Fiche de révision : ANOVA et introduction à l’ANCOVA

📋 Plan du Cours

1. Principes et conditions de l’ANOVA
2. Vérification des résidus
3. Violations et robustesse
4. Comparaisons post hoc
5. ANOVA multifactorielle et plans
6. Interactions entre facteurs
7. Modèles et tables d’ANOVA
8. Objectifs et hypothèses de l’ANCOVA
9. Interprétation de l’ANCOVA

📖 1. Principes et conditions de l’ANOVA

★ À maîtriser

📌 La variance totale du jeu de données se décompose en une variance intergroupe, expliquée par le facteur, et une variance intragroupe, correspondant au bruit résiduel.

📐 Formule — La variable du test d’ANOVA est le rapport entre la variance intergroupe et la variance intragroupe, soit $F=\frac{CM_{\text{intergroupe}}}{CM_{\text{intragroupe}}}$.

📌 Les conditions d’application doivent être vérifiées avant d’interpréter les résultats, car les carrés moyens doivent estimer correctement les quantités étudiées.

Compléments

📌 Les conditions d’application portent sur les résidus issus de l’analyse et non directement sur les données brutes.

💡 Astuce mémo

Intergroupe = facteur expliqué, intragroupe = bruit résiduel

📖 2. Vérification des résidus

★ À maîtriser

📌 Les résidus doivent suivre approximativement une loi normale, avoir des variances égales entre traitements et être indépendants les uns des autres.

• 🔄 La normalité des résidus s’évalue successivement par:
  1. un histogramme
  2. un Q-Q plot
  3. un test statistique

Compléments

• Une indépendance des résidus signifie que la survenue d’une observation n’influence pas la survenue d’une autre et ne fournit aucune information à son sujet.

📌 Dans le test de Shapiro-Wilk, l’hypothèse nulle est que les résidus suivent une loi normale et l’hypothèse alternative est qu’ils ne la suivent pas.

💡 Astuce mémo

Histogramme → Q-Q plot → test statistique

📖 3. Violations et robustesse

📝 Points essentiels

📌 L’homoscédasticité se vérifie graphiquement en contrôlant que l’étalement des résidus est similaire dans tous les groupes, ou avec le test de Bartlett.

• En cas de violation des conditions, on peut transformer les données par logarithme ou racine carrée, retirer une valeur extrême seulement si elle est aberrante et que cette décision est justifiée, ou utiliser le test non paramétrique de Kruskal-Wallis.

• La robustesse de l’ANOVA aux violations est élevée pour la normalité si l’effectif est grand, élevée pour l’homoscédasticité sauf avec un petit effectif, et basse pour l’indépendance.

💡 Astuce mémo

Violation des conditions → transformation, exclusion justifiée ou Kruskal-Wallis

📖 4. Comparaisons post hoc

★ À maîtriser

• Un test post hoc est réalisé après le rejet de l’hypothèse nulle globale afin d’identifier les moyennes des modalités qui diffèrent entre elles.

📌 Réaliser directement plusieurs tests de Student augmente la probabilité globale de conclure à tort à une différence significative.

📐 Formule — La correction de Bonferroni remplace le seuil de significativité par $\alpha_{corrigé}=\frac{\alpha}{k}$ ; pour trois comparaisons à 5 %, le seuil vaut 0,015.

Compléments

• Pour k comparaisons, la probabilité d’accepter l’hypothèse nulle pour toutes les comparaisons est $(1-\alpha)^k$.

💡 Astuce mémo

ANOVA significative → comparaisons multiples corrigées

📖 5. ANOVA multifactorielle et plans

★ À maîtriser

📌 Une ANOVA utilise une variable réponse quantitative et une ou plusieurs variables explicatives qualitatives appelées facteurs.

📐 Formule — Avec plusieurs facteurs, la décomposition générale reste $SCE_{Tot}=SCE_{expliqué}+SCE_{résiduel}$.

📌 La structure des données dépend du plan d’échantillonnage ou d’expérience et conditionne le type d’analyse possible.

Compléments

• Dans l’exemple de plan factoriel complet température-salinité, il y a 4 traitements de température, 4 traitements de salinité, 16 combinaisons et 6 réplicats par combinaison, soit 96 unités expérimentales.

💡 Astuce mémo

Facteurs croisés avec réplication, facteurs additifs sans réplication

📖 6. Interactions entre facteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Interaction : Lorsque l’effet d’un facteur sur la variable réponse varie selon l’état d’un autre facteur

📝 Points essentiels

• L’interaction entre deux facteurs ne peut être étudiée que si des réplicats existent pour chaque couple de modalités des facteurs croisés.

• Sans interaction, les effets des facteurs sont additifs et l’effet d’un facteur reste identique quel que soit le niveau de l’autre facteur.

• En présence d’une interaction significative, interpréter l’effet principal d’un facteur seul n’a pas d’intérêt sans tenir compte de l’état de l’autre facteur.

💡 Astuce mémo

Effet d’un facteur dépendant de l’autre → interaction

📖 7. Modèles et tables d’ANOVA

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un modèle interactif à deux facteurs, la somme des carrés se répartit selon $SCE_{Tot}=SCE_A+SCE_B+SCE_{AB}+SCE_{Résiduel}$.

• Dans un modèle interactif à deux facteurs, trois rapports F sont testés : celui de l’effet de A, celui de l’effet de B et celui de l’interaction A×B.

📐 Formule — Dans un modèle additif à deux facteurs, la somme des carrés se répartit selon $SCT=SCE_A+SCE_B+SCE_R$.

Compléments

📌 Dans une ANOVA à trois facteurs croisés, les interactions à trois facteurs sont presque toujours évitées parce qu’elles sont difficiles à interpréter.

💡 Astuce mémo

Modèle interactif : A+B+AB ; modèle additif : A+B

📖 8. Objectifs et hypothèses de l’ANCOVA

📝 Points essentiels

📌 L’ANCOVA combine l’ANOVA, qui compare des groupes définis par un facteur qualitatif, et la régression, qui relie une réponse quantitative à une covariable quantitative.

• L’ANCOVA a deux usages : contrôler une covariable quantitative de nuisance ou comparer les pentes de régression entre les niveaux d’un facteur.

📌 Pour contrôler une covariable, la pente de la relation entre la réponse Y et la covariable X doit être la même dans tous les groupes ; l’interaction X×facteur ne doit donc pas être significative.

📌 L’ANCOVA suppose les conditions classiques de l’ANOVA, une relation linéaire entre X et Y et l’absence de colinéarité entre la covariable continue et le facteur.

💡 Astuce mémo

Covariable contrôlée ≠ comparaison de pentes

📖 9. Interprétation de l’ANCOVA

📝 Points essentiels

• Pour contrôler une covariable, on ajuste les données par régression puis on compare les moyennes ajustées entre les niveaux du facteur.

• Dans l’exemple de longévité des mâles, l’ajout de la longueur du thorax comme covariable fait passer la p-valeur de l’effet de la reproduction de 0,0692, non significative, à 0,0082, significative.

📌 Une covariable pertinente peut réduire le bruit résiduel et augmenter la puissance du test de l’effet du facteur.

📌 Pour comparer les pentes de régression, une interaction facteur×covariable significative indique que la relation entre Y et X diffère selon les groupes.

💡 Astuce mémo

Covariable pertinente → bruit réduit → puissance accrue

📊 Tableaux de synthèse

Modèles multifactoriels