QCM : Analyse en composantes principales — 31 questions

Question 1

1. Quel est l’objectif central de la statistique descriptive multidimensionnelle ?

Estimer la probabilité d’un événement à partir d’une seule variable

Prévoir la valeur future d’une variable à partir d’un modèle

Tester une hypothèse concernant la moyenne d’une population

Étudier simultanément plusieurs variables d’un même ensemble de données

Explication

La statistique descriptive multidimensionnelle analyse plusieurs variables simultanément afin de décrire leurs informations conjointes. L’estimation probabiliste et les tests d’hypothèses relèvent plutôt de méthodes inférentielles.

Answer

Étudier simultanément plusieurs variables d’un même ensemble de données

Question 2

2. Quelle caractéristique distingue les méthodes de statistique descriptive multidimensionnelle des méthodes fondées sur un modèle probabiliste ?

Elles calculent des probabilités avant d’examiner la structure des données

Elles prédisent une variable cible à partir d’observations antérieures

Elles imposent une loi normale pour toutes les variables étudiées

Elles explorent les données sans supposer un modèle probabiliste a priori

Explication

Ces méthodes sont descriptives ou exploratoires et ne reposent pas sur un modèle probabiliste fixé avant l’analyse. L’imposition d’une loi ou le calcul préalable de probabilités correspondrait à une démarche modélisatrice différente.

Answer

Elles explorent les données sans supposer un modèle probabiliste a priori

Question 3

3. Que cherche principalement à accomplir l’Analyse de Données lorsqu’elle traite un grand tableau ?

Remplacer les observations par des probabilités théoriques

Déterminer une catégorie connue pour chaque nouvel individu

Résumer et visualiser l’information pertinente qu’il contient

Établir une loi probabiliste complète pour chaque variable

Explication

L’Analyse de Données regroupe des méthodes descriptives destinées à synthétiser et représenter l’information importante d’un tableau volumineux. La prédiction de catégories et la construction de lois probabilistes répondent à d’autres objectifs.

Answer

Résumer et visualiser l’information pertinente qu’il contient

Question 4

4. Quelle distinction décrit correctement les méthodes factorielles et les méthodes de classification ?

Les méthodes factorielles prédisent des catégories, tandis que la classification calcule des facteurs résumant les variables

Les méthodes factorielles imposent des groupes connus, tandis que la classification recherche une faible dimension

Les méthodes factorielles sélectionnent une variable cible, tandis que la classification représente les variables par des axes

Les méthodes factorielles construisent des facteurs résumant les données, tandis que la classification regroupe les individus proches

Explication

Les méthodes factorielles réduisent l’information à quelques facteurs et représentent individus et variables par des nuages de points. La classification vise plutôt à former des groupes selon la proximité entre individus.

Answer

Les méthodes factorielles construisent des facteurs résumant les données, tandis que la classification regroupe les individus proches

Question 5

5. Une analyse doit-elle former des groupes sans catégorie cible connue ou prédire la catégorie de nouveaux individus à partir de catégories déjà établies ? Quelle méthode correspond à chaque situation ?

La classification supervisée forme les groupes sans cible, tandis que la classification non supervisée prédit des catégories connues

La classification non supervisée forme les groupes sans cible, tandis que la classification supervisée prédit des catégories connues

La classification non supervisée résume les variables, tandis que la classification supervisée construit des composantes principales

La classification supervisée représente les individus sur des axes, tandis que la classification non supervisée estime des probabilités

Explication

La classification non supervisée recherche une structure de groupes en l’absence de variable cible. La classification supervisée apprend à prédire une catégorie à partir de catégories connues.

Answer

La classification non supervisée forme les groupes sans cible, tandis que la classification supervisée prédit des catégories connues

Question 6

6. Sur quel type de variables l’Analyse en Composantes Principales porte-t-elle directement ?

Des variables qualitatives organisées en catégories

Des catégories connues associées à chaque individu

Des variables exclusivement constituées de rangs

Des variables quantitatives étudiées simultanément

Explication

L’ACP est une méthode conçue pour étudier simultanément plusieurs variables quantitatives. Les variables qualitatives relèvent notamment de l’AFC ou de l’ACM.

