Fiche de révision : Fonctions affines et trinômes

📋 Plan du Cours

1. Équations de droites affines
2. Résolution des équations du second degré
3. Tableaux de signes des trinômes

📖 1. Équations de droites affines

★ À maîtriser

📐 Formule — Une fonction affine s’écrit sous la forme $y=ax+b$, où a est le coefficient directeur et b l’ordonnée à l’origine.

📐 Formule — Pour une droite passant par M(x_M,y_M) et N(x_N,y_N), le coefficient directeur est $a=\frac{y_M-y_N}{x_M-x_N}$.

• Pour résoudre une équation affine comme $-4x+25=0$, on isole x : $-4x=-25$ puis $x=\frac{-25}{-4}=6{,}25$.

• La droite d’équation $y=-5x+3$ a pour coefficient directeur -5 et pour ordonnée à l’origine 3.

Compléments

• Pour M(-4,13) et N(5,-14), on obtient $a=\frac{13-(-14)}{-4-5}=\frac{27}{-9}=-3$ et $b=13-(-3)\times(-4)=1$, donc l’équation est $y=-3x+1$.

📖 2. Résolution des équations du second degré

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une équation du second degré $ax^2+bx+c=0$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si $\Delta>0$, l’équation du second degré possède deux solutions réelles ; si $\Delta=0$, elle possède une solution double ; si $\Delta<0$, elle ne possède aucune solution réelle.

• Pour $-2x^2+5x+3=0$, on obtient $\Delta=5^2-4\times(-2)\times3=49>0$, puis les solutions sont $x_1=3$ et $x_2=-0{,}5$, donc $S=\{-0{,}5;3\}$.

• Pour $4x^2-6x+3=0$, on obtient $\Delta=(-6)^2-4\times4\times3=-12<0$, donc il n’y a aucune solution et $S=\varnothing$.

Compléments

• L’équation $5x^2=20x-20$ se réécrit $5x^2-20x+20=0$ ; son discriminant vaut $\Delta=0$ et sa solution double est $x_0=2$, donc $S=\{2\}$.

💡 Astuce mémo

Calculer Δ → compter les solutions → appliquer la formule

📖 3. Tableaux de signes des trinômes

★ À maîtriser

📌 Comme le coefficient dominant de $P(x)=5x^2-10x+5$ est positif, P est positive sur les intervalles $]-\infty,1[$ et $]1,+\infty[$, et nulle en 1.

📌 Comme le coefficient dominant de $T(x)=-x^2+8x-7$ est négatif, T est négative avant 1, positive entre 1 et 7, puis négative après 7.

• Pour $P(x)=5x^2-10x+5$, le discriminant vaut $\Delta=0$ et l’unique racine est $x_0=1$.

• Pour $T(x)=-x^2+8x-7$, on obtient $\Delta=36>0$ et les deux racines sont 1 et 7.

Compléments

• Pour $S(x)=-4x^2+7x-5$, le discriminant vaut $\Delta=-21<0$ et le coefficient dominant est -4 ; S ne possède donc aucune racine et reste négative.

💡 Astuce mémo

Δ distingue les racines, tandis que le signe de a donne le signe extérieur

📊 Tableaux de synthèse

Effet du discriminant