Fiche de révision : Analyse des fonctions fondamentales et leurs propriétés

📋 Plan du Cours

1. Fonction carrée
2. Fonction cube
3. Fonction inverse
4. Fonction racine carrée
5. Parité des fonctions
6. Variations et extremums
7. Signe des fonctions
8. Équations et inéquations

📖 1. Fonction carrée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction carrée : f(x) = x², une fonction polynomiale de degré 2, dont la courbe est une parabole symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• Ensemble de définition : IR, tous les nombres réels.
• Extremum : La fonction carrée admet un minimum, qui est 0, atteint en x = 0, mais pas de maximum.
• Signe de la fonction : Toujours positive ou nulle, c’est-à-dire f(x) ≥ 0 pour tout x.
• Tableau de signes : La fonction est positive sur IR et nulle en 0.

📝 Points essentiels

• La fonction carrée est définie par f(x) = x² avec un ensemble de définition IR.
• Son graphique est une parabole symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, avec un minimum en 0 où f(0) = 0.
• La fonction est décroissante sur ] -∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.
• Elle n’a pas de maximum, mais un minimum global en 0.
• Son signe est toujours positif ou nul, ce qui se traduit par le tableau de signes :

  x	-∞	0	+∞
  f(x)	+	0	+

• La fonction est paire : f(-x) = f(x), ce qui implique une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

💡 À retenir

La fonction carrée est une parabole symétrique dont le minimum est atteint en 0, toujours positive ou nulle, et dont la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

📖 2. Fonction cube

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction cube : f(x) = x³, une fonction polynomiale de degré 3, définie sur IR.
• Ensemble de définition : IR, c’est-à-dire tous les nombres réels.
• Variations de la fonction cube : La fonction est strictement croissante sur IR (d’après Chap 11).
• Signe de la fonction cube : Négative sur ]-∞; 0[, positive sur ]0; +∞[ (d’après Chap 11).
• Absence d’extremums : La fonction cube ne possède ni maximum ni minimum (d’après Chap 11).

📝 Points essentiels

• La fonction cube, f(x) = x³, est définie pour tout x dans IR.
• Son graphique est une courbe qui traverse l’origine, avec une croissance continue et sans extremums.
• La fonction est strictement croissante sur IR, ce qui implique qu’elle ne possède pas de points où elle atteint un maximum ou un minimum local.
• Le signe de f(x) dépend de x : elle est négative lorsque x < 0, et positive lorsque x > 0.
• La fonction cube est impaire, car f(-x) = -f(x), ce qui implique une symétrie par rapport à l’origine (voir section 5).

💡 À retenir

La fonction cube est une fonction strictement croissante sur IR, sans extremums, et son signe dépend du signe de x : négative pour x négatif, positive pour x positif.

📖 3. Fonction inverse

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction inverse : Fonction définie par $f(x) = \frac{1}{x}$.
• Ensemble de définition : $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
• Représentation graphique : Hyperbole, courbe asymptotique aux axes.
• Variations : décroissante sur $]-\infty; 0[$ et sur $]0; +\infty[$ (voir critique).
• Signe : négative sur $]-\infty; 0[$, positive sur $]0; +\infty[$ (voir critique).
• Extremums : aucune extremum pour la fonction inverse (voir critique).

📝 Points essentiels

• La fonction inverse est définie uniquement pour tous les réels sauf zéro, c’est-à-dire $\mathbb{R}^*$.
• Son graphique est une hyperbole, présentant deux branches asymptotiques aux axes des coordonnées.
• La fonction est décroissante sur ses deux intervalles de définition : $]-\infty; 0[$ et $]0; +\infty[$.
• Elle ne possède pas d’extremum, mais ses variations sont strictement décroissantes.
• Le signe de la fonction inverse dépend de l’intervalle : négative sur $]-\infty; 0[$ et positive sur $]0; +\infty[$.
• La fonction est impaire, car $f(-x) = -f(x)$, ce qui implique une symétrie centrale par rapport à l’origine.
• Il n’y a pas d’extremum pour cette fonction, ce qui signifie qu’elle n’atteint ni maximum ni minimum local.

💡 À retenir

La fonction inverse, définie par $f(x) = 1/x$, est une hyperbole décroissante sur ses deux intervalles de définition, sans extremum, et symétrique par rapport à l’origine, avec un signe qui dépend de la partie du domaine considérée.

📖 4. Fonction racine carrée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction racine carrée : $f(x) = \sqrt{x}$, définie pour $x \in [0; +\infty[$. AUTEUR (date) : "C’est la fonction définie par : $f(x) = \sqrt{x}$".
• Ensemble de définition : l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction est définie. Ici, $[0; +\infty[$.
• Minimum de la fonction : le plus petit extremum, ici $0$, atteint en $x=0$. AUTEUR (date) : "Le minimum est 0 atteint 0".
• Signe de la fonction : la fonction est positive ou nulle sur son ensemble de définition. AUTEUR (date) : "Signe de la fonction racine carrée : positive ou nulle sur $[0; +\infty[$".

