Fiche de révision : Applications et fonctions réelles

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire et composition des applications
2. Propriétés et transformations des fonctions
3. Tangente et fonctions hyperboliques
4. Images et bijections réciproques
5. Fonctions trigonométriques réciproques
6. Bornes et extrema dans les réels
7. Fonctions puissances et exponentielles

📖 1. Vocabulaire et composition des applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : Une application de E dans F associe à chaque élément x de E un unique élément f(x) de F, appelé image de x ; E est l’ensemble de départ et F l’ensemble d’arrivée.
• Antécédent : Si y = f(x), alors x est un antécédent de y par f.
• Composition : Pour f : E → F et g : F → G, la composée g ◦ f : E → G est définie par $(g \circ f)(x)=g(f(x))$ pour tout x ∈ E.
• Restriction : La restriction de f : E → F à D ⊂ E est l’application f|D : D → F définie par f|D(x) = f(x) pour tout x ∈ D ; f est alors un prolongement de cette restriction.

📝 Points essentiels

• En général, la composition n’est pas commutative : pour f(x) = e^x et g(x) = sin(x), g ◦ f(x) = sin(e^x) tandis que f ◦ g(x) = e^{sin(x)}.

• L’application identité de E, notée idE ou IdE, associe à chaque x ∈ E l’élément x.

📌 Pour une fonction composée g ◦ f, son domaine comprend les x tels que f(x) existe et appartient au domaine de g.

💡 Astuce mémo

L’application f associe ; f(x) est l’image obtenue.

📖 2. Propriétés et transformations des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction périodique : Une fonction f définie sur D est périodique de période T > 0 si, pour tout x ∈ D, x + T ∈ D et f(x + T) = f(x).

★ À maîtriser

• Sur un domaine symétrique par rapport à 0, f est paire si f(−x) = f(x), et impaire si f(−x) = −f(x).

• Une fonction est croissante si x ≤ y implique f(x) ≤ f(y), strictement croissante si x < y implique f(x) < f(y), et les définitions décroissantes s’obtiennent en inversant les inégalités sur les images.

• La composée de deux fonctions monotones est croissante si les deux fonctions ont le même sens de variation et décroissante si elles ont des sens opposés.

Compléments

• Les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques, et t ↦ cos(ωt + φ) est 2π/ω-périodique pour ω > 0.

• La courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, tandis que celle d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

• La courbe de −f(x) est le reflet de celle de f(x) par rapport à l’axe des abscisses, et celle de f(−x) est son reflet par rapport à l’axe des ordonnées.

• La courbe de f(x) + λ est translatée verticalement de λ⃗ȷ, tandis que celle de f(x + μ) est translatée horizontalement de −μ⃗ı.

📖 3. Tangente et fonctions hyperboliques

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente : La fonction tangente est définie sur ℝ \ {π/2 + kπ, k ∈ ℤ} par $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.
• Cosinus hyperbolique : Le cosinus hyperbolique est défini sur ℝ par $\operatorname{ch}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$.
• Sinus hyperbolique : Le sinus hyperbolique est défini sur ℝ par $\operatorname{sh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$.
• Tangente hyperbolique : La tangente hyperbolique est définie sur ℝ par $\operatorname{th}(x)=\frac{\operatorname{sh}(x)}{\operatorname{ch}(x)}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$ ; elle est impaire, strictement croissante, et ses limites en −∞ et +∞ sont −1 et 1.

★ À maîtriser

• La tangente est impaire, π-périodique, continue et dérivable sur son domaine, et $\tan'(x)=1+\tan^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}$.

Compléments

• Pour tout k ∈ ℤ, tan est strictement croissante sur ]−π/2 + kπ, π/2 + kπ[ et tend respectivement vers −∞ et +∞ aux deux extrémités.

• Les dérivées vérifient ch′(x) = sh(x) et sh′(x) = ch(x) pour tout réel x.

• Pour tout réel x, ch(x) + sh(x) = e^x, ch(x) − sh(x) = e^(−x) et ch²(x) − sh²(x) = 1.

📖 4. Images et bijections réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Image directe : Pour f : E → F et A ⊂ E, l’image directe f(A) est l’ensemble des images des éléments de A, soit $f(A)=\{f(x),\ x\in A\}$.
• Injection : Une application est injective si tout élément de son ensemble d’arrivée admet au plus un antécédent, ce qui équivaut à f(x) = f(x′) ⇒ x = x′.
• Surjection : Une application f : E → F est surjective lorsque f(E) = F, c’est-à-dire lorsque tout élément de F admet au moins un antécédent dans E.
• Bijection : Une application est bijective si elle est à la fois injective et surjective, autrement dit si chaque élément de son ensemble d’arrivée admet exactement un antécédent.
• Application réciproque : Si f : E → F est bijective, sa réciproque f⁻¹ : F → E associe à chaque y ∈ F son unique antécédent par f.

