que ∥xn∥≥M\|x_n\|\ge M pour tout $n$.
Lorsqu’il existe une limite $l$ telle que ∥xn−l∥<1\|x_n-l\|<1 pour tout $n$.

Lorsqu’il existe un réel $M>0$, indépendant de $n$, tel que $$\|x_n\|\le M$$ pour tout $n$.

Explication

La bornitude signifie que toutes les normes des termes sont contrôlées par une même constante $M$ indépendante de l’indice. Une borne valable seulement à partir d’un certain rang ou une distance à un point fixée ne donne pas cette définition.

18. Quelle condition caractérise la convergence de $(x_n)$ vers $l$ dans un espace vectoriel normé ?

Il existe un réel ε>0\varepsilon>0 tel que, pour tout $n$, on ait ∥xn−l∥<ε\|x_n-l\|<\varepsilon.
Il existe N∈NN\in\mathbb N tel que, pour tout ε>0\varepsilon>0, on ait ∥xn−l∥<ε\|x_n-l\|<\varepsilon dès que $n\ge N$.
Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe N∈NN\in\mathbb N tel que n≥Nn\ge N entraîne ∥xn−l∥<ε\|x_n-l\|<\varepsilon.
Les normes ∥xn∥\|x_n\| restent inférieures à une constante fixe lorsque $n$ devient grand.

Pour tout $$\varepsilon>0$$, il existe $$N\in\mathbb N$$ tel que $$n\ge N$$ entraîne $$\|x_n-l\|<\varepsilon$$.

Explication

La convergence exige que la distance à $l$ devienne inférieure à toute précision positive à partir d’un rang qui peut dépendre de cette précision. Une simple bornitude ou une distance contrôlée par un seul seuil ne suffit pas.

19. Que peut-on conclure si une suite $(x_n)$ converge vers $l$ dans un espace vectoriel normé ?

La suite $(x_n)$ converge dès que la suite des normes converge vers un réel positif.
La suite des normes converge vers ∥l∥\|l\|, mais la convergence des normes ne garantit pas celle de $(x_n)$.
La convergence de $(x_n)$ implique que chaque terme est égal à $l$ à partir d’un certain rang.
La convergence des normes vers ∥l∥\|l\| garantit que tous les termes se rapprochent de $l$.

La suite des normes converge vers $$\|l\|$$, mais la convergence des normes ne garantit pas celle de $(x_n)$.

Explication

La norme est une application continue, donc xn→lx_n\to l implique ∥xn∥→∥l∥\|x_n\|\to\|l\|. La réciproque est fausse, comme le montre la suite scalaire xn=(−1)nx_n=(-1)^n, dont les normes convergent alors que la suite ne converge pas.

20. Dans la définition de la limite d’une application $f:A\to F$ en $a$, quel rôle jouent η\eta et ε\varepsilon ?

Les deux paramètres contrôlent la proximité de $x$ avec $a$ et sont choisis indépendamment de la fonction.
η\eta fixe la valeur de la limite, tandis que ε\varepsilon indique le domaine de définition de la fonction.
η\eta contrôle la proximité de $x$ avec $a$, tandis que ε\varepsilon contrôle la proximité de $f(x)$ avec la limite $l$.
ε\varepsilon contrôle la proximité de $x$ avec $a$, tandis que η\eta contrôle la proximité de $f(x)$ avec la limite $l$.

$$\eta$$ contrôle la proximité de $x$ avec $a$, tandis que $$\varepsilon$$ contrôle la proximité de $f(x)$ avec la limite $l$.

Explication

La condition de limite impose que ∥x−a∥E<η\|x-a\|_E<\eta entraîne ∥f(x)−l∥F<ε\|f(x)-l\|_F<\varepsilon. Ainsi, η\eta mesure la précision requise dans l’espace de départ et ε\varepsilon celle obtenue dans l’espace d’arrivée.

21. Pour montrer que la fonction f(x,y)=xyx2+y2f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2} n’a pas de limite en $(0,0)$, que révèlent les chemins associés à θ=π4\theta=\frac{\pi}{4} et θ=−π4\theta=-\frac{\pi}{4} ?

Ils donnent tous deux la limite 00, ce qui suffit à conclure que la limite n’existe pas.
Ils donnent respectivement les limites 11 et −1-1, qui sont opposées.
Ils donnent respectivement les limites 12\frac12 et −12-\frac12, qui sont différentes.
Ils donnent tous deux la limite 12\frac12, ce qui prouve que la limite existe.