Answer

Des variables quantitatives étudiées simultanément

Question 7

7. Quel changement l’ACP réalise-t-elle pour résumer un ensemble de variables ?

Elle supprime les variables les plus dispersées afin de garder celles qui varient le moins

Elle transforme les variables quantitatives en modalités qualitatives sans réduire leur nombre

Elle conserve toutes les variables initiales et ajoute une catégorie prédite à chaque individu

Elle remplace les variables initiales par moins de composantes en perdant le moins d’information possible

Explication

L’ACP construit un nombre réduit de nouvelles variables, appelées composantes principales, tout en minimisant la perte d’information. Elle ne consiste ni à ajouter une catégorie cible ni à supprimer simplement les variables les plus dispersées.

Answer

Elle remplace les variables initiales par moins de composantes en perdant le moins d’information possible

Question 8

8. Comment les premières composantes principales sont-elles hiérarchisées dans une ACP ?

Elles sont ordonnées selon la fréquence des catégories, puis selon la proximité des individus

Elles sont choisies selon le nombre minimal de variables initiales, puis les variables qualitatives restantes

Elles sont déterminées par une catégorie cible, puis par la probabilité de chaque observation

Elles sont choisies selon la quantité maximale de variabilité expliquée, puis la variabilité restante

Explication

La première composante explique la plus grande part possible de la variabilité, puis les composantes suivantes expliquent la variabilité encore disponible. Une ACP ne hiérarchise pas ses composantes selon des catégories cibles ou des fréquences de modalités.

Answer

Elles sont choisies selon la quantité maximale de variabilité expliquée, puis la variabilité restante

Question 9

9. Dans un tableau de données comportant $n$ individus et $p$ variables quantitatives, que représente une ligne ?

Une corrélation entre deux variables quantitatives

Une moyenne calculée pour l’ensemble des individus

Une variable décrite par ses valeurs individuelles

Un individu décrit par ses valeurs sur les variables

Explication

Chaque ligne correspond à un individu, tandis que chaque colonne correspond à une variable quantitative. La description d’une variable par ses valeurs se fait donc dans une colonne, et non dans une ligne.

Answer

Un individu décrit par ses valeurs sur les variables

Question 10

10. Comment représente-t-on mathématiquement l’individu $i$ décrit par $p$ variables quantitatives ?

Par le vecteur

x_i=(x_{i1},x_{i2},\ldots,x_{ip})\in\mathbb{R}^n

Par le vecteur

x_i=(x_{1i},x_{2i},\ldots,x_{pi})\in\mathbb{R}^p

Par le vecteur

x_i=(x_{1i},x_{2i},\ldots,x_{ni})\in\mathbb{R}^n

Par le vecteur

x_i=(x_{i1},x_{i2},\ldots,x_{ip})\in\mathbb{R}^p

Explication

L’individu $i$ est décrit par ses $p$ valeurs, ce qui forme un vecteur de $\mathbb{R}^p$ . Un vecteur de $\mathbb{R}^n$ correspondrait plutôt aux valeurs d’une variable pour les $n$ individus.

Answer

Par le vecteur $$x_i=(x_{i1},x_{i2},\ldots,x_{ip})\in\mathbb{R}^p$$

Question 11

11. Pour une variable fixée $j$ , quel vecteur rassemble ses valeurs observées sur les $n$ individus ?

x_j=(x_{1j},x_{2j},\ldots,x_{nj})\in\mathbb{R}^n

x_j=(x_{1j},x_{2j},\ldots,x_{nj})\in\mathbb{R}^p

x_j=(x_{j1},x_{j2},\ldots,x_{jp})\in\mathbb{R}^n

x_j=(x_{j1},x_{j2},\ldots,x_{jp})\in\mathbb{R}^p

Explication

Une variable fixée est observée pour chacun des $n$ individus et forme donc un vecteur de $\mathbb{R}^n$ . Les indices $x_{1j},\ldots,x_{nj}$ maintiennent la variable $j$ constante et font varier l’individu.

