Fiche de révision : Polynômes et leurs racines

📋 Plan du Cours

1. Définition et écriture des polynômes
2. Degré et opérations polynomiales
3. Divisibilité et division euclidienne
4. Racines et factorisation
5. Dérivation et formule de Taylor
6. Multiplicité et dérivées
7. Comportement des graphes polynomiaux

📖 1. Définition et écriture des polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme : Une fonction polynôme à coefficients dans K, où K vaut R ou C, s'écrit $P(x)=\sum_{i=0}^{n}a_i x^i$ avec des coefficients dans K.
• Monôme : Un monôme est une fonction polynôme de la forme $P(x)=a_kx^k$.
• Polynôme nul : Le polynôme nul est la fonction de K dans K qui associe 0 à tout élément de K.

★ À maîtriser

• L'écriture d'un polynôme est unique : deux polynômes égaux en tout point ont le même degré et les mêmes coefficients.

Compléments

• Le polynôme nul est caractérisé par la nullité de tous ses coefficients.

• Pour tout entier naturel i, le monôme X^i est la fonction qui associe x^i à x, avec X^0 égal à la fonction constante 1, et l'ensemble des polynômes à coefficients dans K est noté K[X].

📖 2. Degré et opérations polynomiales

🔑 Notions clés & Définitions

• Degré : Si $P=\sum_{i=0}^{n}a_iX^i$ avec $a_n\ne0$, le degré de P est n et se note deg(P).
• Coefficient dominant : Le coefficient dominant d'un polynôme non nul est le coefficient de son terme de plus haut degré.
• Valuation : La valuation d'un polynôme non nul est le plus petit entier k dont le coefficient est non nul.

★ À maîtriser

📌 Pour deux polynômes P et Q, $\deg(P+Q)\leq\max(\deg(P),\deg(Q))$, avec égalité lorsque leurs degrés sont différents.

📐 Formule - Pour deux polynômes non nuls P et Q, $\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)$.

Compléments

• Par convention, le degré du polynôme nul vaut $-\infty$.

• La somme, le produit et la composée de deux polynômes sont des polynômes.

📌 Le produit de deux polynômes est nul si et seulement si l'un au moins des deux polynômes est nul.

📖 3. Divisibilité et division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Un polynôme A est divisible par un polynôme B s'il existe un polynôme Q tel que $A=BQ$.

★ À maîtriser

• La division euclidienne de A par un polynôme non nul B fournit un unique couple (Q,R) tel que $A=BQ+R$ et $\deg(R)<\deg(B)$.

📌 Un polynôme A est divisible par un polynôme non nul B si et seulement si le reste de la division euclidienne de A par B est nul.

Compléments

📌 Si A et B sont non nuls et si B divise A, alors $\deg(A)=\deg(B)+\deg(Q)$ pour le quotient Q, donc $\deg(B)\leq\deg(A)$.

• La division de $X^5-2X^3+X^2+X-1$ par $X^2+2$ donne le quotient $X^3-4X+1$ et le reste $9X-3$.

📖 4. Racines et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine : Un élément α de K est une racine de P si et seulement si $P(\alpha)=0$.

★ À maîtriser

📌 Un élément α est une racine de P si et seulement si P est divisible par $X-\alpha$.

📌 Si un polynôme non nul de degré n possède k racines distinctes, alors $k\leq n$.

• Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine dans C, selon le théorème de d'Alembert-Gauss.

• Un polynôme complexe de degré n admet exactement n racines dans C, comptées avec leurs ordres de multiplicité, et se factorise comme son coefficient dominant multiplié par les facteurs $X-\alpha_k$ associés à ces racines.

Compléments

• Tout polynôme non nul de degré au plus n qui s'annule en n+1 points distincts est le polynôme nul.

📌 Pour un polynôme à coefficients réels, toute racine complexe non réelle α d'ordre m a pour conjuguée une racine d'ordre m.

• Tout polynôme réel de degré au moins 1 se factorise sur R en facteurs linéaires associés à ses racines réelles et en facteurs quadratiques sans racine réelle.

📖 5. Dérivation et formule de Taylor

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme dérivé : Si $P=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$, son polynôme dérivé est $P'=\sum_{k=1}^{n}ka_kX^{k-1}$.

★ À maîtriser

📌 Pour un polynôme de degré au moins 1, le degré de sa dérivée est inférieur d'une unité à son degré.

📐 Formule - Pour deg(P)≤n et a∈K, la formule de Taylor polynomiale est $P=\sum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k$.

Compléments

• Si deg(P)≤n, alors la dérivée d'ordre n+1 de P est nulle, ainsi que toutes les dérivées suivantes.

• Pour a=0, la formule de Taylor exprime P comme $P=\sum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(0)}{k!}X^k$.

📖 6. Multiplicité et dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• Ordre de multiplicité : α est racine de P d'ordre m si P est divisible par $(X-\alpha)^m$ et ne l'est pas par $(X-\alpha)^{m+1}$, ce qui équivaut à écrire $P=(X-\alpha)^mQ$ avec $Q(\alpha)\ne0$.

★ À maîtriser

📌 α est racine de P d'ordre au moins m si et seulement si $P(\alpha)=P'(\alpha)=\cdots=P^{(m-1)}(\alpha)=0$.

📌 α est racine de P d'ordre exactement m si et seulement si $P(\alpha)=\cdots=P^{(m-1)}(\alpha)=0$ et $P^{(m)}(\alpha)\ne0$.

Compléments

• Par convention, α est une racine d'ordre 0 de P lorsque $P(\alpha)\ne0$.

📌 Une racine simple, double ou triple est une racine d'ordre respectif 1, 2 ou 3.

📌 α est racine de P d'ordre au moins m si et seulement si P est divisible par $(X-\alpha)^m$.

📖 7. Comportement des graphes polynomiaux

★ À maîtriser

• Aux voisinages de +∞ et de −∞, un polynôme réel a le même comportement que son terme de plus haut degré.

• En une racine réelle α d'ordre m, la courbe du polynôme est tangente à l'axe des abscisses si et seulement si m≥2.

• Un polynôme réel change de signe en une racine α si et seulement si l'ordre de α est impair.

Compléments

• La tangente à la courbe d'un polynôme réel en x=0 a pour équation $y=a_0+a_1x$.

📌 Au voisinage de 0, un polynôme réel a le même signe que son terme de plus petit degré non nul.

💡 Astuce mémo

Racine de multiplicité paire : pas de changement de signe ; multiplicité impaire : changement de signe.