QCM : Ensembles, applications et cardinalité (11 questions)

Question 1

1. Qu’est-ce qu’un ensemble en mathématiques ?

Une collection d’objets bien déterminés, appelés ses éléments

Une suite ordonnée d’objets dont les positions définissent les éléments

Une propriété permettant de comparer deux objets entre eux

Une règle qui associe un résultat unique à chaque objet donné

Explication

Un ensemble regroupe des objets déterminés, que l’on appelle ses éléments. Une suite ordonnée se distingue d’un ensemble, car l’ordre n’est pas ce qui définit les éléments d’un ensemble.

Answer

Une collection d’objets bien déterminés, appelés ses éléments

Question 2

2. Une liste Python contient les valeurs 4, 7, 4, tandis qu’un ensemble est formé à partir de ces mêmes valeurs : quelle distinction s’applique ?

La liste conserve l’ordre et le doublon, tandis que l’ensemble ne tient compte ni de l’ordre ni des répétitions.

La liste et l’ensemble conservent tous deux l’ordre, mais seul l’ensemble supprime les valeurs répétées.

La liste supprime les répétitions, tandis que l’ensemble distingue les valeurs selon leur position.

La liste ignore l’ordre, tandis que l’ensemble conserve le doublon et la position de chaque valeur.

Explication

Une liste Python conserve l’ordre et les doublons, alors qu’un ensemble ne tient compte ni de l’ordre ni des répétitions. L’idée que l’ensemble conserve les positions correspond au comportement de la liste, et non à celui de l’ensemble.

Answer

La liste conserve l’ordre et le doublon, tandis que l’ensemble ne tient compte ni de l’ordre ni des répétitions.

Question 3

3. Quelle démarche permet de démontrer que deux ensembles A et B sont égaux ?

Démontrer qu'A est inclus dans B, puis que B est inclus dans A.

Démontrer qu'A et B ont au moins un élément commun, puis que chacun est non vide.

Démontrer que chaque élément de A appartient à B, puis trouver un élément de B absent de A.

Démontrer qu'A et B ont le même nombre d’éléments, puis comparer leurs éléments minimaux.

Explication

Pour établir l’égalité de deux ensembles, on prouve les deux inclusions, de A vers B et de B vers A. Avoir un élément commun ne suffit pas à établir que les ensembles contiennent exactement les mêmes éléments.

Answer

Démontrer qu'A est inclus dans B, puis que B est inclus dans A.

Question 4

4. Si un élément appartient à A ou à B, dans quel ensemble appartient-il nécessairement ?

Dans l’union A ∪ B

Dans la différence symétrique de A et B

Dans la différence de A par B

Dans l’intersection A ∩ B

Explication

L’union rassemble les éléments qui appartiennent à A ou à B. L’intersection exige, elle, que l’élément appartienne aux deux ensembles à la fois.

Answer

Dans l’union A ∪ B

Question 5

5. Que désigne l’ensemble des parties $\mathcal{P}(E)$ d’un ensemble $E$ ?

L’ensemble des éléments de

E

qui appartiennent aussi à un autre ensemble

L’ensemble des couples ordonnés formés d’éléments de

E

L’ensemble des parties de

E

ayant exactement deux éléments

L’ensemble de tous les sous-ensembles de

E

Explication

L’ensemble des parties rassemble exactement tous les sous-ensembles de $E$ , y compris l’ensemble vide et $E$ lui-même. Les couples ordonnés relèvent du produit cartésien, et non de l’ensemble des parties.

Answer

L’ensemble de tous les sous-ensembles de $$E$$

Question 6

6. Pour une application composée $g \circ f$ , avec $f : E \to F$ et $g : F \to G$ , quelle expression donne l’image de $x$ ?

f(g(x))

f(x)

g(f(x))

g(x)

Explication

La composition applique d’abord $f$ à $x$ , puis applique $g$ au résultat obtenu. L’expression $f(g(x))$ inverse l’ordre et ne correspond pas à cette composition.

Answer

$$g(f(x))$$

Question 7

7. Quel est le rôle d’une application bijective lorsqu’on définit sa réciproque $f^{-1} : F \to E$ ?

Associer à chaque élément de F son unique antécédent dans E

Associer à chaque élément de E un antécédent choisi dans F

Associer à chaque élément de E son image dans F

Associer à chaque élément de F l’ensemble de ses antécédents dans E

Explication

La bijectivité garantit que chaque élément de F possède exactement un antécédent dans E, ce que la réciproque lui associe. Une application quelconque peut avoir plusieurs antécédents pour un élément, ou aucun, donc ne définit pas ainsi une fonction réciproque.

Answer

Associer à chaque élément de F son unique antécédent dans E

Question 8

8. Quelle différence distingue le dénombrement d’un produit cartésien du dénombrement d’une réunion de deux ensembles finis ?

Pour un produit, on multiplie les cardinaux ; pour une réunion, on additionne les cardinaux puis on retranche celui de l’intersection.

Pour un produit, on additionne les cardinaux ; pour une réunion, on soustrait le cardinal de l’intersection à celui du plus grand ensemble.

Pour un produit, on additionne les cardinaux ; pour une réunion, on les multiplie puis on retranche celui de l’intersection.

Pour un produit, on multiplie les cardinaux puis on retranche celui de l’intersection ; pour une réunion, on les additionne.

Explication

Le dénombrement d’un produit cartésien multiplie les nombres d’éléments des deux ensembles, tandis que la formule de la réunion additionne leurs cardinaux et corrige le double comptage de l’intersection. L’addition simple des cardinaux d’une réunion ne convient que lorsque les ensembles sont disjoints.

Answer

Pour un produit, on multiplie les cardinaux ; pour une réunion, on additionne les cardinaux puis on retranche celui de l’intersection.

