Qu'est-ce qu'un système linéaire de m équations à n inconnues ?
Un ensemble d'équations de la forme .
Qu'est-ce que la matrice des coefficients d'un système linéaire ?
La matrice de taille formée par les coefficients des inconnues.
Comment obtient-on la matrice augmentée d'un système linéaire ?
En accolant à la matrice des coefficients la colonne du second membre.
Qu'est-ce qui caractérise un système homogène ?
Son second membre est nul.
Qu'est-ce qu'un système compatible ?
Un système qui admet au moins une solution.
Qu'est-ce qu'un système incompatible ?
Un système qui n'admet aucune solution.
Quand deux systèmes sont-ils équivalents ?
Lorsqu'ils possèdent le même ensemble de solutions.
Pourquoi un système homogène est-il toujours compatible ?
Parce que le vecteur nul est une solution.
Qu'est-ce que le système homogène associé à un système linéaire ?
C'est le système qui conserve les mêmes coefficients et remplace le second membre par une colonne nulle.
Comment s'exprime toute solution d'un système linéaire connaissant une solution particulière x₀ ?
Toute solution s'écrit x₀ plus une solution h du système homogène associé.
Quels sont les possibles nombres de solutions d'un système linéaire ?
L'ensemble des solutions est vide, réduit à une solution ou infini.
Pourquoi l'ensemble des solutions d'un système homogène forme-t-il un espace vectoriel ?
Parce qu'il est stable par addition et multiplication par un réel.
Qu'est-ce qu'une matrice échelonnée ?
Une matrice où le premier coefficient non nul de chaque ligne est strictement à droite de celui de la ligne précédente.
Comment appelle-t-on le premier coefficient non nul d'une ligne dans une matrice échelonnée ?
Le pivot.
Qu'est-ce qu'une variable libre dans un système linéaire échelonné ?
Une inconnue correspondant à une colonne sans pivot.
Que signifie une ligne de la forme avec dans un système ?
Le système est incompatible.
Quelle solution possède un système échelonné sans variable libre ?
Une solution unique obtenue par remontée.
Que possède un système échelonné avec des variables libres ?
Une infinité de solutions paramétrées par ces variables.
Que fait la méthode du pivot de Gauss sur un système ?
Elle transforme un système en système échelonné par opérations élémentaires.
Quelle étape suit la transformation en système échelonné par pivot de Gauss ?
La détermination des inconnues par remontée.
Quelles sont les opérations élémentaires sur les lignes d'un système ?
Permutation de deux lignes, multiplication par un réel non nul, ajout d'un multiple d'une autre ligne.
Quel effet ont les opérations élémentaires sur l'ensemble des solutions d'un système ?
Elles ne changent pas l'ensemble des solutions.
Que signifie la ligne obtenue après élimination dans un système ?
Le système est incompatible.
Qu'est-ce qu'une matrice de taille m×n ?
Un tableau de nombres avec m lignes et n colonnes.
Qu'est-ce qui caractérise une matrice carrée ?
Elle a autant de lignes que de colonnes.
Quels sont les coefficients diagonaux d'une matrice carrée ?
Ceux situés sur la diagonale principale.
Qu'est-ce qu'une matrice diagonale ?
Une matrice carrée avec tous les coefficients hors diagonale nuls.
Qu'est-ce que la matrice identité ?
Une matrice diagonale carrée avec tous les coefficients diagonaux égaux à 1.
Qu'est-ce qui caractérise une matrice triangulaire supérieure ?
Ses coefficients sous la diagonale sont nuls.
Qu'est-ce qui caractérise une matrice triangulaire inférieure ?
Ses coefficients au-dessus de la diagonale sont nuls.
Comment se fait l'addition de deux matrices ?
Coefficient par coefficient.
Quelle condition impose l'addition de matrices ?
Les matrices doivent avoir la même taille.
Quelle est la taille du produit AB si A est m×n et B est n×p ?
Le produit AB est de taille m×p.
Quelle est la formule du coefficient du produit AB ?
.
Le produit matriciel est-il commutatif en général ?
Non, il n'est pas commutatif en général.
Comment s'obtient la transposée d'une matrice ?
En échangeant ses lignes et ses colonnes.
Quelles propriétés vérifie le produit matriciel pour des tailles compatibles ?
Il est distributif et associatif.
Quelle relation lie la transposée du produit matriciel à celle des facteurs ?
.
Qu'est-ce que le rang d'une matrice ?
Le nombre de lignes non nulles ou de pivots dans une forme échelonnée.
Quelle inégalité vérifie le rang d'une matrice ?
.
Le rang d'une matrice est-il égal au rang de sa transposée ?
Oui, ils sont égaux.
Que signifie pour un système ?
Le système n'a aucune solution.
Que signifie pour un système ?
Le système possède une solution unique.
Qu'est-ce que le déterminant d'une matrice carrée ?
Un nombre défini récursivement par les mineurs et les signes alternés.
Quelle est la formule du déterminant d'une matrice 2×2 ?
\text{det}\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}=ad-bc.
Que fait l'échange de deux lignes au déterminant ?
Il change le signe du déterminant.
Quel effet a multiplier une ligne par d sur le déterminant ?
Le déterminant est multiplié par d.
Que fait ajouter un multiple d'une ligne à une autre au déterminant ?
Le déterminant reste inchangé.
Comment calcule-t-on le déterminant d'une matrice triangulaire ?
C'est le produit des coefficients diagonaux.
Quelle est la valeur du déterminant de la matrice identité ?
.
Quelle est la formule pour si A est carrée de taille n ?
.
Que signifie pour un système linéaire ?
Le système a une infinité de solutions avec paramètres.
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1. Dans un système linéaire de équations à inconnues, quelle structure décrit correctement chaque équation ?
2. Quelle matrice rassemble les coefficients des inconnues d’un système linéaire de équations à inconnues ?
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