Answer

$$x_j=(x_{1j},x_{2j},\ldots,x_{nj})\in\mathbb{R}^n$$

Question 12

12. Pour centrer la variable $X_j$ , quelle transformation faut-il appliquer à chaque valeur $x_{ij}$ ?

Diviser par l’écart-type

\sigma_j

après avoir conservé la moyenne

Ajouter la moyenne

\bar{x}_j

afin de déplacer les valeurs

Diviser chaque valeur par le nombre d’individus

n

Soustraire la moyenne

\bar{x}_j=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{ij}

Explication

Le centrage consiste à calculer $x^c_{ij}=x_{ij}-\bar{x}_j$ , donc à soustraire la moyenne de la variable. Diviser par l’écart-type correspond à l’étape de réduction, et non au centrage seul.

Answer

Soustraire la moyenne $$\bar{x}_j=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{ij}$$

Question 13

13. Une variable centrée-réduite est-elle obtenue par quelle expression ?

z_{ij}=\frac{x_{ij}-\bar{x}_j}{\sigma_j}

z_{ij}=x_{ij}-\sigma_j\bar{x}_j

z_{ij}=\frac{x_{ij}-\sigma_j}{\bar{x}_j}

z_{ij}=\frac{x_{ij}+\bar{x}_j}{\sigma_j}

Explication

La standardisation soustrait d’abord la moyenne puis divise par l’écart-type, selon $z_{ij}=\frac{x_{ij}-\bar{x}_j}{\sigma_j}$ . Cette transformation produit une moyenne nulle et une variance égale à 1.

Answer

$$z_{ij}=\frac{x_{ij}-\bar{x}_j}{\sigma_j}$$

Question 14

14. Quelle condition caractérise une pondération valide des individus ?

Les poids vérifient

\sum_{i=1}^{n}p_i=1

, avec

p_i=\frac{1}{\sigma_j}

dans le cas équipondéré

Les poids vérifient

\sum_{i=1}^{n}p_i=0

, avec

p_i=\frac{1}{n}

dans le cas équipondéré

Les poids vérifient

\sum_{i=1}^{n}p_i=1

, avec

p_i=\frac{1}{n}

dans le cas équipondéré

Les poids vérifient

\sum_{i=1}^{n}p_i=n

, avec

p_i=\frac{1}{n}

dans le cas équipondéré

Explication

Une pondération valide attribue des poids dont la somme vaut 1; l’équipondération donne à chaque individu le poids $\frac{1}{n}$ . La réduction, elle, concerne l’échelle des variables et utilise l’écart-type.

Answer

Les poids vérifient $$\sum_{i=1}^{n}p_i=1$$, avec $$p_i=\frac{1}{n}$$ dans le cas équipondéré

Question 15

15. Dans quelle situation le centrage-réduction est-il préférable au centrage seul ?

Lorsque chaque variable est représentée par un vecteur de valeurs

Lorsque les individus reçoivent des poids dont la somme vaut 1

Lorsque les variables ont des unités et des échelles comparables

Lorsque les variables ont des échelles ou des dispersions différentes

Explication

Le centrage-réduction est adapté lorsque les variables diffèrent par leur échelle ou leur dispersion, car il les ramène à une échelle comparable. Le centrage seul convient lorsque les unités et les échelles sont déjà comparables.

Answer

Lorsque les variables ont des échelles ou des dispersions différentes

Question 16

16. Quelle propriété caractérise la diagonale de la matrice de corrélation $R$ ?

Elle est constituée de 1, car chaque variable centrée-réduite est parfaitement corrélée avec elle-même

Elle contient les poids attribués aux différents individus

Elle est constituée de 0, car les variables centrées-réduites ont une moyenne nulle

Elle contient les écarts-types des variables avant leur réduction

Explication

La matrice de corrélation regroupe les corrélations entre variables centrées-réduites, et l’autocorrélation de chaque variable vaut 1. Une moyenne nulle n’implique pas une diagonale nulle; elle résulte du centrage.

