QCM : Polynômes et leurs racines (21 questions)

Question 1

1. Quelle forme générale peut prendre une fonction polynôme à coefficients dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ?

P(x)=\sum_{i=1}^{n}a_i x^i

, avec chaque coefficient

a_i

dans le corps considéré

P(x)=\sum_{i=0}^{n}a_i x^{n+i}

, avec chaque coefficient

a_i

dans le corps considéré

P(x)=\prod_{i=0}^{n}(x+a_i)

, avec chaque coefficient

a_i

dans le corps considéré

P(x)=\sum_{i=0}^{n}a_i x^i

, avec chaque coefficient

a_i

dans le corps considéré

Explication

Une fonction polynôme s’écrit comme une somme finie de puissances de la variable, dont les coefficients appartiennent à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ . Une somme commençant à $i=1$ omet le terme constant et ne décrit pas la forme générale.

Answer

$$P(x)=\sum_{i=0}^{n}a_i x^i$$, avec chaque coefficient $$a_i$$ dans le corps considéré

Question 2

2. Si deux polynômes prennent la même valeur pour chaque élément de leur domaine, que peut-on conclure sur leurs écritures ?

Ils ont le même degré, mais leurs coefficients peuvent différer.

Ils peuvent avoir des degrés et des coefficients différents.

Ils ont les mêmes coefficients, mais leurs degrés peuvent différer.

Ils ont le même degré et les mêmes coefficients.

Explication

L’écriture d’un polynôme est unique : l’égalité en tout point implique l’égalité du degré et des coefficients. La possibilité d’avoir les mêmes degrés mais des coefficients différents confond égalité de degré et égalité des polynômes.

Answer

Ils ont le même degré et les mêmes coefficients.

Question 3

3. Quel est le degré de $P=\sum_{i=0}^{n}a_iX^i$ lorsque $a_n\ne0$ ?

Le plus petit indice dont le coefficient est non nul.

La somme de tous les exposants associés aux coefficients non nuls.

Le nombre de coefficients non nuls dans l’écriture de

P

.

L’entier

n

, qui est l’exposant du terme de plus haut degré à coefficient non nul.

Explication

Le degré est l’exposant du terme de plus haut degré dont le coefficient est non nul; ici, c’est $n$ . Le plus petit indice non nul décrit plutôt la valuation, pas le degré.

Answer

L’entier $$n$$, qui est l’exposant du terme de plus haut degré à coefficient non nul.

Question 4

4. Deux polynômes $P$ et $Q$ ont des degrés différents. Quelle relation vérifie le degré de leur somme ?

\deg(P+Q)=\deg(P)+\deg(Q)

\deg(P+Q)=\min(\deg(P),\deg(Q))

\deg(P+Q)=\max(\deg(P),\deg(Q))

\deg(P+Q)=\deg(P)\deg(Q)

Explication

Lorsque les degrés de deux polynômes sont différents, le terme de plus haut degré ne peut pas être annulé par addition, donc le degré de la somme est le plus grand des deux. La somme des degrés est une règle applicable au produit de polynômes non nuls, pas à leur somme.

Answer

$$\deg(P+Q)=\max(\deg(P),\deg(Q))$$

Question 5

5. Si $P$ et $Q$ sont deux polynômes non nuls de degrés 4 et 3, quel est le degré de leur produit ?

4

3

12

7

Explication

Le degré d’un produit de deux polynômes non nuls est la somme de leurs degrés, soit $4+3=7$ . Le produit des degrés donnerait 12, mais ce n’est pas la règle pour le degré d’un produit.

Answer

Il existe un polynôme $$Q$$ tel que $$A=BQ$$.

Answer

Il existe un unique couple $$(Q,R)$$ tel que $$A=BQ+R$$ et $$\deg(R)<\deg(B)$$.

Answer

Le reste de la division est le polynôme nul.

Answer

La valeur de P en α est nulle.

Answer

Elle équivaut au fait que P(α)=0.

Answer

Leur nombre respecte la borne donnée par le degré.

Answer

Il possède n racines comptées avec multiplicité et se factorise à partir de leurs facteurs linéaires.

