Flashcards : Polynômes et leurs racines (46 cartes)

Quelle forme générale définit une fonction polynôme à coefficients dans K ?

Que partagent deux polynômes égaux en tout point ?

Comment définit-on le degré de $P=\sum_{i=0}^{n}a_iX^i$ lorsque $a_n\ne0$ ?

Quelle borne vérifie le degré de la somme de deux polynômes $P$ et $Q$ ?

Quelle formule donne le degré du produit de deux polynômes non nuls $P$ et $Q$ ?

Comment définir la divisibilité de $A$ par $B$ ?

Que garantit la division euclidienne de $A$ par un polynôme non nul $B$ ?

Quand un polynôme non nul $B$ divise-t-il $A$ selon le reste euclidien ?

Quand $\alpha$ est-elle une racine de $P$ ?

Quelle borne relie les racines distinctes au degré d’un polynôme non nul ?

Quel théorème garantit une racine complexe à tout polynôme complexe non constant ?

Combien de racines complexes compte un polynôme de degré $n$, avec multiplicités ?

Comment définit-on le polynôme dérivé de $P=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$ ?

Comment comparer les degrés d’un polynôme et de sa dérivée lorsqu’il est de degré au moins 1 ?

Quelle est la formule de Taylor polynomiale pour $P$ de degré au plus $n$ au point $a\in K$ ?

Que signifie que $\alpha$ est une racine de $P$ d’ordre $m$ ?

Quelles dérivées de $P$ s’annulent en $\alpha$ pour un ordre au moins $m$ ?

Quelle condition sur les dérivées caractérise l’ordre exactement $m$ en $\alpha$ ?

À quels voisinages le terme de plus haut degré détermine-t-il le comportement d’un polynôme réel ?

Quand la courbe d’un polynôme réel est-elle tangente à l’axe des abscisses en une racine réelle $\alpha$ ?

Quelle condition sur l’ordre d’une racine réelle garantit un changement de signe du polynôme ?

Quelle forme caractérise un monôme ?

Quelle valeur le polynôme nul associe-t-il à chaque élément de K ?

Quelle condition caractérise le polynôme nul par ses coefficients ?

Que fait le monôme $X^i$ à un élément $x$ ?

À quelle fonction constante correspond $X^0$ ?

Quelle notation désigne l’ensemble des polynômes à coefficients dans K ?

Comment définit-on le coefficient dominant d’un polynôme non nul ?

Comment définit-on la valuation d’un polynôme non nul ?

Quelle est la convention pour le degré du polynôme nul ?

Quelles opérations sur deux polynômes donnent toujours un polynôme ?

À quelle condition le produit de deux polynômes est-il nul ?

Si $B$ divise $A$, quelle relation relie leurs degrés à celui du quotient $Q$ ?

Si $B$ divise $A$, quelle inégalité vérifient leurs degrés ?

Quel quotient obtient-on en divisant $X^5-2X^3+X^2+X-1$ par $X^2+2$ ?

Quel reste obtient-on en divisant $X^5-2X^3+X^2+X-1$ par $X^2+2$ ?

Que devient un polynôme de degré au plus $n$ s’il s’annule en $n+1$ points distincts ?

Que garantit la conjugaison pour une racine non réelle d’ordre $m$ d’un polynôme réel ?

Comment se factorise sur ℝ un polynôme réel de degré au moins 1 ?

Que vaut la dérivée d’ordre $n+1$ d’un polynôme de degré au plus $n$ ?

Quelle expression de $P$ donne la formule de Taylor au point $0$ ?

Quand $\alpha$ est-elle, par convention, une racine d’ordre 0 de $P$ ?

Quels ordres correspondent aux racines simple, double et triple ?

Quelle divisibilité caractérise une racine de $P$ d’ordre au moins $m$ en $\alpha$ ?

Quelle est l’équation de la tangente en $x=0$ à la courbe d’un polynôme réel ?

Quel terme détermine le signe d’un polynôme réel au voisinage de zéro ?