📝 Points essentiels

• Pour une bijection f : E → F, on a f⁻¹ ◦ f = IdE et f ◦ f⁻¹ = IdF.

• Si f : E → F et g : F → G sont bijectives, alors g ◦ f est bijective et sa réciproque est f⁻¹ ◦ g⁻¹.

• Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I réalise une bijection de I sur son image f(I).

💡 Astuce mémo

Injective : au plus un antécédent ; surjective : au moins un.

📖 5. Fonctions trigonométriques réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Arc cosinus : La fonction cosinus restreinte à [0, π] est une bijection sur [−1, 1] ; sa réciproque arccos : [−1, 1] → [0, π] vérifie cos(arccos(x)) = x.
• Arc sinus : La fonction sinus restreinte à [−π/2, π/2] est une bijection sur [−1, 1] ; sa réciproque arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2] vérifie sin(arcsin(x)) = x.
• Arc tangente : La tangente restreinte à ]−π/2, π/2[ est une bijection sur ℝ ; sa réciproque arctan : ℝ → ]−π/2, π/2[ vérifie tan(arctan(x)) = x.

★ À maîtriser

• arccos est continue et strictement décroissante sur [−1, 1], et $\operatorname{arccos}'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ pour −1 < x < 1.

Compléments

• arcsin est continue, strictement croissante et impaire sur [−1, 1], et $\operatorname{arcsin}'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ pour −1 < x < 1.

• arctan est dérivable, strictement croissante et impaire sur ℝ, et $\operatorname{arctan}'(x)=\frac{1}{1+x^2}$.

📖 6. Bornes et extrema dans les réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Majorant : Un réel M est un majorant d’un ensemble E ⊂ ℝ si tout x ∈ E vérifie x ≤ M.
• Minorant : Un réel m est un minorant d’un ensemble E ⊂ ℝ si tout x ∈ E vérifie x ≥ m.
• Maximum : Le maximum de E est un élément de E qui majore E.
• Minimum : Le minimum de E est un élément de E qui minore E.
• Borne supérieure : La borne supérieure de E est son plus petit majorant, lorsqu’elle existe ; toute partie non vide et majorée de ℝ possède une borne supérieure.
• Ensemble borné : Une partie de ℝ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée ; cela équivaut à l’existence d’un K ≥ 0 tel que |x| ≤ K pour tout élément x de la partie.
• Borne inférieure : La borne inférieure de E est son plus grand minorant, lorsqu’elle existe ; toute partie non vide et minorée de ℝ possède une borne inférieure.

📝 Points essentiels

📌 Si E admet un maximum, alors sup(E) = max(E), mais l’existence du supremum ne garantit pas celle d’un maximum ; par exemple, sup([2, 7[) = 7 sans maximum.

💡 Astuce mémo

Le supremum peut ne pas être atteint : [2,7[ a pour supremum 7, sans maximum.

📖 7. Fonctions puissances et exponentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction puissance : Pour p ∈ ℝ et x > 0, la puissance réelle est définie par $x^p=e^{p\ln(x)}$.
• Exponentielle de base a : Pour a > 0, l’exponentielle de base a est définie sur ℝ par $a^x=e^{x\ln(a)}$.
• Logarithme de base a : Pour a > 0 et a ≠ 1, le logarithme de base a est défini sur ℝ⁺* par $\log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}$ et constitue la réciproque de x ↦ a^x.

★ À maîtriser

• Pour p ∈ ℝ, la fonction puissance x ↦ x^p est continue et dérivable sur ℝ⁺*, avec $\frac{d}{dx}x^p=px^{p-1}$.

📌 Si p > 0, x ↦ x^p est strictement croissante et ses limites en 0⁺ et +∞ sont 0 et +∞ ; si p < 0, elle est strictement décroissante et ces limites sont +∞ et 0.

📌 Si a > 1, x ↦ a^x est strictement croissante avec limites 0 en −∞ et +∞ en +∞ ; si 0 < a < 1, elle est strictement décroissante avec limites +∞ en −∞ et 0 en +∞.

Compléments

• Pour p ≠ 0, la fonction x ↦ x^p est une bijection de ℝ⁺* sur ℝ⁺* dont la réciproque est la fonction puissance d’exposant 1/p.

• Pour x > 0 et p, q ∈ ℝ, on a x^p x^q = x^{p+q}, x^p/x^q = x^{p−q}, (x^p)^q = x^{pq} et ln(x^p) = p ln(x).

• La dérivée de l’exponentielle de base a vérifie $(a^x)'=\ln(a)a^x$.

💡 Astuce mémo

Base a : croissance si a > 1, décroissance si 0 < a < 1.