Answer

$$P'=\sum_{k=1}^{n}ka_kX^{k-1}$$

Answer

$$P=\sum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k$$

Answer

P s’écrit $$(X-\alpha)^mQ$$ avec $$Q(\alpha)\ne0$$.

Answer

Les dérivées d’ordre 0 à m−1 de P s’annulent en α.

Answer

P(α),…,P^(m−1)(α) sont nuls et P^(m)(α) est non nul.

Answer

Son terme de plus haut degré

Answer

Elle est tangente à l’axe des abscisses

Answer

Il est impair

Question 6

6. Que signifie qu’un polynôme $A$ est divisible par un polynôme $B$ ?

Il existe un polynôme

Q

tel que

B=AQ

.

Les degrés de

A

et de

B

sont égaux.

Il existe un polynôme

Q

tel que

A=BQ

.

Il existe un polynôme

R

de degré inférieur à celui de

B

tel que

A=BR

.

Explication

La divisibilité signifie que $A$ peut s’écrire comme le produit de $B$ par un polynôme quotient $Q$ . L’égalité $B=AQ$ exprime plutôt que $A$ divise $B$ .

Question 7

7. Dans la division euclidienne d’un polynôme $A$ par un polynôme non nul $B$ , quelles conditions caractérisent le quotient et le reste ?

Il existe un unique couple

(Q,R)

tel que

A=BQ-R

et

\deg(R)<\deg(B)

.

Il existe un unique couple

(Q,R)

tel que

A=BQ+R

et

\deg(R)<\deg(B)

.

Il existe un couple

(Q,R)

tel que

A=BQ+R

et

\deg(R)>\deg(B)

.

Il existe un unique couple

(Q,R)

tel que

A=BQ+R

et

\deg(Q)<\deg(B)

.

Explication

La division euclidienne fournit un unique quotient et un unique reste vérifiant $A=BQ+R$ , avec un reste de degré inférieur à celui du diviseur. La condition de degré porte sur le reste, et non sur le quotient.

Question 8

8. Lors de la division euclidienne de $A$ par un polynôme non nul $B$ , quel résultat permet de conclure que $B$ divise $A$ ?

Le degré du quotient est inférieur à celui du diviseur.

Le degré du reste est égal à celui du diviseur.

Le reste de la division est le polynôme nul.

Le quotient de la division est le polynôme nul.

Explication

Un polynôme $A$ est divisible par $B$ si et seulement si le reste de la division euclidienne est nul. Un quotient nul ne caractérise pas la divisibilité et correspondrait à une situation différente.

Question 9

9. Quelle condition caractérise le fait qu’un élément α de K soit une racine du polynôme P ?

Le degré de P est inférieur à α.

Le coefficient dominant de P est nul.

La dérivée de P en α est nulle.

La valeur de P en α est nulle.

Explication

Un élément α est une racine de P précisément lorsque P(α)=0. L’annulation de la dérivée en α n’est pas nécessaire pour que α soit une racine.

Question 10

10. Comment caractériser la divisibilité d’un polynôme P par X−α ?

Elle équivaut au fait que P'(α)=0.

Elle équivaut au fait que P(α)=0.

Elle signifie que le degré de P est égal à un.

Elle signifie que P(α) est le quotient de la division.

Explication

P est divisible par X−α si et seulement si α est une racine, c’est-à-dire si P(α)=0. La valeur P(α) n’est pas le quotient de cette division ; lorsque le reste est nul, le quotient est un polynôme.

Question 11

11. Un polynôme non nul de degré 5 possède quatre racines distinctes. Que peut-on conclure sur leur nombre ?

Leur nombre prouve que le polynôme est identiquement nul.

Leur nombre dépasse nécessairement le degré du polynôme.

Leur nombre inclut automatiquement toutes les répétitions dues aux multiplicités.

Leur nombre respecte la borne donnée par le degré.

Explication

Le nombre de racines distinctes d’un polynôme non nul de degré 5 ne peut pas dépasser 5 ; quatre racines distinctes respectent donc cette borne. Le comptage des racines avec multiplicité peut inclure des répétitions et ne doit pas être confondu avec le nombre de racines distinctes.