Answer

Elle est constituée de 1, car chaque variable centrée-réduite est parfaitement corrélée avec elle-même

Question 17

17. Dans la relation $Ru_\alpha=\lambda_\alpha u_\alpha$ , que représente le vecteur propre $u_\alpha$ ?

La variabilité expliquée par l’axe principal associé

La moyenne de la variable centrée-réduite associée

La direction de l’axe principal associé

Le poids attribué à l’individu situé sur cet axe

Explication

Le vecteur propre $u_\alpha$ définit la direction de l’axe principal. La valeur propre $\lambda_\alpha$ mesure, quant à elle, la variabilité expliquée par cet axe.

Answer

La direction de l’axe principal associé

Question 18

18. Comment s’exprime la première composante principale à partir des variables initiales ?

Comme une somme non pondérée

C_1=X_1+X_2+\cdots+X_p

Comme un produit des variables

C_1=X_1X_2\cdots X_p

Comme une combinaison linéaire

C_1=a_{11}X_1+a_{12}X_2+\cdots+a_{1p}X_p

Comme une différence entre la première et la dernière variable

C_1=X_1-X_p

Explication

La première composante principale est une combinaison linéaire des variables initiales, chaque variable étant affectée d’un coefficient. Elle ne se réduit donc pas nécessairement à une somme simple, à un produit ou à une différence.

Answer

Comme une combinaison linéaire $$C_1=a_{11}X_1+a_{12}X_2+\cdots+a_{1p}X_p$$

Question 19

19. Dans une ACP centrée-réduite portant sur $p$ variables, quelle expression donne l’inertie totale ?

I=\lambda_1\times\lambda_2\times\cdots\times\lambda_p

I=\frac{\lambda_1+\lambda_2}{p}

I=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_p=p

I=\lambda_1-\lambda_p

Explication

L’inertie totale est égale à la somme de toutes les valeurs propres et vaut $p$ dans une ACP centrée-réduite. Le produit des valeurs propres correspond à une autre opération et ne mesure pas l’inertie totale.

Answer

$$I=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_p=p$$

Question 20

20. Une ACP centrée-réduite possède une inertie totale de $5$ et l’axe $2$ a une valeur propre de $1{,}5$ ; quelle proportion d’inertie cet axe explique-t-il ?

20\,\%

33{,}3\,\%

30\,\%

7{,}5\,\%

Explication

La proportion expliquée se calcule par $\frac{\lambda_2}{\sum_{j=1}^{p}\lambda_j}\times100=\frac{1{,}5}{5}\times100=30\,\%$ . La valeur propre doit être divisée par l’inertie totale avant la conversion en pourcentage.

Answer

$$30\,\%$$

Question 21

21. Les trois premières valeurs propres sont $4$ , $2$ et $1$ , pour une inertie totale de $10$ ; quelle est l’inertie cumulée des trois premiers axes ?

30\,\%

70\,\%

40\,\%

17{,}5\,\%

Explication

L’inertie cumulée vaut $\frac{4+2+1}{10}\times100=70\,\%$ . Il faut additionner les valeurs propres des axes considérés avant de les rapporter à l’inertie totale.

Answer

$$70\,\%$$

Question 22

22. Dans une ACP centrée-réduite, quelles valeurs propres le critère de Kaiser conduit-il à retenir ?

Celles qui sont inférieures à

1

Celles qui sont supérieures à

1

Celles situées après le changement de pente

Celles dont la somme atteint environ

50\,\%

Explication

Le critère de Kaiser conserve les axes dont la valeur propre est supérieure à $1$ . La recherche d’un changement de pente correspond plutôt à l’interprétation du diagramme des éboulis.

Answer

Celles qui sont supérieures à $$1$$

Question 23

23. Si le vecteur centré-réduit de l’individu $i$ est $x_i^c$ et que $u_\alpha$ est le vecteur propre associé à l’axe $\alpha$ , comment obtient-on sa coordonnée factorielle ?