Ils donnent respectivement les limites $$\frac12$$ et $$-\frac12$$, qui sont différentes.

Explication

Deux chemins donnant des limites différentes en un même point prouvent que la limite de la fonction n’existe pas. L’égalité des limites sur quelques chemins, en revanche, ne suffirait pas à établir son existence.

22. Quelle condition caractérise la continuité d’une application $f$ en un point $a$ ?

L’application admet une limite en $a$ et cette limite est égale à $f(a)$.
L’application est bornée dans un voisinage de $a$, sans condition sur sa limite.
L’application est dérivable en $a$, ce qui constitue la définition de la continuité.
L’application possède une limite en $a$, même si cette limite diffère de $f(a)$.

L’application admet une limite en $a$ et cette limite est égale à $f(a)$.

Explication

La continuité en $a$ signifie que la valeur de l’application en $a$ correspond à sa limite lorsque $x$ tend vers $a$. L’existence d’une limite ou la bornitude locale ne suffit pas si cette limite ne coïncide pas avec $f(a)$.

23. Quelle caractérisation séquentielle de la limite lim⁡x→af(x)=l\lim_{x\to a}f(x)=l est correcte ?

Il existe une suite $(x_n)$ de $A$ convergeant vers $a$ telle que $(f(x_n))$ converge vers $l$.
Pour toute suite $(x_n)$ de $A$ bornée, la suite $(f(x_n))$ converge vers $l$.
Pour toute suite $(x_n)$ de $A$ convergeant vers $a$, la suite $(f(x_n))$ converge vers $l$.
Toute suite $(x_n)$ de $A$ convergeant vers $l$ possède une image convergeant vers $a$.

Pour toute suite $(x_n)$ de $A$ convergeant vers $a$, la suite $(f(x_n))$ converge vers $l$.

Explication

La limite est caractérisée par le comportement de l’image de toute suite du domaine qui converge vers le point considéré. L’existence d’une seule suite favorable ou la simple bornitude des suites ne permet pas de conclure.

24. Comment se définit la dérivée partielle première de f par rapport à la j-ième variable en a lorsqu’elle existe ?

lim⁡h→0f(a+h)−f(a)∥h∥\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{\|h\|}
f(a+ej)−f(a)1\displaystyle \frac{f(a+e_j)-f(a)}{1}
lim⁡t→0f(a+tej)−f(a)t\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{f(a+te_j)-f(a)}{t}
lim⁡t→1f(a+tej)−f(a)t\displaystyle \lim_{t\to 1}\frac{f(a+te_j)-f(a)}{t}

$$\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{f(a+te_j)-f(a)}{t}$$

Explication

La dérivée partielle selon la j-ième variable est obtenue en faisant varier a dans la direction du vecteur canonique e_j et en faisant tendre t vers zéro. La limite vectorielle avec h tendant vers zéro correspond plutôt à une condition générale de différentiabilité, pas à une dérivée partielle isolée.

25. Pourquoi l’existence de toutes les dérivées partielles en un point ne garantit-elle pas la continuité en ce point ?

Parce que les dérivées partielles sont définies par des limites à l’infini, tandis que la continuité concerne des limites finies
Parce que les dérivées partielles portent sur plusieurs fonctions, tandis que la continuité porte sur une seule fonction
Parce que les dérivées partielles mesurent des variations de norme, tandis que la continuité concerne des variations de coordonnées
Parce que ces dérivées examinent des directions canoniques, tandis que la continuité concerne toutes les approches

Parce que ces dérivées examinent des directions canoniques, tandis que la continuité concerne toutes les approches

Explication

Les dérivées partielles contrôlent le comportement le long des directions des axes de coordonnées. Une fonction peut cependant se comporter différemment le long d’autres chemins, alors que la continuité exige une même limite selon toutes les approches.