📝 Points essentiels

• La fonction racine carrée est définie uniquement pour $x \geq 0$, c’est-à-dire sur $[0; +\infty[$.
• Son tableau de valeurs montre une croissance régulière : par exemple, $\sqrt{1} = 1$, $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{9} = 3$, etc.
• La représentation graphique est une courbe croissante, appelée une racine carrée, qui passe par l’origine (0,0).
• La fonction est strictement croissante sur $[0; +\infty[$ et admet un minimum global en $x=0$, où elle vaut 0.
• La fonction est positive ou nulle sur son domaine, donc son signe est toujours $\geq 0$.
• Elle n’est ni paire ni impaire, car on ne peut pas comparer $f(x)$ et $f(-x)$.

💡 À retenir

La fonction racine carrée est croissante sur $[0; +\infty[$, avec un minimum en 0, et son ensemble de définition est limité à $x \geq 0$, où elle est toujours positive ou nulle.

📖 5. Parité des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : f(-x) = f(x). La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• Fonction impaire : f(-x) = -f(x). La courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.
• Propriétés de symétrie : La fonction paire possède une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, tandis que la fonction impaire possède une symétrie par rapport à l'origine.
• Exemples : La fonction carrée est paire, la fonction cube et la fonction inverse sont impaires, la fonction racine carrée est ni paire ni impaire.
• Cas particulier des fonctions affines : Les fonctions linéaires sont impaires, les constantes sont paires.

📝 Points essentiels

• La parité d'une fonction se définit par la relation entre f(x) et f(-x).
• La fonction paire, comme f(x) = x², a une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, ce qui implique que f(-x) = f(x).
• La fonction impaire, comme f(x) = x³ ou 1/x, possède une symétrie centrale par rapport à l'origine, avec f(-x) = -f(x).
• La fonction racine carrée ne possède pas de symétrie particulière, elle est ni paire ni impaire.
• Une fonction peut ne pas être ni paire ni impaire, comme certaines fonctions affines.

💡 À retenir

La parité d'une fonction se traduit par une symétrie spécifique de sa courbe : paire pour une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, impaire pour une symétrie centrale à l'origine.

📖 6. Variations et extremums

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de variations : représentation synthétique des phases de croissance ou décroissance d'une fonction sur son domaine, indiquant les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante, ainsi que ses extremums (voir aussi "Identification des extremums").
• Phases de croissance et décroissance : périodes durant lesquelles la fonction augmente ou diminue. La croissance correspond à une dérivée positive, la décroissance à une dérivée négative.
• Extremums : points où la fonction atteint un maximum ou un minimum local. Selon PERROUX (date), une fonction admet un extremum si sa dérivée s'annule en ce point et change de signe.
• Minimum de la fonction carrée : la valeur la plus basse atteinte par la fonction, ici 0 en x=0 (voir "Description des phases de croissance et décroissance").
• Absence d'extremums : situation où la fonction ne possède ni maximum ni minimum local, comme pour la fonction cube ou inverse (voir "Identification des extremums").

📝 Points essentiels

• La fonction carrée $f(x) = x^2$ est décroissante sur $\,]-\infty; 0]$ et croissante sur $[0; +\infty[$, avec un minimum en 0, valeur 0. Son tableau de variations montre cette transition, et elle possède un extremum de type minimum.
• La fonction racine carrée $f(x) = \sqrt{x}$ est strictement croissante sur $[0; +\infty[$, avec un minimum en 0, valeur 0, et n’a pas d’extremum de maximum. Son tableau de variations indique cette croissance monotone.
• La fonction cube $f(x) = x^3$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, sans extremums, avec un tableau de variations simple : croissance continue.
• La fonction inverse $f(x) = 1/x$ est décroissante sur $\,]-\infty; 0[$ et $\,]0; +\infty[$, sans extremums, avec un tableau de variations indiquant cette décroissance.

💡 À retenir

Les fonctions usuelles étudiées présentent des variations spécifiques : la carrée et la racine carrée ont des extremums (minimum), tandis que la cube et l’inverse sont strictement croissantes ou décroissantes sans extremums. Ces variations sont essentielles pour analyser leur comportement et résoudre graphiquement des équations ou inéquations.

📖 7. Signe des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de signes : Représentation graphique ou tabulaire indiquant le signe (positif, négatif ou nul) d’une fonction sur différents intervalles de son ensemble de définition.
• Analyse du signe selon les intervalles : Étude du signe d’une fonction en déterminant ses valeurs sur chaque sous-intervalle de son domaine, en utilisant notamment ses tableaux de signes.
• Lien entre signe et ensemble de définition : La nature du signe d’une fonction est directement liée à son domaine, notamment en ce qui concerne ses points où la fonction peut être nulle ou changer de signe (ex : racines, asymptotes).