F_{i\alpha}=x_i^c\times u_\alpha^2

F_{i\alpha}=x_i^c-u_\alpha

F_{i\alpha}=x_i^c+u_\alpha

F_{i\alpha}=x_i^c u_\alpha

Explication

La coordonnée factorielle est obtenue par le produit du vecteur centré-réduit de l’individu et du vecteur propre : $F_{i\alpha}=x_i^c u_\alpha$ . Une addition, une soustraction ou un carré ne correspondent pas à la projection factorielle définie ici.

Answer

$$F_{i\alpha}=x_i^c u_\alpha$$

Question 24

24. Quelle formule permet de calculer la distance euclidienne entre deux individus $i$ et $i'$ décrits par $p$ variables ?

d(i,i')=\sqrt{\sum_{j=1}^{p}(x_{ij}x_{i'j})}

d(i,i')=\frac{\sum_{j=1}^{p}|x_{ij}-x_{i'j}|}{p}

d(i,i')=\sqrt{\sum_{j=1}^{p}(x_{ij}-x_{i'j})^2}

d(i,i')=\sum_{j=1}^{p}(x_{ij}+x_{i'j})^2

Explication

La distance euclidienne est la racine carrée de la somme des carrés des écarts entre les coordonnées correspondantes. La somme des coordonnées ou leur produit ne mesure pas directement cette distance.

Answer

$$d(i,i')=\sqrt{\sum_{j=1}^{p}(x_{ij}-x_{i'j})^2}$$

Question 25

25. Dans une ACP centrée-réduite, que représentent les coordonnées d’une variable sur les axes factoriels ?

Son écart entre les deux premiers axes

Ses corrélations avec les composantes principales

Sa moyenne calculée sur les individus

Sa contribution absolue à l’inertie totale

Explication

Les coordonnées d’une variable correspondent à ses corrélations avec les composantes principales. Sa contribution indique son importance dans la construction d’un axe, ce qui constitue une information différente.

Answer

Ses corrélations avec les composantes principales

Question 26

26. Sur un cercle des corrélations, que suggèrent deux variables représentées par des vecteurs perpendiculaires ?

Elles sont fortement corrélées positivement

Elles ont des contributions identiques aux axes

Elles sont fortement corrélées négativement

Elles sont peu corrélées entre elles

Explication

Des vecteurs perpendiculaires indiquent une corrélation faible ou proche de zéro entre les variables. Des vecteurs orientés dans le même sens indiqueraient plutôt une corrélation positive, tandis que des vecteurs opposés indiqueraient une corrélation négative.

Answer

Elles sont peu corrélées entre elles

Question 27

27. Quelle démarche permet d’interpréter correctement un axe factoriel ?

Additionner les valeurs propres, classer les individus, puis supprimer les variables

Observer les contributions, ignorer les signes, puis nommer l’axe selon sa variance

Comparer les distances, calculer les moyennes, puis retenir l’axe le plus long

Repérer les fortes corrélations, examiner leurs signes, puis synthétiser l’axe

Explication

L’interprétation repose sur l’identification des variables fortement corrélées, l’examen du signe de ces corrélations et la formulation d’une synthèse. Ignorer les signes empêcherait de distinguer les variables qui évoluent dans des directions opposées.

Answer

Repérer les fortes corrélations, examiner leurs signes, puis synthétiser l’axe

Question 28

28. Dans l’exemple scolaire, quelle interprétation est associée aux deux premiers axes factoriels ?

C1 représente le niveau scolaire général et C2 oppose MATH–PHYS à FRAN–ANGL

C1 représente la proximité des individus et C2 mesure la qualité du cercle

C1 oppose MATH–PHYS à FRAN–ANGL et C2 représente le niveau scolaire général

C1 décrit l’inertie totale et C2 correspond à la somme des valeurs propres

Explication

Dans cet exemple, C1 synthétise le niveau scolaire général, tandis que C2 oppose principalement les matières MATH–PHYS aux matières FRAN–ANGL. Les autres propositions confondent l’interprétation des axes avec des notions de distance ou d’inertie.