26. Quelle condition caractérise la différentiabilité de f en a ?

Il existe une dérivée partielle dans chaque direction telle que f(a+h)=f(a)+∑jl(hj)f(a+h)=f(a)+\sum_j l(h_j)
Il existe une application linéaire l et une fonction ε tendant vers zéro telles que f(a+h)=f(a)+l(h)+∥h∥ε(h)f(a+h)=f(a)+l(h)+\|h\|\varepsilon(h)
Il existe une constante c telle que f(a+h)=f(a)+c∥h∥+ε(h)f(a+h)=f(a)+c\|h\|+\varepsilon(h) avec ε bornée près de zéro
Il existe une application continue l telle que f(a+h)=f(a)+l(h)+ε(h)f(a+h)=f(a)+l(h)+\varepsilon(h) avec ε tendant vers zéro

Il existe une application linéaire l et une fonction ε tendant vers zéro telles que $$f(a+h)=f(a)+l(h)+\|h\|\varepsilon(h)$$

Explication

La différentiabilité signifie que l’accroissement de f est décrit par une application linéaire, avec un reste négligeable devant ∥h∥\|h\|. Une simple continuité de l ou l’existence de dérivées directionnelles ne fournit pas cette approximation linéaire avec le reste requis.

27. Si f est différentiable de Rp\mathbb{R}^p dans un espace normé, comment s’écrit sa différentielle en a appliquée à h ?

Daf(h)=∑j=1phj∂f∂xj(a)\displaystyle D_af(h)=\sum_{j=1}^{p}h_j\frac{\partial f}{\partial x_j}(a)
Daf(h)=∑j=1paj∂f∂xj(h)\displaystyle D_af(h)=\sum_{j=1}^{p}a_j\frac{\partial f}{\partial x_j}(h)
Daf(h)=∑j=1p∂f∂xj(h)\displaystyle D_af(h)=\sum_{j=1}^{p}\frac{\partial f}{\partial x_j}(h)
Daf(h)=∏j=1phj∂f∂xj(a)\displaystyle D_af(h)=\prod_{j=1}^{p}h_j\frac{\partial f}{\partial x_j}(a)

$$\displaystyle D_af(h)=\sum_{j=1}^{p}h_j\frac{\partial f}{\partial x_j}(a)$$

Explication

La différentielle est l’application linéaire obtenue en pondérant chaque dérivée partielle en a par la composante correspondante h_j. Les autres expressions évaluent les dérivées au mauvais point, utilisent les mauvaises composantes ou remplacent la somme linéaire par un produit.

28. Quelle implication entre différentiabilité et continuité est correcte en un point ?

La continuité implique la différentiabilité, mais la différentiabilité n’implique pas la continuité
La différentiabilité implique la continuité, mais la continuité n’implique pas la différentiabilité
La différentiabilité et la continuité sont équivalentes dès que les dérivées partielles existent
La continuité et la différentiabilité sont deux propriétés indépendantes en ce point

La différentiabilité implique la continuité, mais la continuité n’implique pas la différentiabilité

Explication

L’approximation linéaire fournie par la différentiabilité entraîne que l’accroissement de la fonction tend vers zéro, donc la fonction est continue. En revanche, une fonction continue peut présenter une pointe ou une autre irrégularité empêchant la différentiabilité.

29. Quelle propriété caractérise une fonction de classe C1 sur un ouvert ?

Ses dérivées partielles existent à l’origine et déterminent la fonction sur tout l’ouvert
Elle est différentiable en chaque point, même si ses dérivées partielles varient de façon discontinue
Ses dérivées partielles premières existent et sont continues en tout point de l’ouvert
Elle est continue sur l’ouvert et possède une dérivée totale constante en tout point

Ses dérivées partielles premières existent et sont continues en tout point de l’ouvert

Explication

Une fonction de classe C1 possède des dérivées partielles premières définies et continues partout sur l’ouvert. La différentiabilité seule ne suffit pas à assurer la continuité des dérivées partielles, ce qui distingue les deux notions.

30. Que montre l’exemple de la fonction définie par f(x,y)=(x2+y2)sin⁡(1x2+y2)f(x,y)=(x^2+y^2)\sin\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) hors de l’origine et par f(0,0)=0f(0,0)=0 ?

Elle est continue et différentiable à l’origine, mais n’est pas de classe C1
Elle est de classe C1 à l’origine, car sa formule tend vers zéro selon chaque direction
Elle est discontinue et non différentiable à l’origine, mais ses dérivées partielles sont continues
Elle est différentiable partout sauf à l’origine, où elle devient seulement de classe C1

Elle est continue et différentiable à l’origine, mais n’est pas de classe C1

Explication

Cet exemple possède une continuité et une différentiabilité en (0,0)\left(0,0\right), mais une dérivée partielle par rapport à x n’y est pas continue. Il illustre donc qu’une fonction différentiable peut ne pas appartenir à la classe C1.