Question 12

12. Pour un polynôme complexe de degré n, quel énoncé décrit ses racines et sa factorisation dans C ?

Il possède une racine réelle et se factorise à partir de facteurs quadratiques réels.

Il possède n racines distinctes et se factorise à partir des facteurs associés à chacune d’elles.

Il possède n racines comptées avec multiplicité et se factorise à partir de leurs facteurs linéaires.

Il possède au plus n racines comptées avec multiplicité et reste parfois irréductible dans C.

Explication

Dans C, un polynôme de degré n possède exactement n racines comptées avec leurs multiplicités et se factorise en son coefficient dominant multiplié par les facteurs X−α associés. Ces racines ne sont pas nécessairement distinctes, contrairement à ce qu’affirme une autre possibilité.

Question 13

13. Si $P=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$ , quelle expression donne son polynôme dérivé ?

P'=\sum_{k=1}^{n}ka_kX^k

P'=\sum_{k=1}^{n}ka_kX^{k-1}

P'=\sum_{k=1}^{n}a_kX^{k-1}

P'=\sum_{k=0}^{n}ka_kX^k

Explication

La dérivation transforme chaque terme a_kX^k en $ka_kX^{k−1}$ , et le terme constant a_0 disparaît. L’expression sans facteur k ne tient pas compte de la dérivée de la puissance X^k.

Question 14

14. Quel est le degré de la dérivée d’un polynôme P de degré 7 ?

7

5

8

6

Explication

Pour un polynôme de degré au moins 1, la dérivée a un degré inférieur d’une unité ; ici son degré est donc 6. La dérivée conserve le degré 7 seulement si l’on confond le polynôme avec sa dérivée.

Question 15

15. Pour un polynôme P de degré au plus n, comment la formule de Taylor en a exprime-t-elle P ?

P=\sum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k

P=\sum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(a)}{k!}X^k

P=\sum_{k=1}^{n}\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k

P=\sum_{k=0}^{n}P^{(k)}(a)(X-a)^k

Explication

La formule de Taylor polynomiale en a utilise les dérivées d’ordre k évaluées en a, divisées par k!, et les puissances de X−a. L’expression en puissances de X correspond au cas particulier où le point de développement est 0.

Question 16

16. Quelle condition caractérise une racine α de P d’ordre exactement m ?

P s’écrit

(X-\alpha)^{m-1}Q

avec

Q(\alpha)\ne0

.

P s’écrit

(X-\alpha)^mQ

avec

Q(\alpha)\ne0

.

P s’écrit

(X-\alpha)^{m+1}Q

avec

Q(\alpha)\ne0

.

P s’écrit

(X-\alpha)^mQ

avec

Q(\alpha)=0

.

Explication

Une racine d’ordre exactement m signifie que (X−α)^m divise P, mais que la multiplicité ne peut pas être augmentée ; dans l’écriture P=(X−α)^mQ, cela impose Q(α)≠0. Si Q(α)=0, un facteur X−α supplémentaire diviserait P.

Question 17

17. Quelle condition sur les dérivées équivaut au fait que α soit une racine de P d’ordre au moins m ?

La dérivée première de P s’annule en α, quelle que soit la valeur de m.

Les dérivées d’ordre 0 à m de P s’annulent en α.

Les dérivées d’ordre 0 à m−1 de P s’annulent en α.

La dérivée d’ordre m de P ne s’annule pas en α.

Explication

Une racine est d’ordre au moins m exactement lorsque P(α), P'(α), jusqu’à P^(m−1)(α) sont nuls. L’annulation supplémentaire de la dérivée d’ordre m n’est pas requise pour un ordre au moins m.

Question 18

18. Pour établir qu’une racine α est d’ordre exactement m, quelle condition complète doit-on vérifier ?

P(α) est non nul et P^(m)(α) est nul.

P(α),…,P^(m−1)(α) sont nuls et P^(m)(α) est non nul.

P(α),…,P^(m)(α) sont tous nuls.