Answer

C1 représente le niveau scolaire général et C2 oppose MATH–PHYS à FRAN–ANGL

Question 29

29. Dans une ACP, comment calcule-t-on la contribution de l’individu $i$ à l’axe $\alpha$ ?

Ctr_{i\alpha}=\frac{d_i^2}{F_{i\alpha}^2}\times100

Ctr_{i\alpha}=\frac{F_{i\alpha}^2}{d_i^2}\times100

Ctr_{i\alpha}=\frac{F_{i\alpha}^2}{n\lambda_\alpha}\times100

Ctr_{i\alpha}=\frac{F_{i\alpha}^2}{\lambda_\alpha}\times100

Explication

La contribution d’un individu à un axe se calcule en rapportant le carré de sa coordonnée factorielle à $n\lambda_\alpha$ , puis en multipliant par 100. Le rapport avec $d_i^2$ correspond au cosinus carré, qui mesure la qualité de représentation plutôt que la participation à la construction de l’axe.

Answer

$$Ctr_{i\alpha}=\frac{F_{i\alpha}^2}{n\lambda_\alpha}\times100$$

Question 30

30. Un individu possède une coordonnée factorielle $F_{i\alpha}=3$ sur un axe et une distance à l’origine telle que $d_i^2=9$ . Quelle est sa qualité de représentation sur cet axe ?

cos^2_{i\alpha}=3

cos^2_{i\alpha}=\frac{1}{3}

cos^2_{i\alpha}=1

cos^2_{i\alpha}=6

Explication

La qualité de représentation se calcule par $cos^2_{i\alpha}=\frac{F_{i\alpha}^2}{d_i^2}$ , soit $\frac{9}{9}=1$ . La valeur $\frac{1}{3}$ résulterait d’un calcul incorrect utilisant la coordonnée non élevée au carré.

Answer

$$cos^2_{i\alpha}=1$$

Question 31

31. Quelle succession décrit correctement les principales étapes d’une ACP complète ?

Calculer les vecteurs propres, interpréter les variables, construire le tableau puis sélectionner les individus

Interpréter les axes, calculer les valeurs propres, construire le tableau puis centrer les variables

Construire le tableau, centrer et éventuellement réduire, calculer la matrice puis les axes et interpréter les résultats

Représenter les individus, réduire les variables, choisir les axes puis construire la matrice de covariance

Explication

Une ACP complète commence par la préparation du tableau et des variables, suivie de la construction de la matrice, du calcul spectral, du choix des axes, des représentations et de leur interprétation. Commencer par l’interprétation ou les représentations inverse l’ordre logique de la méthode.

Answer

Construire le tableau, centrer et éventuellement réduire, calculer la matrice puis les axes et interpréter les résultats

QCM : Analyse en composantes principales — 31 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel est l’objectif central de la statistique descriptive multidimensionnelle ?

2. Quelle caractéristique distingue les méthodes de statistique descriptive multidimensionnelle des méthodes fondées sur un modèle probabiliste ?

3. Que cherche principalement à accomplir l’Analyse de Données lorsqu’elle traite un grand tableau ?

4. Quelle distinction décrit correctement les méthodes factorielles et les méthodes de classification ?

5. Une analyse doit-elle former des groupes sans catégorie cible connue ou prédire la catégorie de nouveaux individus à partir de catégories déjà établies ? Quelle méthode correspond à chaque situation ?

6. Sur quel type de variables l’Analyse en Composantes Principales porte-t-elle directement ?

7. Quel changement l’ACP réalise-t-elle pour résumer un ensemble de variables ?

8. Comment les premières composantes principales sont-elles hiérarchisées dans une ACP ?

9. Dans un tableau de données comportant nnn individus et ppp variables quantitatives, que représente une ligne ?

10. Comment représente-t-on mathématiquement l’individu iii décrit par ppp variables quantitatives ?

11. Pour une variable fixée jjj, quel vecteur rassemble ses valeurs observées sur les nnn individus ?

12. Pour centrer la variable XjX_jXj​, quelle transformation faut-il appliquer à chaque valeur xijx_{ij}xij​ ?

13. Une variable centrée-réduite est-elle obtenue par quelle expression ?

14. Quelle condition caractérise une pondération valide des individus ?

15. Dans quelle situation le centrage-réduction est-il préférable au centrage seul ?

16. Quelle propriété caractérise la diagonale de la matrice de corrélation RRR ?

17. Dans la relation Ruα=λαuαRu_\alpha=\lambda_\alpha u_\alphaRuα​=λα​uα​, que représente le vecteur propre uαu_\alphauα​ ?