31. Si g(t)=f(u1(t),…,un(t))g(t)=f(u_1(t),\ldots,u_n(t)) avec f et les uiu_i de classe C1, quelle expression donne g′(t)g'(t) ?

g′(t)=∑i=1nui(t)∂f∂xi∣(u1′(t),…,un′(t))\displaystyle g'(t)=\sum_{i=1}^{n}u_i(t)\frac{\partial f}{\partial x_i}\bigg|_{(u_1'(t),\ldots,u_n'(t))}
g′(t)=u1′(t)⋯un′(t)∂f∂x1∣(u1(t),…,un(t))\displaystyle g'(t)=u_1'(t)\cdots u_n'(t)\frac{\partial f}{\partial x_1}\bigg|_{(u_1(t),\ldots,u_n(t))}
g′(t)=∑i=1nui′(t)∂f∂xi∣(u1(t),…,un(t))\displaystyle g'(t)=\sum_{i=1}^{n}u_i'(t)\frac{\partial f}{\partial x_i}\bigg|_{(u_1(t),\ldots,u_n(t))}
g′(t)=∂f∂x1+⋯+∂f∂xn\displaystyle g'(t)=\frac{\partial f}{\partial x_1}+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_n} évaluées en t

$$\displaystyle g'(t)=\sum_{i=1}^{n}u_i'(t)\frac{\partial f}{\partial x_i}\bigg|_{(u_1(t),\ldots,u_n(t))}$$

Explication

La règle de chaîne additionne les dérivées partielles de f, chacune pondérée par la vitesse de la coordonnée correspondante. Une dérivée partielle isolée ou un produit des vitesses ne tient pas compte de toutes les contributions du chemin.

32. Pour h(u,v)=f(g1(u,v),g2(u,v))h(u,v)=f(g_1(u,v),g_2(u,v)), quelle formule donne la dérivée partielle de h par rapport à u ?

∂h∂u=∂f∂x+∂f∂y+∂g1∂u+∂g2∂u\displaystyle \frac{\partial h}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial g_1}{\partial u}+\frac{\partial g_2}{\partial u}
∂h∂u=∂f∂x∂g1∂u+∂f∂y∂g2∂u\displaystyle \frac{\partial h}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial g_1}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial g_2}{\partial u}
∂h∂u=∂f∂x∂g2∂u+∂f∂y∂g1∂u\displaystyle \frac{\partial h}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial g_2}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial g_1}{\partial u}
∂h∂u=∂f∂x∂g1∂v+∂f∂y∂g2∂v\displaystyle \frac{\partial h}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial g_1}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial g_2}{\partial v}

$$\displaystyle \frac{\partial h}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial g_1}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial g_2}{\partial u}$$

Explication

La variation selon u passe par les deux fonctions intermédiaires, puis leurs effets sont pondérés par les dérivées partielles correspondantes de f. L’échange de g_1 et g_2 associe les mauvaises variables, tandis que les dérivées selon v concernent une autre direction.

33. Comment définit-on la matrice de Jacobi d’une application f en a, lorsque f possède n composantes et dépend de p variables ?

C’est la matrice à p lignes et n colonnes dont le coefficient i,j vaut ∂fj∂xi(a)\frac{\partial f_j}{\partial x_i}(a)
C’est la matrice à n lignes et p colonnes dont le coefficient i,j vaut ∂fj∂xi(a)\frac{\partial f_j}{\partial x_i}(a)
C’est la matrice à n lignes et p colonnes dont le coefficient i,j vaut ∂fi∂xj(a)\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)
C’est une matrice carrée dont la diagonale contient les valeurs fi(a)f_i(a)

C’est la matrice à n lignes et p colonnes dont le coefficient i,j vaut $$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)$$

Explication

La ligne i correspond à la composante f_i et la colonne j à la variable x_j, ce qui donne le coefficient ∂fi∂xj(a)\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a). Inverser les indices modifie l’association entre composantes et variables, tandis qu’une matrice jacobienne n’est pas forcément carrée.

