Flashcards : Calcul différentiel et EDP — 82 cartes

Qu'est-ce qu'une fonction scalaire à deux variables ?

Quels champs vectoriels en électromagnétisme sont des applications de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^3$ ?

Que généralise le cours aux espaces vectoriels normés ?

Qu'est-ce qu'une équation aux dérivées partielles ?

Quelle est la forme de l'équation de Gauss en électromagnétisme ?

Sur quelle fonction porte l'équation de Gauss ?

Qu'est-ce qu'une norme sur un espace vectoriel E ?

Quelle est la formule de la norme $\|x\|_1$ sur $\mathbb{R}^n$ ?

Quelle est la formule de la norme $\|x\|_2$ sur $\mathbb{R}^n$ ?

Quelle est la formule de la norme $\|x\|_\infty$ sur $\mathbb{R}^n$ ?

Que signifie que toutes les normes sont équivalentes en dimension finie ?

Qu'est-ce qu'une distance sur un ensemble X ?

Comment est définie la distance associée à une norme sur E ?

Qu'est-ce que la distance discrète $d_0$ sur un ensemble ?

Quelle est la définition d'une boule ouverte dans un espace normé ?

Qu'impose la définition d'un voisinage d'un point a ?

Que ne dépend pas de la norme dans un espace vectoriel normé de dimension finie ?

Quand une partie U est-elle dite ouverte dans un espace normé ?

Quand une partie F est-elle fermée dans un espace normé ?

Qu'est-ce que l'intérieur d'une partie A ?

Comment se définit l'adhérence d'une partie A ?

Comment s'exprime la frontière d'une partie A ?

Quelle égalité vérifie l’adhérence de l’union de deux ensembles A et B ?

Quelle inclusion vérifie l’adhérence de l’intersection de deux ensembles A et B ?

Quelle égalité vérifient les intérieurs de l’intersection de deux ensembles A et B ?

Quelle inclusion peut être stricte concernant l’union des intérieurs de deux ensembles A et B ?

Comment se définit la frontière d’un ensemble A ?

Quelle est la frontière d’une boule fermée $\overline B(a,r)$ ?

Quelles conditions faut-il vérifier pour montrer que B est l’adhérence de A ?

Qu'est-ce qu'une suite d'éléments dans un espace vectoriel normé E ?

Qu'impose la définition d'une suite bornée dans un espace vectoriel normé ?

Quelle est la condition de convergence d'une suite $(x_n)$ vers l dans un EVN ?

Que signifie que $x_n$ appartient éventuellement à toute boule autour de l ?

Quelle propriété a une suite convergente dans un espace vectoriel normé ?

Que peut-on dire de la norme si $x_n\to l$ dans un EVN ?

La convergence des normes suffit-elle à assurer la convergence de la suite ?

Qu'est-ce qu'une valeur d'adhérence d'une suite ?

Quelle est la condition pour qu'une application f admette la limite l en a ?

La limite d'une fonction en un point est-elle unique ?

Que montrent les limites selon θ=π/4 et θ=−π/4 pour $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$ en (0,0) ?

Qu'implique la différence des limites selon deux chemins pour $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$ en (0,0) ?

Que change le remplacement des normes par des normes équivalentes sur la limite ?

Quand une application f est-elle continue en un point a ?

Quand une application f est-elle continue sur un ensemble A ?

Quelle condition caractérise la limite d'une fonction via les suites ?

Quelle est la définition de la dérivée partielle première de f en a ?

Quelles sont les dérivées partielles de $f(x,y)=3x^2+xy-2y^2$ ?

L'existence de toutes les dérivées partielles en un point garantit-elle la continuité ?

Quand une fonction f est-elle différentiable en un point a ?

Qu'est-ce que la différentielle d'une fonction différentiable en a ?

Quelle propriété lie différentiabilité et continuité en un point ?

Quelle formule donne la différentielle d'une fonction différentiable de $\mathbb{R}^p$ ?

Qu'impose la différentiabilité d'une fonction en un point sur sa continuité ?

Quelles propriétés ont les dérivées partielles d'une fonction de classe C1 sur un ouvert ?

Quelle classe de régularité possède toute application linéaire de $\mathbb{R}^p$ dans un espace vectoriel normé ?

Quelles propriétés possède une fonction de classe C1 sur un ouvert U ?

La fonction $f(x,y)=(x^2+y^2)\sin\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$ pour $(x,y)\neq(0,0)$ et $f(0,0)=0$ est-elle continue et différentiable en $(0,0)$ ?

Pourquoi la fonction $f(x,y)=(x^2+y^2)\sin\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$ n'est-elle pas de classe C1 ?

Quelle est la formule de la dérivée de g(t)=f(u_1(t),...,u_n(t)) ?

Comment s'exprime la dérivée de f(u(t),v(t)) ?

Quelle est la formule pour $\frac{\partial h}{\partial u}$ si $h(u,v)=f(g_1(u,v),g_2(u,v))$ ?

Qu'est-ce que la matrice de Jacobi de f en a ?

Comment se définit le gradient d'une fonction réelle f en a ?

Quelle relation lie la différentielle de f en a à son gradient ?

Quelle propriété géométrique caractérise le gradient d'une fonction réelle ?

Que mesure la norme du gradient d'une fonction réelle ?

Qu'est-ce qu'une EDP du premier ordre ?

Quelle est la forme générale des solutions C1 de $\frac{\partial f}{\partial x}=g(x,y)$ ?

Qu'est-ce qu'un C1-difféomorphisme entre U et V ?

Quelle condition suffit pour qu'une application C1 bijective soit un C1-difféomorphisme ?

Que garantit un jacobien non nul de φ en a ?

Quelle est la première étape pour résoudre une EDP du premier ordre par changement de variables ?

Que fait-on après avoir introduit la fonction dans les nouvelles variables lors d'un changement de variables ?

Quelle est la dernière étape dans la résolution d'une EDP du premier ordre par changement de variables ?

Comment obtient-on une dérivée partielle k-ième ?

Quand une fonction est-elle de classe Ck sur un ouvert U ?

Qu'est-ce qu'une fonction de classe C∞ ?

Que garantit la classe Ck d'une fonction concernant ses dérivées partielles ?

Que dit le théorème de Schwarz sur les dérivées secondes croisées ?

Quelle est la forme générale des solutions C2 de $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=0$ ?

Quelle équation est résolue par $f(x,t)=h(x-ct)+k(x+ct)$ avec h et k C2 ?

Quels changements de variables sont utilisés pour résoudre $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0$ ?