18. Comment s’exprime la première composante principale à partir des variables initiales ?

19. Dans une ACP centrée-réduite portant sur ppp variables, quelle expression donne l’inertie totale ?

20. Une ACP centrée-réduite possède une inertie totale de 555 et l’axe 222 a une valeur propre de 1,51{,}51,5 ; quelle proportion d’inertie cet axe explique-t-il ?

21. Les trois premières valeurs propres sont 444, 222 et 111, pour une inertie totale de 101010 ; quelle est l’inertie cumulée des trois premiers axes ?

22. Dans une ACP centrée-réduite, quelles valeurs propres le critère de Kaiser conduit-il à retenir ?

23. Si le vecteur centré-réduit de l’individu iii est xicx_i^cxic​ et que uαu_\alphauα​ est le vecteur propre associé à l’axe α\alphaα, comment obtient-on sa coordonnée factorielle ?

24. Quelle formule permet de calculer la distance euclidienne entre deux individus iii et i′i'i′ décrits par ppp variables ?

25. Dans une ACP centrée-réduite, que représentent les coordonnées d’une variable sur les axes factoriels ?

26. Sur un cercle des corrélations, que suggèrent deux variables représentées par des vecteurs perpendiculaires ?

27. Quelle démarche permet d’interpréter correctement un axe factoriel ?

28. Dans l’exemple scolaire, quelle interprétation est associée aux deux premiers axes factoriels ?

29. Dans une ACP, comment calcule-t-on la contribution de l’individu iii à l’axe α\alphaα ?

30. Un individu possède une coordonnée factorielle Fiα=3F_{i\alpha}=3Fiα​=3 sur un axe et une distance à l’origine telle que di2=9d_i^2=9di2​=9. Quelle est sa qualité de représentation sur cet axe ?

31. Quelle succession décrit correctement les principales étapes d’une ACP complète ?

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Crée tes propres QCM

9. Dans un tableau de données comportant $n$ individus et $p$ variables quantitatives, que représente une ligne ?

10. Comment représente-t-on mathématiquement l’individu $i$ décrit par $p$ variables quantitatives ?

11. Pour une variable fixée $j$ , quel vecteur rassemble ses valeurs observées sur les $n$ individus ?

12. Pour centrer la variable $X_j$ , quelle transformation faut-il appliquer à chaque valeur $x_{ij}$ ?

16. Quelle propriété caractérise la diagonale de la matrice de corrélation $R$ ?

17. Dans la relation $Ru_\alpha=\lambda_\alpha u_\alpha$ , que représente le vecteur propre $u_\alpha$ ?

19. Dans une ACP centrée-réduite portant sur $p$ variables, quelle expression donne l’inertie totale ?

20. Une ACP centrée-réduite possède une inertie totale de $5$ et l’axe $2$ a une valeur propre de $1{,}5$ ; quelle proportion d’inertie cet axe explique-t-il ?

21. Les trois premières valeurs propres sont $4$ , $2$ et $1$ , pour une inertie totale de $10$ ; quelle est l’inertie cumulée des trois premiers axes ?

23. Si le vecteur centré-réduit de l’individu $i$ est $x_i^c$ et que $u_\alpha$ est le vecteur propre associé à l’axe $\alpha$ , comment obtient-on sa coordonnée factorielle ?

24. Quelle formule permet de calculer la distance euclidienne entre deux individus $i$ et $i'$ décrits par $p$ variables ?

29. Dans une ACP, comment calcule-t-on la contribution de l’individu $i$ à l’axe $\alpha$ ?

30. Un individu possède une coordonnée factorielle $F_{i\alpha}=3$ sur un axe et une distance à l’origine telle que $d_i^2=9$ . Quelle est sa qualité de représentation sur cet axe ?