34. Laquelle décrit correctement une équation aux dérivées partielles du premier ordre ?

Elle relie une fonction de plusieurs variables à ses dérivées partielles d’ordre au moins égal à 2.
Elle relie plusieurs fonctions d’une variable à leurs dérivées ordinaires de tout ordre.
Elle relie une fonction de plusieurs variables à ses dérivées partielles d’ordre au plus égal à 1.
Elle relie une fonction d’une variable à ses dérivées ordinaires d’ordre au plus égal à 1.

Elle relie une fonction de plusieurs variables à ses dérivées partielles d’ordre au plus égal à 1.

Explication

Une EDP du premier ordre met en relation une fonction de plusieurs variables et des dérivées partielles dont l’ordre ne dépasse pas 1. Une équation différentielle ordinaire concerne, elle, une fonction dépendant d’une seule variable.

35. Si ∂f∂x=g(x,y)\frac{\partial f}{\partial x}=g(x,y), quelle forme prennent les solutions de classe C1C^1 ?

f(x,y)=K(y)+∫g(x,y) dyf(x,y)=K(y)+\int g(x,y)\,dy, avec KK une fonction C1C^1 de yy.
f(x,y)=K(x)+∫g(x,y) dyf(x,y)=K(x)+\int g(x,y)\,dy, avec KK une fonction C1C^1 de xx.
f(x,y)=K(x,y)+∫g(x,y) dxf(x,y)=K(x,y)+\int g(x,y)\,dx, avec KK une constante arbitraire.
f(x,y)=K(y)+∫g(x,y) dxf(x,y)=K(y)+\int g(x,y)\,dx, avec KK une fonction C1C^1 de yy.

$$f(x,y)=K(y)+\int g(x,y)\,dx$$, avec $$K$$ une fonction $$C^1$$ de $$y$$.

Explication

La primitive est calculée par rapport à xx, et la constante d’intégration peut dépendre de la variable non intégrée, donc de yy. Une fonction arbitraire de xx produirait une dérivée supplémentaire par rapport à xx.

36. Que peut-on conclure si le jacobien de φ\varphi en aa est non nul ?

La fonction inverse φ−1\varphi^{-1} est définie sur tout l’espace d’arrivée.
La différentielle DaφD_a\varphi est inversible en aa.
La fonction φ\varphi est nécessairement bijective sur tout son domaine.
La différentielle DaφD_a\varphi est nulle dans un voisinage de aa.

La différentielle $$D_a\varphi$$ est inversible en $$a$$.

Explication

Un jacobien non nul en aa implique que la différentielle en ce point est inversible. Cette conclusion locale ne suffit pas à établir la bijectivité globale ni l’existence d’une inverse définie sur tout l’espace d’arrivée.

37. Quelle succession d’étapes correspond à la résolution d’une EDP du premier ordre par changement de variables ?

Transformer les variables, supprimer les termes différentiels, puis considérer la solution obtenue comme valable sans retour.
Résoudre dans les variables initiales, choisir une fonction arbitraire, puis annuler les dérivées transformées.
Choisir une transformation quelconque, intégrer sans modifier les dérivées, puis imposer une bijectivité après le calcul.
Choisir un difféomorphisme, transformer les dérivées, résoudre dans les nouvelles variables, puis revenir aux variables initiales.

Choisir un difféomorphisme, transformer les dérivées, résoudre dans les nouvelles variables, puis revenir aux variables initiales.

Explication

La méthode repose sur un changement de variables régulier, l’application de la règle de chaîne, la résolution de l’équation transformée et le retour aux variables initiales. Une transformation quelconque ne garantit pas que les dérivées ni les solutions soient correctement transférées.

38. Comment obtient-on une dérivée partielle d’ordre kk ?

En additionnant les dérivées partielles d’ordre k−1k-1 obtenues selon chaque variable.
En dérivant successivement une dérivée d’ordre k−1k-1 par rapport à une nouvelle variable.
En dérivant une fonction une seule fois par rapport à chacune de ses variables simultanément.
En dérivant une dérivée d’ordre k+1k+1 puis en supprimant la dernière opération.

En dérivant successivement une dérivée d’ordre $$k-1$$ par rapport à une nouvelle variable.

Explication

Une dérivée partielle d’ordre kk résulte d’une nouvelle dérivation appliquée à une dérivée partielle d’ordre k−1k-1. Elle est donc construite progressivement par dérivations successives, selon les variables considérées.