Question 9

9. Pourquoi une fonction de hachage qui associe un ensemble immense de fichiers à un ensemble fini d’empreintes produit-elle nécessairement des collisions ?

Parce qu’il y a plus de fichiers que d’empreintes possibles, plusieurs fichiers doivent partager une empreinte.

Parce qu’une empreinte peut contenir plusieurs fichiers, les fichiers se regroupent par taille.

Parce que les empreintes sont ordonnées, des fichiers distincts reçoivent des positions voisines.

Parce que les fichiers sont stockés dans un dictionnaire, leurs clés finissent par devenir identiques.

Explication

Comme l’ensemble des fichiers est immense alors que l’ensemble des empreintes est fini, la fonction ne peut pas attribuer une empreinte distincte à chaque fichier : elle n’est donc pas injective et des collisions apparaissent. Le stockage dans un dictionnaire ne rend pas les clés identiques ; c’est l’insuffisance du nombre d’empreintes possibles qui entraîne les collisions.

Answer

Parce qu’il y a plus de fichiers que d’empreintes possibles, plusieurs fichiers doivent partager une empreinte.

Question 10

10. Pour vérifier si un élément donné appartient à un ensemble décrit par une propriété, quelle méthode pratique permet de décider de son appartenance ?

Déterminer si l’élément peut être placé avant les autres

Vérifier si l’élément apparaît plusieurs fois dans la définition

Tester si l’élément satisfait la propriété qui définit l’ensemble

Comparer la position de l’élément avec celle des autres éléments

Explication

Un ensemble défini en compréhension rassemble précisément les objets qui vérifient la propriété énoncée : il suffit donc de la tester pour l’élément considéré. L’ordre et le nombre d’occurrences ne déterminent pas l’appartenance à un ensemble.

Answer

Tester si l’élément satisfait la propriété qui définit l’ensemble

Question 11

11. Quelle propriété caractérise l’intersection de deux ensembles A et B ?

Elle contient les éléments de A qui ne sont pas dans B.

Elle contient les éléments qui appartiennent à la fois à A et à B.

Elle contient les éléments qui appartiennent à A ou à B.

Elle contient les éléments de l’ensemble de référence qui ne sont pas dans A.

Explication

L’intersection rassemble les éléments communs aux deux ensembles, c’est-à-dire ceux qui appartiennent simultanément à A et à B. L’union, distracteur plausible, rassemble les éléments appartenant à A ou à B, y compris ceux qui ne sont pas communs.

Answer

Elle contient les éléments qui appartiennent à la fois à A et à B.

QCM : Ensembles, applications et cardinalité (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Qu’est-ce qu’un ensemble en mathématiques ?

2. Une liste Python contient les valeurs 4, 7, 4, tandis qu’un ensemble est formé à partir de ces mêmes valeurs : quelle distinction s’applique ?

3. Quelle démarche permet de démontrer que deux ensembles A et B sont égaux ?

4. Si un élément appartient à A ou à B, dans quel ensemble appartient-il nécessairement ?

5. Que désigne l’ensemble des parties $\mathcal{P}(E)$ d’un ensemble $E$ ?

6. Pour une application composée $g \circ f$ , avec $f : E \to F$ et $g : F \to G$ , quelle expression donne l’image de $x$ ?

7. Quel est le rôle d’une application bijective lorsqu’on définit sa réciproque $f^{-1} : F \to E$ ?

8. Quelle différence distingue le dénombrement d’un produit cartésien du dénombrement d’une réunion de deux ensembles finis ?

9. Pourquoi une fonction de hachage qui associe un ensemble immense de fichiers à un ensemble fini d’empreintes produit-elle nécessairement des collisions ?

10. Pour vérifier si un élément donné appartient à un ensemble décrit par une propriété, quelle méthode pratique permet de décider de son appartenance ?

11. Quelle propriété caractérise l’intersection de deux ensembles A et B ?

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1. Qu’est-ce qu’un ensemble en mathématiques ?

2. Une liste Python contient les valeurs 4, 7, 4, tandis qu’un ensemble est formé à partir de ces mêmes valeurs : quelle distinction s’applique ?

3. Quelle démarche permet de démontrer que deux ensembles A et B sont égaux ?

4. Si un élément appartient à A ou à B, dans quel ensemble appartient-il nécessairement ?

5. Que désigne l’ensemble des parties P(E)\mathcal{P}(E)P(E) d’un ensemble EEE ?

6. Pour une application composée g∘fg \circ fg∘f, avec f:E→Ff : E \to Ff:E→F et g:F→Gg : F \to Gg:F→G, quelle expression donne l’image de xxx ?

7. Quel est le rôle d’une application bijective lorsqu’on définit sa réciproque f−1:F→Ef^{-1} : F \to Ef−1:F→E ?

8. Quelle différence distingue le dénombrement d’un produit cartésien du dénombrement d’une réunion de deux ensembles finis ?

9. Pourquoi une fonction de hachage qui associe un ensemble immense de fichiers à un ensemble fini d’empreintes produit-elle nécessairement des collisions ?

10. Pour vérifier si un élément donné appartient à un ensemble décrit par une propriété, quelle méthode pratique permet de décider de son appartenance ?

11. Quelle propriété caractérise l’intersection de deux ensembles A et B ?

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5. Que désigne l’ensemble des parties $\mathcal{P}(E)$ d’un ensemble $E$ ?

6. Pour une application composée $g \circ f$ , avec $f : E \to F$ et $g : F \to G$ , quelle expression donne l’image de $x$ ?

7. Quel est le rôle d’une application bijective lorsqu’on définit sa réciproque $f^{-1} : F \to E$ ?