Fiche de révision : Analyse vectorielle et algèbre linéaire

📋 Plan du Cours

1. Systèmes linéaires et matrices associées
2. Ensembles de solutions
3. Forme échelonnée et pivots
4. Opérations élémentaires et pivot de Gauss
5. Matrices et opérations fondamentales
6. Produit matriciel et transposition
7. Rang et résolution des systèmes
8. Déterminants et propriétés

📖 1. Systèmes linéaires et matrices associées

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire : Un système linéaire de m équations à n inconnues est un ensemble d'équations de la forme $[1;3ma_{i1}x_1+[0m\dots+a_{in}x_n=b_i$ pour les équations considérées.
• Matrice des coefficients : La matrice des coefficients d'un système linéaire est la matrice $A=(a_{ij})$ de taille m×n formée par les coefficients des inconnues.
• Matrice augmentée : La matrice augmentée d'un système linéaire est obtenue en accolant à la matrice des coefficients A la colonne du second membre.

★ À maîtriser

📌 Un système homogène a un second membre nul, un système compatible admet au moins une solution et un système incompatible n'en admet aucune.

Compléments

📌 Deux systèmes sont équivalents lorsqu'ils possèdent le même ensemble de solutions.

💡 Astuce mémo

Système homogène : second membre nul ; système général : second membre quelconque.

📖 2. Ensembles de solutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Système homogène associé : Le système homogène associé à un système linéaire conserve les mêmes coefficients et remplace le second membre par une colonne nulle.
• Espace des solutions homogènes : L'ensemble des solutions d'un système homogène est stable par addition et par multiplication par un réel, donc c'est un espace vectoriel de ℝⁿ.

★ À maîtriser

📌 Un système homogène est toujours compatible, car le vecteur nul est une solution.

📌 Si x₀ est une solution particulière d'un système linéaire, toute solution s'écrit x₀+h, où h est une solution du système homogène associé.

Compléments

📌 L'ensemble des solutions d'un système linéaire est vide, réduit à une solution ou infini.

💡 Astuce mémo

Solution particulière + solution homogène → ensemble des solutions.

📖 3. Forme échelonnée et pivots

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice échelonnée : Une matrice est échelonnée lorsque le premier coefficient non nul de chaque ligne se trouve strictement à droite de celui de la ligne précédente.
• Pivot : Dans une matrice échelonnée, le premier coefficient non nul d'une ligne est appelé pivot.
• Variable libre : Dans un système linéaire échelonné, une inconnue correspondant à une colonne sans pivot est une variable libre.

📝 Points essentiels

📌 Une ligne de la forme $0=\beta$ avec $\beta\ne0$ rend le système incompatible.

📌 Un système échelonné sans variable libre possède une solution unique obtenue par remontée, tandis qu'un système avec des variables libres possède une infinité de solutions paramétrées par ces variables.

💡 Astuce mémo

Les pivots descendent en escalier vers la droite.

📖 4. Opérations élémentaires et pivot de Gauss

🔑 Notions clés & Définitions

• Opération élémentaire : Les opérations élémentaires sont la permutation de deux lignes, la multiplication d'une ligne par un réel non nul et l'ajout à une ligne d'un multiple d'une autre ligne.

★ À maîtriser

• La méthode du pivot de Gauss transforme un système en système échelonné par des opérations élémentaires successives, puis permet de déterminer les inconnues par remontée.

📌 Les opérations élémentaires appliquées au système ou à sa matrice augmentée ne changent pas l'ensemble des solutions.

Compléments

• Dans le système $x+y=0,\ x+3y+z=2,\ -x+y+z=3$, les opérations d'élimination conduisent à la ligne $0=1$, donc le système est incompatible.

💡 Astuce mémo

Échanger, multiplier, ajouter : trois opérations qui préservent les solutions.

📖 5. Matrices et opérations fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice : Une matrice de taille m×n est un tableau de nombres composé de m lignes et n colonnes.
• Matrice identité : La matrice identité Iₙ est une matrice diagonale carrée dont tous les coefficients diagonaux valent 1.
• Matrice carrée : Une matrice carrée possède autant de lignes que de colonnes, et ses coefficients diagonaux sont les coefficients situés sur la diagonale principale.
• Matrice diagonale : Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients hors diagonale sont nuls.
• Matrice triangulaire : Une matrice triangulaire supérieure a des coefficients nuls sous la diagonale, tandis qu'une matrice triangulaire inférieure a des coefficients nuls au-dessus de la diagonale.

💡 Astuce mémo

Matrice diagonale : seuls les diagonaux peuvent être non nuls ; matrice triangulaire : un seul côté est nul.

📖 6. Produit matriciel et transposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Transposée : La transposée d'une matrice s'obtient en échangeant ses lignes et ses colonnes.

★ À maîtriser

📌 L'addition de deux matrices et la multiplication d'une matrice par un scalaire se font coefficient par coefficient, et l'addition exige des matrices de même taille.

📐 Formule — Si A est de taille m×n et B de taille n×p, alors le produit AB est défini et est de taille m×p, avec $c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$.

📌 Le produit matriciel n'est pas commutatif en général : même lorsque AB et BA existent, on peut avoir AB≠BA.

Compléments

📌 Pour des matrices de tailles compatibles, le produit est distributif, associatif et vérifie $(AB)^\mathsf{T}=B^\mathsf{T}A^\mathsf{T}$.

💡 Astuce mémo

Compatibilité des dimensions → produit → transposition.

📖 7. Rang et résolution des systèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Rang : Le rang d'une matrice est le nombre de lignes non nulles, ou de pivots, dans une forme échelonnée de cette matrice.

📝 Points essentiels

📌 Le rang d'une matrice de taille m×n vérifie $\operatorname{rang}(A)\leq\min(m,n)$ et est égal au rang de sa transposée.

📐 Formule — Pour un système de m équations à n inconnues, si $\operatorname{rang}(\widetilde A)=\operatorname{rang}(A)+1$, alors le système n'a aucune solution.

📐 Formule — Si $\operatorname{rang}(\widetilde A)=\operatorname{rang}(A)=n$, le système possède une solution unique.

📐 Formule — Si $\operatorname{rang}(\widetilde A)=\operatorname{rang}(A)<n$, le système possède une infinité de solutions avec n−rang(A) paramètres.

💡 Astuce mémo

Rang augmenté supérieur → incompatibilité ; rang maximal → unicité ; rang inférieur → paramètres libres.

📖 8. Déterminants et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Déterminant : Le déterminant est un nombre associé à une matrice carrée, défini récursivement par les mineurs et les signes alternés.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une matrice carrée d'ordre 2, \det\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}=ad-bc.

📌 Échanger deux lignes change le signe du déterminant, multiplier une ligne par d multiplie le déterminant par d, et ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne laisse le déterminant inchangé.

📌 Le déterminant d'une matrice triangulaire ou diagonale est le produit de ses coefficients diagonaux, et $\det(I_n)=1$.

📐 Formule — Pour deux matrices carrées A et B de même taille, $\det(AB)=\det(A)\det(B)$.

Compléments

📐 Formule — Pour une matrice carrée A de taille n et un réel d, on a $\det(dA)=d^n\det(A)$.

💡 Astuce mémo

Mineurs → opérations élémentaires → matrices triangulaires → produit des déterminants.

📊 Tableaux de synthèse

Nombre de solutions selon les rangs