39. Que signifie pour une fonction être de classe CkC^k sur un ensemble UU ?

Toutes ses dérivées partielles d’ordre kk existent et sont continues sur UU.
La fonction possède des dérivées partielles continues jusqu’à un ordre qui peut dépasser kk.
La fonction est dérivable une infinité de fois, avec continuité de chaque dérivée sur UU.
Toutes ses dérivées partielles d’ordre inférieur à kk existent, mais leur continuité n’est pas prise en compte.

Toutes ses dérivées partielles d’ordre $$k$$ existent et sont continues sur $$U$$.

Explication

La classe CkC^k exige l’existence et la continuité des dérivées partielles d’ordre kk, ce qui entraîne aussi la régularité aux ordres inférieurs. La dérivabilité à tous les ordres avec continuité correspond plutôt à la classe C∞C^\infty.

40. Si une fonction est de classe CkC^k, quelle propriété de ses dérivées est garantie ?

Ses dérivées partielles d’ordre inférieur ou égal à kk sont définies et continues.
Ses dérivées partielles d’ordre supérieur à kk sont automatiquement continues.
Ses dérivées partielles d’ordre kk existent, même si celles d’ordre inférieur ne sont pas définies.
Ses dérivées croisées commutent sans condition de continuité supplémentaire.

Ses dérivées partielles d’ordre inférieur ou égal à $$k$$ sont définies et continues.

Explication

La régularité CkC^k inclut l’existence et la continuité de tous les ordres inférieurs ou égaux à kk. Elle ne fournit pas automatiquement la régularité des ordres supérieurs, et la commutation des dérivées croisées dépend d’hypothèses adaptées.

41. Sous quelle hypothèse le théorème de Schwarz permet-il d’intervertir deux dérivations partielles croisées en un point ?

Lorsque la fonction est définie sur un domaine à une seule variable.
Lorsque les dérivées secondes croisées sont définies et continues en ce point.
Lorsque la fonction possède une première dérivée partielle, sans condition sur les dérivées secondes.
Lorsque les dérivées secondes croisées existent, même si elles sont discontinues au point considéré.

Lorsque les dérivées secondes croisées sont définies et continues en ce point.

Explication

La continuité des dérivées secondes croisées au point permet d’écrire ∂2f∂xj∂xi=∂2f∂xi∂xj\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_i}=\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}. Leur simple existence ne suffit pas à assurer cette commutation lorsque la continuité fait défaut.

42. Quelle est la forme générale des solutions de classe C2C^2 de ∂2f∂x2=0\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=0 ?

f(x,y)=x2G(y)+H(x)f(x,y)=x^2G(y)+H(x), où GG et HH sont des fonctions C2C^2.
f(x,y)=G(y)+H(y) exf(x,y)=G(y)+H(y)\,e^x, où GG et HH sont des fonctions C2C^2.
f(x,y)=xG(y)+H(y)f(x,y)=xG(y)+H(y), où GG et HH sont des fonctions C2C^2.
f(x,y)=G(x)+yH(x)f(x,y)=G(x)+yH(x), où GG et HH sont des fonctions C2C^2.

$$f(x,y)=xG(y)+H(y)$$, où $$G$$ et $$H$$ sont des fonctions $$C^2$$.

Explication

L’annulation de la seconde dérivée par rapport à xx impose une dépendance affine en xx, avec des coefficients pouvant dépendre de yy. Le terme quadratique en xx proposé ailleurs donnerait une seconde dérivée généralement non nulle.

43. Pour l’équation ∂2f∂x2−1c2∂2f∂t2=0\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2f}{\partial t^2}=0, quelles solutions obtient-on avec les variables caractéristiques X=x+ctX=x+ct et Y=x−ctY=x-ct ?

f(x,t)=h(x+ct) k(x−ct)f(x,t)=h(x+ct)\,k(x-ct), où hh et kk sont des fonctions C2C^2.
f(x,t)=h(x−ct)+k(t)f(x,t)=h(x-ct)+k(t), où hh et kk sont des fonctions C2C^2.
f(x,t)=h(x−ct)+k(x+ct)f(x,t)=h(x-ct)+k(x+ct), où hh et kk sont des fonctions C2C^2.
f(x,t)=h(x)+k(t)f(x,t)=h(x)+k(t), où hh et kk sont des fonctions C2C^2.

$$f(x,t)=h(x-ct)+k(x+ct)$$, où $$h$$ et $$k$$ sont des fonctions $$C^2$$.

