QCM : Analyse vectorielle et algèbre linéaire — 29 questions

Explication

Chaque équation est une combinaison linéaire des inconnues, égale à une valeur du second membre. La présence de produits d’inconnues ou de puissances supérieures ne correspond pas à la définition d’un système linéaire.

Explication

La matrice des coefficients contient les nombres $a_{ij}$ associés aux inconnues et possède $m$ lignes et $n$ colonnes. La matrice augmentée y ajoute la colonne du second membre.

Explication

La matrice augmentée est formée en plaçant la colonne du second membre à droite de la matrice des coefficients. Elle conserve donc les coefficients et ajoute les termes constants.

Explication

Un système homogène a une colonne de second membre nulle, tandis qu’un système compatible admet au moins une solution et qu’un système incompatible n’en admet aucune. Ces trois propriétés décrivent des catégories distinctes, qui peuvent toutefois se recouper.

Explication

Le vecteur nul annule toutes les combinaisons linéaires des inconnues lorsque le second membre est nul. La matrice des coefficients n’a pas besoin d’être inversible, et le système peut avoir une solution unique.

Explication

Le système homogène associé garde exactement les mêmes coefficients et remplace chaque terme du second membre par zéro. Modifier aussi la matrice des coefficients produirait un autre système.

Explication

Toute solution s’obtient en ajoutant à une solution particulière une solution du système homogène associé. La soustraction ou le produit ne constituent pas la forme générale prévue par cette propriété.

Explication

La stabilité par addition et par multiplication scalaire fait de l’ensemble des solutions homogènes un espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$. L’ensemble des solutions d’un système général non homogène ne possède pas nécessairement cette structure.

Explication

Dans une matrice échelonnée, les premiers coefficients non nuls se déplacent strictement vers la droite lorsqu’on descend dans les lignes. Cette progression distingue une matrice échelonnée d’une matrice quelconque.

Explication

Le premier coefficient non nul de chaque ligne d’une matrice échelonnée est appelé pivot. Une variable libre correspond plutôt à une colonne sans pivot dans un système échelonné.

Explication

Une colonne sans pivot laisse la valeur de l’inconnue comme paramètre libre dans la description des solutions. Une colonne pivot correspond au contraire à une inconnue déterminée par les équations.

Explication

La relation $0=\beta$ avec $\beta\ne0$ est impossible, ce qui rend le système incompatible. La présence de variables libres ne peut pas réparer cette contradiction.

Explication

Le pivot de Gauss transforme progressivement le système en forme échelonnée avant de déterminer les inconnues par remontée. La diagonalisation n’est pas l’objectif général de cette méthode.

Explication

Les opérations élémentaires comprennent la multiplication d’une ligne par un réel non nul. Une multiplication par zéro détruirait l’information portée par cette ligne.

Explication

Une opération élémentaire appliquée au système ou à sa matrice augmentée conserve l’ensemble des solutions et produit donc un système équivalent. Elle ne garantit pas que la matrice devienne inversible.

Explication

Dans une matrice de taille $m\times n$, le premier nombre indique le nombre de lignes et le second celui des colonnes. Le produit $m\times n$ correspond plutôt au nombre total de coefficients.

Explication

La matrice identité $I_n$ est carrée et diagonale, avec un coefficient égal à 1 sur chaque position de la diagonale principale. Les coefficients hors diagonale sont nuls.

Explication

L’addition matricielle se fait coefficient par coefficient et exige donc que les deux matrices aient la même taille. La compatibilité entre colonnes et lignes concerne le produit matriciel.

Explication

Les colonnes de $A$ correspondent aux lignes de $B$, donc le produit existe et conserve les dimensions extérieures $m\times p$. La compatibilité ne demande pas que les deux matrices aient la même taille.

Explication

Le produit matriciel n’est pas commutatif en général, même lorsque $AB$ et $BA$ existent tous deux. Le fait que les matrices soient carrées ou réelles ne suffit pas à rendre ces produits égaux.

Explication

La transposée s’obtient en échangeant les lignes et les colonnes de la matrice. Cette opération ne consiste ni à changer les signes ni à modifier spécifiquement la diagonale.

Explication

Le rang correspond au nombre de pivots, ce qui équivaut au nombre de lignes non nulles dans une forme échelonnée. Compter toutes les lignes donnerait une valeur incorrecte lorsque certaines lignes deviennent nulles.

Explication

Le rang ne dépasse pas la plus petite dimension de la matrice et la transposition conserve ce rang. Le produit $mn$ compte les coefficients, pas les pivots indépendants.

Explication

Un rang augmenté strictement supérieur au rang de la matrice des coefficients signale une incompatibilité entre les équations. Une solution unique exige au contraire l’égalité des deux rangs et un rang égal au nombre d’inconnues.

Explication

L’égalité des deux rangs assure la compatibilité, et leur valeur égale à $n$ élimine les paramètres libres. Lorsque le rang commun est inférieur à $n$, le système admet plutôt une infinité de solutions.

Explication

Le déterminant est défini pour une matrice carrée et se construit récursivement à partir des mineurs et des signes alternés. Le rang, en revanche, peut être étudié pour des matrices rectangulaires.

Explication

Pour une matrice carrée d’ordre deux, on multiplie les éléments de la diagonale principale puis on soustrait le produit de l’autre diagonale. La somme des deux produits ne respecte pas la règle des signes alternés.

Explication

L’ajout à une ligne d’un multiple d’une autre ligne conserve la valeur du déterminant. Une multiplication d’une ligne par un facteur modifierait, elle, le déterminant dans la même proportion.

Explication

Pour une matrice triangulaire ou diagonale, le déterminant est le produit des éléments de la diagonale principale. Cette règle donne notamment $\det(I_n)=1$, puisque chaque élément diagonal de l’identité vaut $1$.