📝 Points essentiels

• La tableau de signes permet de visualiser rapidement si une fonction est positive, négative ou nulle sur chaque intervalle de son domaine.
• L’analyse du signe selon les intervalles s’appuie sur le tableau de signes pour déterminer la nature du signe de la fonction, en particulier en identifiant les points où elle s’annule ou change de signe.
• Le lien entre signe et ensemble de définition est crucial : par exemple, la fonction racine carrée est positive ou nulle sur [0 ; +∞[, tandis que la fonction inverse est négative sur ]-∞ ; 0[ et positive sur ]0 ; +∞[. La connaissance du domaine permet d’interpréter correctement le tableau de signes.
• La définition du signe d’une fonction est souvent liée à ses points critiques, racines ou asymptotes, qui délimitent les intervalles où la fonction change de signe.

💡 À retenir

Le tableau de signes, combiné à l’analyse des intervalles, permet de déterminer précisément où une fonction est positive, négative ou nulle, en lien direct avec son domaine.

📖 8. Équations et inéquations

🔑 Notions clés & Définitions

• Résolution graphique d'équations et inéquations : Méthode consistant à représenter graphiquement la fonction concernée pour déterminer les solutions en identifiant les points d'intersection avec la droite (pour les équations) ou en analysant les zones où la courbe est au-dessus ou en dessous d'une valeur donnée (pour les inéquations).
• Solutions générales des équations et inéquations associées à la fonction carrée : Ensemble des valeurs de x vérifiant l’équation ou l’inéquation, exprimé en fonction de la valeur de a dans x² = a ou x² < a, en utilisant la résolution graphique ou analytique.
• Exemples spécifiques de solutions pour fonctions cube, inverse et racine carrée : Cas particuliers illustrant comment déterminer graphiquement ou analytiquement les solutions d’équations ou inéquations impliquant ces fonctions, comme x³ = 1 ou √x > 2.

📝 Points essentiels

• La résolution graphique consiste à tracer la courbe de la fonction et à repérer les points d’intersection avec la droite y = c (pour une équation) ou à analyser les zones où la courbe est au-dessus ou en dessous d’une certaine valeur (pour une inéquation).
• Pour la fonction carrée, l’équation x² = a admet deux solutions si a > 0, une solution si a = 0, et aucune si a < 0. La résolution graphique permet de visualiser ces solutions en repérant les points d’intersection avec la parabole. La solution générale est donnée par :
  • Si a > 0, S = {-√a ; √a}
  • Si a = 0, S = {0}
  • Si a < 0, S = ∅
• Pour les inéquations, la solution consiste à déterminer les intervalles où la courbe est au-dessus ou en dessous de la valeur de référence. Par exemple, x² < a (a > 0) a pour solution S = ]-√a ; √a[.
• La résolution graphique pour la fonction cube ou inverse suit le même principe : repérer graphiquement les solutions en traçant la courbe et en identifiant les points d’intersection ou les zones d’intérêt.

💡 À retenir

La résolution graphique d’équations et inéquations consiste à utiliser la représentation de la fonction pour visualiser directement ses solutions, facilitant la compréhension des ensembles solution et leur lien avec la courbe.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la parité : penser que racine carrée est paire, alors qu’elle n’est ni paire ni impaire.
2. Confondre la croissance de la fonction cube (strictement croissante) avec celle de la fonction carrée (croissante sur [0;+∞[ mais décroissante sur ]-∞;0]).
3. Oublier que la fonction inverse n’est définie que sur ℝ* et possède deux branches asymptotiques.
4. Confondre signe et domaine : par exemple, la fonction inverse est négative sur ]-∞;0[ mais positive sur ]0;+∞[.
5. Confondre extremums locaux et globaux : la fonction carrée a un minimum global en 0, la fonction cube n’en possède pas.
6. Ne pas faire attention à la symétrie : la fonction cube est impaire, la fonction carrée est paire.
7. Oublier que la racine carrée est strictement croissante et définie uniquement pour x≥0.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition de la fonction carrée et ses propriétés principales (auteur : Perroux).
2. Savoir que la fonction carrée est paire, avec un minimum en 0, et toujours positive ou nulle.
3. Connaître la définition de la fonction cube, sa croissance stricte, et sa symétrie impaire.
4. Identifier que la fonction inverse est définie sur ℝ* et possède deux branches asymptotiques, avec une décroissance sur chaque intervalle.
5. Savoir que la fonction racine carrée est définie sur [0;+∞[, strictement croissante, avec un minimum en 0.
6. Maîtriser la notion de parité : fonction paire ou impaire, avec exemples.
7. Être capable de réaliser un tableau de variations pour une fonction donnée.
8. Connaître la différence entre extremums locaux et globaux.
9. Identifier le signe d’une fonction en fonction de son domaine et de sa formule.
10. Savoir que la fonction racine carrée n’est ni paire ni impaire.
11. Maîtriser la représentation graphique de chaque fonction étudiée.
12. Vérifier la compréhension des variations et des extremums à partir de dérivées.