Explication

Les solutions sont la somme de deux fonctions C2C^2, chacune dépendant d’une variable caractéristique différente, x−ctx-ct ou x+ctx+ct. Une séparation en fonction de xx et fonction de tt ne représente pas la forme générale issue de ces caractéristiques.

44. Quelle condition caractérise un minimum local de ff en un point intérieur a∈Aa\in A ?

Il existe un voisinage de aa contenu dans AA où f(x)≥f(a)f(x)\geq f(a).
La valeur f(a)f(a) est inférieure à toutes les valeurs prises sur AA.
Le point aa appartient nécessairement à la frontière de AA.
La valeur f(a)f(a) est supérieure aux valeurs prises dans un voisinage de aa.

Il existe un voisinage de $$a$$ contenu dans $$A$$ où $$f(x)\geq f(a)$$.

Explication

Un minimum local exige qu’un voisinage de aa contenu dans le domaine vérifie f(x)≥f(a)f(x)\geq f(a). La comparaison avec tous les points de AA décrit un minimum global, tandis qu’un maximum repose sur l’inégalité opposée.

45. Lorsqu’on recherche les extremums d’une fonction sur un ensemble fermé, quelle démarche supplémentaire faut-il appliquer par rapport à un ensemble ouvert ?

Remplacer les dérivées par une étude des valeurs négatives.
Écarter les extremums locaux trouvés dans l’intérieur du domaine.
Examiner uniquement les points situés à l’intérieur du domaine.
Évaluer aussi la fonction sur la frontière du domaine.

Évaluer aussi la fonction sur la frontière du domaine.

Explication

Sur un ensemble fermé, un extremum peut être atteint sur la frontière, qui doit donc être étudiée en plus de l’intérieur. Sur un ensemble ouvert, la recherche porte sur les extremums à l’intérieur du domaine.

46. Quelle inégalité caractérise un maximum global de ff en aa sur un ensemble AA ?

f(x)≤f(a)f(x)\leq f(a) pour tout x∈Ax\in A.
f(x)≥f(a)f(x)\geq f(a) pour tout x∈Ax\in A.
f(x)<f(a)f(x)<f(a) dans un voisinage intérieur de aa.
f(a)≤f(x)f(a)\leq f(x) pour les points de la frontière de AA.

$$f(x)\leq f(a)$$ pour tout $$x\in A$$.

Explication

Un maximum global signifie que la valeur en aa domine toutes les valeurs du domaine, ce qui s’écrit f(x)≤f(a)f(x)\leq f(a) pour tout x∈Ax\in A. L’inégalité inverse caractérise un minimum global.

47. Comment caractérise-t-on un point critique d’une fonction définie sur un ouvert de Rp\mathbb{R}^p ?

La fonction y atteint une valeur plus grande que sur tout le domaine.
Son gradient y possède au moins une composante non nulle.
Toutes ses dérivées partielles secondes y sont strictement positives.
Toutes ses dérivées partielles premières y sont définies et nulles.

Toutes ses dérivées partielles premières y sont définies et nulles.

Explication

Un point critique est un point intérieur où toutes les dérivées partielles premières sont définies et nulles, ce qui équivaut à ∇af=0Rp\nabla_a f=0_{\mathbb{R}^p}. La positivité des dérivées secondes concerne plutôt l’étude de la nature d’un point critique.

48. Si une fonction différentiable admet un extremum local en un point intérieur aa, que peut-on conclure ?

La fonction possède nécessairement un maximum global en aa.
La matrice hessienne en aa est nécessairement nulle.
Toutes les valeurs de la fonction sont égales à celle de aa.
Le point aa est un point critique.

Le point $$a$$ est un point critique.

Explication

À un extremum local intérieur où les dérivées partielles sont définies, elles s’annulent toutes, donc aa est un point critique. Cette condition ne permet pas de distinguer à elle seule un minimum d’un maximum ni de garantir un extremum global.

49. Que permet de conclure une forme quadratique QQ positive et nulle seulement en 00 au niveau d’un point critique aa ?

La fonction ne possède pas d’extremum local en aa.
La fonction possède un maximum local strict en aa.
La fonction possède un minimum local strict en aa.
Le critère différentiel ne permet pas de conclure.

La fonction possède un minimum local strict en $$a$$.

Explication

Une forme quadratique strictement positive dans toutes les directions non nulles indique que la fonction augmente au voisinage du point critique, ce qui donne un minimum local strict. Une forme strictement négative conduirait plutôt à un maximum local strict.