P'(α),…,P^(m)(α) sont non nuls.

Explication

L’ordre exactement m exige l’annulation des dérivées d’ordre inférieur à m, puis la non-annulation de P^(m)(α). Si cette dernière dérivée est nulle, on établit plutôt que l’ordre est au moins m+1.

Question 19

19. Pour prévoir le comportement d’un polynôme réel lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ , quel élément faut-il examiner ?

Son terme de plus petit degré non nul

Son terme de plus haut degré

La multiplicité de sa racine la plus proche de zéro

La valeur de sa tangente au point d’abscisse zéro

Explication

Aux deux extrémités de la droite réelle, le polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré. Le terme de plus petit degré non nul détermine plutôt son signe au voisinage de zéro.

Question 20

20. Un polynôme possède une racine réelle $\alpha$ d’ordre $3$ . Quelle propriété caractérise sa courbe au point d’abscisse $\alpha$ ?

Elle reste du même côté de l’axe des abscisses au voisinage de la racine

Elle coupe l’axe des abscisses avec une tangente non horizontale

Elle est tangente à l’axe des abscisses

Elle présente nécessairement un maximum local

Explication

Comme l’ordre de la racine est supérieur ou égal à deux, la courbe est tangente à l’axe des abscisses en ce point. Une racine d’ordre impair entraîne un changement de signe, contrairement à l’idée qu’elle resterait du même côté de l’axe.

Question 21

21. Au voisinage d’une racine réelle, un polynôme passe d’une valeur négative à une valeur positive. Que peut-on conclure sur l’ordre de cette racine ?

Il est impair

Il est pair et supérieur ou égal à deux

Il est nécessairement égal à un

Il est égal à deux

Explication

Un polynôme change de signe en une racine réelle si et seulement si l’ordre de cette racine est impair. L’ordre deux est pair et ne correspond donc pas à un changement de signe.

QCM : Polynômes et leurs racines (21 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle forme générale peut prendre une fonction polynôme à coefficients dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ?

2. Si deux polynômes prennent la même valeur pour chaque élément de leur domaine, que peut-on conclure sur leurs écritures ?

3. Quel est le degré de $P=\sum_{i=0}^{n}a_iX^i$ lorsque $a_n\ne0$ ?

4. Deux polynômes $P$ et $Q$ ont des degrés différents. Quelle relation vérifie le degré de leur somme ?

5. Si $P$ et $Q$ sont deux polynômes non nuls de degrés 4 et 3, quel est le degré de leur produit ?

6. Que signifie qu’un polynôme $A$ est divisible par un polynôme $B$ ?

7. Dans la division euclidienne d’un polynôme $A$ par un polynôme non nul $B$ , quelles conditions caractérisent le quotient et le reste ?

8. Lors de la division euclidienne de $A$ par un polynôme non nul $B$ , quel résultat permet de conclure que $B$ divise $A$ ?

9. Quelle condition caractérise le fait qu’un élément α de K soit une racine du polynôme P ?

10. Comment caractériser la divisibilité d’un polynôme P par X−α ?

11. Un polynôme non nul de degré 5 possède quatre racines distinctes. Que peut-on conclure sur leur nombre ?

12. Pour un polynôme complexe de degré n, quel énoncé décrit ses racines et sa factorisation dans C ?

13. Si $P=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$ , quelle expression donne son polynôme dérivé ?

14. Quel est le degré de la dérivée d’un polynôme P de degré 7 ?

15. Pour un polynôme P de degré au plus n, comment la formule de Taylor en a exprime-t-elle P ?

16. Quelle condition caractérise une racine α de P d’ordre exactement m ?

17. Quelle condition sur les dérivées équivaut au fait que α soit une racine de P d’ordre au moins m ?

18. Pour établir qu’une racine α est d’ordre exactement m, quelle condition complète doit-on vérifier ?

19. Pour prévoir le comportement d’un polynôme réel lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ , quel élément faut-il examiner ?

20. Un polynôme possède une racine réelle $\alpha$ d’ordre $3$ . Quelle propriété caractérise sa courbe au point d’abscisse $\alpha$ ?

21. Au voisinage d’une racine réelle, un polynôme passe d’une valeur négative à une valeur positive. Que peut-on conclure sur l’ordre de cette racine ?

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QCM : Polynômes et leurs racines (21 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle forme générale peut prendre une fonction polynôme à coefficients dans R\mathbb{R}R ou C\mathbb{C}C ?

2. Si deux polynômes prennent la même valeur pour chaque élément de leur domaine, que peut-on conclure sur leurs écritures ?

3. Quel est le degré de P=∑i=0naiXiP=\sum_{i=0}^{n}a_iX^iP=∑i=0n​ai​Xi lorsque an≠0a_n\ne0an​=0 ?

4. Deux polynômes PPP et QQQ ont des degrés différents. Quelle relation vérifie le degré de leur somme ?

5. Si PPP et QQQ sont deux polynômes non nuls de degrés 4 et 3, quel est le degré de leur produit ?

6. Que signifie qu’un polynôme AAA est divisible par un polynôme BBB ?

7. Dans la division euclidienne d’un polynôme AAA par un polynôme non nul BBB, quelles conditions caractérisent le quotient et le reste ?

8. Lors de la division euclidienne de AAA par un polynôme non nul BBB, quel résultat permet de conclure que BBB divise AAA ?

9. Quelle condition caractérise le fait qu’un élément α de K soit une racine du polynôme P ?

10. Comment caractériser la divisibilité d’un polynôme P par X−α ?

11. Un polynôme non nul de degré 5 possède quatre racines distinctes. Que peut-on conclure sur leur nombre ?

12. Pour un polynôme complexe de degré n, quel énoncé décrit ses racines et sa factorisation dans C ?

13. Si P=∑k=0nakXkP=\sum_{k=0}^{n}a_kX^kP=∑k=0n​ak​Xk, quelle expression donne son polynôme dérivé ?

14. Quel est le degré de la dérivée d’un polynôme P de degré 7 ?

15. Pour un polynôme P de degré au plus n, comment la formule de Taylor en a exprime-t-elle P ?

16. Quelle condition caractérise une racine α de P d’ordre exactement m ?

17. Quelle condition sur les dérivées équivaut au fait que α soit une racine de P d’ordre au moins m ?

18. Pour établir qu’une racine α est d’ordre exactement m, quelle condition complète doit-on vérifier ?

19. Pour prévoir le comportement d’un polynôme réel lorsque xxx tend vers +∞+\infty+∞ ou −∞-\infty−∞, quel élément faut-il examiner ?

20. Un polynôme possède une racine réelle α\alphaα d’ordre 333. Quelle propriété caractérise sa courbe au point d’abscisse α\alphaα ?

21. Au voisinage d’une racine réelle, un polynôme passe d’une valeur négative à une valeur positive. Que peut-on conclure sur l’ordre de cette racine ?

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Crée tes propres QCM

1. Quelle forme générale peut prendre une fonction polynôme à coefficients dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ?

3. Quel est le degré de $P=\sum_{i=0}^{n}a_iX^i$ lorsque $a_n\ne0$ ?

4. Deux polynômes $P$ et $Q$ ont des degrés différents. Quelle relation vérifie le degré de leur somme ?

5. Si $P$ et $Q$ sont deux polynômes non nuls de degrés 4 et 3, quel est le degré de leur produit ?

6. Que signifie qu’un polynôme $A$ est divisible par un polynôme $B$ ?

7. Dans la division euclidienne d’un polynôme $A$ par un polynôme non nul $B$ , quelles conditions caractérisent le quotient et le reste ?

8. Lors de la division euclidienne de $A$ par un polynôme non nul $B$ , quel résultat permet de conclure que $B$ divise $A$ ?

13. Si $P=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$ , quelle expression donne son polynôme dérivé ?

19. Pour prévoir le comportement d’un polynôme réel lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ , quel élément faut-il examiner ?

20. Un polynôme possède une racine réelle $\alpha$ d’ordre $3$ . Quelle propriété caractérise sa courbe au point d’abscisse $\alpha$ ?