50. Pour une fonction de R2\mathbb{R}^2 dans R\mathbb{R}, que conclut-on lorsque det⁡(Hf(a))<0\det(H_f(a))<0 ?

Le point aa est un maximum local strict.
Le point aa est un point-col sans extremum local.
Le critère hessien impose une nouvelle étude de la frontière.
Le point aa est un minimum local strict.

Le point $$a$$ est un point-col sans extremum local.

Explication

Un déterminant hessien négatif signifie que la forme quadratique associée prend des signes opposés selon les directions, caractérisant un point-col sans extremum local. Le cas d’un déterminant nul, lui, ne permet pas de conclure avec ce critère.

51. Quelle transformation définit les coordonnées polaires d’un point à partir de ρ\rho et θ\theta ?

(x,y)=(ρsin⁡θ,ρcos⁡θ)(x,y)=(\rho\sin\theta,\rho\cos\theta) avec ρ<0\rho<0.
(x,y)=(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ)(x,y)=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta) avec ρ>0\rho>0.
(x,y)=(θcos⁡ρ,θsin⁡ρ)(x,y)=(\theta\cos\rho,\theta\sin\rho) avec θ>0\theta>0.
(x,y)=(ρ+cos⁡θ,ρ+sin⁡θ)(x,y)=(\rho+\cos\theta,\rho+\sin\theta) avec θ>0\theta>0.

$$(x,y)=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)$$ avec $$\rho>0$$.

Explication

Les coordonnées polaires associent à un rayon positif ρ\rho et à un angle θ\theta le point $(x,y)=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta). L’intervalle admissible pour θ\theta dépend du demi-plan étudié.

52. Pour le demi-plan x>0x>0, quel intervalle d’angles rend les coordonnées polaires bijectives avec ρ>0\rho>0 ?

θ∈]π2,3π2[\theta\in\left]\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right[.
θ∈]−π,0[\theta\in\left]-\pi,0\right[.
θ∈]0,π[\theta\in\left]0,\pi\right[.
θ∈]−π2,π2[\theta\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[.

$$\theta\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$$.

Explication

Dans le demi-plan x>0x>0, le cosinus doit être positif, ce qui correspond à θ∈]−π2,π2[\theta\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[. L’intervalle ]0,π[ ]0,\pi[\, est adapté au demi-plan y>0y>0, pas au demi-plan x>0x>0.

53. Quel est le déterminant du jacobien du changement polaire dans le demi-plan x>0x>0 ?

∣Jφ(ρ,θ)∣=cos⁡θ>0|J_\varphi(\rho,\theta)|=\cos\theta>0.
∣Jφ(ρ,θ)∣=ρ2>0|J_\varphi(\rho,\theta)|=\rho^2>0.
∣Jφ(ρ,θ)∣=ρ>0|J_\varphi(\rho,\theta)|=\rho>0.
∣Jφ(ρ,θ)∣=ρsin⁡θ|J_\varphi(\rho,\theta)|=\rho\sin\theta.

$$|J_\varphi(\rho,\theta)|=\rho>0$$.

Explication

Le déterminant du jacobien du changement polaire vaut ρ\rho, et il est strictement positif puisque ρ>0\rho>0. Il ne dépend donc pas d’un facteur supplémentaire comme cos⁡θ\cos\theta ou sin⁡θ\sin\theta.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 82 flashcards sur Calcul différentiel et EDP.

Qu'est-ce qu'une fonction scalaire à deux variables ?

C'est une application de R2\mathbb{R}^2 dans R\mathbb{R}.

Quels champs vectoriels en électromagnétisme sont des applications de R3\mathbb{R}^3 dans R3\mathbb{R}^3 ?

Les champs vectoriels E\mathbf{E} et B\mathbf{B}.

Que généralise le cours aux espaces vectoriels normés ?

Les notions de topologie, convergence, limite, continuité, dérivées partielles, différentiabilité, classe CkC^k et développement de Taylor.

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Calcul différentiel et EDP.

Voir la fiche →

Cours similaires

Fonctions affines et trinômes

Mathématiques

Introduction à la psychologie sociale

Atmosphère terrestre et vie

SVT

Environnement du bureau et productivité

Fondations et soubassements

Algèbre vectorielle

Mathématiques

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM