QCM : Applications et fonctions réelles (11 questions)

Question 1

1. Pour une application $f : E \to F$ , que représente $f(x)$ lorsque $x \in E$ ?

Un sous-ensemble de

F

associé à tous les éléments de

E

Un élément de

E

appelé antécédent de

x

Un élément de

F

appelé image de

x

L’application elle-même, de domaine

E

et d’arrivée

F

Explication

L’application associe à chaque élément de départ $x$ un unique élément de l’ensemble d’arrivée $F$ , qui est son image. L’application $f$ désigne l’association dans son ensemble, et non l’élément $f(x)$ .

Answer

Un élément de $$F$$ appelé image de $$x$$

Question 2

2. Pour $f : E \to F$ et $g : F \to G$ , dans quel ordre calcule-t-on $(g \circ f)(x)$ ?

On calcule d’abord

g(x)

, puis on applique

f

au résultat

On calcule d’abord

f(x)

, puis on applique

g

au résultat

On additionne

f(x)

et

g(x)

dans l’ensemble

F

On applique

f

au résultat de

g

, qui appartient à

G

Explication

La composition est définie par $(g \circ f)(x)=g(f(x))$ : on applique donc d’abord $f$ , puis $g$ . L’ordre inverse correspondrait à $f \circ g$ et nécessite que les domaines et ensembles d’arrivée soient compatibles dans l’autre sens.

Answer

On calcule d’abord $$f(x)$$, puis on applique $$g$$ au résultat

Question 3

3. Deux fonctions monotones sont composées. Si l’une est croissante et l’autre décroissante, quel est le sens de variation de leur composée ?

La composée est constante, car les variations se compensent

La composée est croissante, car l’une des fonctions est croissante

La composée est décroissante, car les deux sens de variation sont opposés

Le sens de variation dépend du fait que les fonctions soient définies sur un domaine symétrique

Explication

La composition de deux fonctions monotones est décroissante lorsque leurs sens de variation sont opposés. Un domaine symétrique intervient dans les définitions de parité, mais ne détermine pas la règle de variation d’une composée.

Answer

La composée est décroissante, car les deux sens de variation sont opposés

Question 4

4. Une fonction $f$ de domaine $D$ est périodique de période $T>0$ . Quelle condition caractérise cette propriété ?

Il existe un

x \in D

tel que

x+T \in D

et

f(x+T)=f(x)

Pour tout

x \in D

,

x+T \in D

et

f(x+T)=f(x)+T

Pour tout

x \in D

,

x+T \in D

et

f(x+T)=f(x)

Pour tout

x \in D

,

x-T \in D

et

f(x-T)=-f(x)

Explication

Une période positive conserve la valeur de la fonction après un décalage de $T$ , et le domaine doit contenir $x+T$ pour tout $x$ considéré. Une égalité valable en un seul point ne suffit pas à établir la périodicité.

Answer

Pour tout $$x \in D$$, $$x+T \in D$$ et $$f(x+T)=f(x)$$

Question 5

5. Qu’est-ce que la tangente hyperbolique d’un réel $x$ ?

La somme

\operatorname{sh}(x)+\operatorname{ch}(x)

, égale à

e^x

La différence

\operatorname{ch}(x)-\operatorname{sh}(x)

, égale à

e^{-x}

Le quotient

\operatorname{sh}(x)/\operatorname{ch}(x)

, égal à

(e^x-e^{-x})/(e^x+e^{-x})

Le quotient

\operatorname{ch}(x)/\operatorname{sh}(x)

, égal à

(e^x+e^{-x})/(e^x-e^{-x})

Explication

La tangente hyperbolique est définie comme le quotient du sinus hyperbolique par le cosinus hyperbolique, ce qui donne la fraction exponentielle indiquée. La fraction inversée correspond au quotient ch/sh, tandis que la somme et la différence proposées sont des identités hyperboliques distinctes.

Answer

Le quotient $$\operatorname{sh}(x)/\operatorname{ch}(x)$$, égal à $$(e^x-e^{-x})/(e^x+e^{-x})$$

Question 6

6. Si une fonction continue et strictement monotone est définie sur un intervalle $I$ , quelle propriété possède son application de $I$ sur son image $f(I)$ ?

Elle est injective de

I

sur tout intervalle contenant

f(I)

.

Elle est bijective de

I

sur

f(I)

.

Elle est surjective de

I

sur son ensemble d’arrivée.

Elle admet une réciproque définie sur l’ensemble de départ

I

.

Explication

La continuité et la stricte monotonie sur un intervalle garantissent que la fonction établit une bijection entre cet intervalle et son image. La surjectivité concerne ici l’image $f(I)$ , pas nécessairement tout l’ensemble d’arrivée initial.

Answer

Elle est bijective de $$I$$ sur $$f(I)$$.

Question 7

7. Quel est le rôle de la restriction du cosinus à l’intervalle $[0,\pi]$ dans la définition de l’arc cosinus ?

Elle rend le cosinus bijectif de

[0,\pi]

sur

[-1,1]

, ce qui permet de définir sa réciproque.

Elle rend le cosinus bijectif de

[-1,1]

sur

[0,\pi]

, afin de définir sa réciproque.

Elle transforme le cosinus en une fonction strictement croissante de

[0,\pi]

sur

[-1,1]

.

Elle prolonge le cosinus à tout réel en le rendant bijectif sur

[-1,1]

.

Explication

Cette restriction fournit une bijection de $[0,\pi]$ vers $[-1,1]$ , dont la réciproque est l’arc cosinus. La restriction du cosinus à tout $\mathbb{R}$ ne serait pas bijective, car le cosinus est périodique.

Answer

Elle rend le cosinus bijectif de $$[0,\pi]$$ sur $$[-1,1]$$, ce qui permet de définir sa réciproque.

Question 8

8. En quoi la borne supérieure d’un ensemble diffère-t-elle de son maximum ?

La borne supérieure et le maximum sont deux noms pour le plus petit élément de l’ensemble.

La borne supérieure est le plus grand élément de l’ensemble, tandis que le maximum peut lui être extérieur.

La borne supérieure est un minorant extrême, tandis que le maximum est un majorant quelconque.

La borne supérieure est le plus petit majorant, tandis que le maximum doit appartenir à l’ensemble.

Explication

La borne supérieure est le plus petit des majorants et peut ne pas appartenir à l’ensemble, contrairement au maximum, qui en est un élément. Par exemple, l’ensemble $[2,7[$ a pour borne supérieure $7$ , mais n’a pas de maximum.

Answer

La borne supérieure est le plus petit majorant, tandis que le maximum doit appartenir à l’ensemble.

Question 9

9. Pourquoi la fonction exponentielle de base $a$ est-elle strictement décroissante lorsque $0<a<1$ ?

Parce que

\ln(a)<0

, donc sa dérivée

\ln(a)a^x

est négative.

Parce que sa dérivée est

\frac{a^x}{\ln(a)}

, qui est négative dans ce cas.

Parce que sa dérivée est

a^x

, qui diminue lorsque

x

augmente.

Parce que

\ln(a)>0

, donc sa dérivée

\ln(a)a^x

est positive.

Explication

Comme $0<a<1$ , on a $\ln(a)<0$ et $a^x>0$ , donc la dérivée $\ln(a)a^x$ est négative et la fonction décroît. L’idée que la dérivée vaut simplement $a^x$ néglige le facteur $\ln(a)$ qui détermine le signe.

Answer

Parce que $$\ln(a)<0$$, donc sa dérivée $$\ln(a)a^x$$ est négative.

Question 10

10. On souhaite appliquer d’abord une fonction $f : E \to F$ à un élément $x \in E$ , puis une fonction $g : F \to G$ au résultat obtenu. Quelle expression permet de calculer directement le résultat final ?

f(x)+g(x)

, en additionnant les deux images de

x

f(g(x))

, en évaluant d’abord

g

puis

f

g(x)

, en appliquant directement la fonction d’arrivée à

x

g(f(x))

, en évaluant d’abord

f

puis

g

Explication

La composée $g \circ f$ s’applique en évaluant d’abord $f(x)$ , puis en appliquant $g$ à cette valeur, ce qui donne $g(f(x))$ . L’expression $f(g(x))$ inverse l’ordre et n’est pas définie avec les ensembles indiqués, puisque $g$ reçoit un élément de $F$ .

Answer

$$g(f(x))$$, en évaluant d’abord $$f$$ puis $$g$$

Question 11

11. Lorsque la courbe de la fonction $f$ est réfléchie par rapport à l’axe des ordonnées, quelle transformation algébrique de $f(x)$ décrit la courbe obtenue ?

La fonction

x \mapsto f(x+\mu)

La fonction

x \mapsto -f(x)

La fonction

x \mapsto f(-x)

La fonction

x \mapsto f(x)+\lambda

Explication

Remplacer $x$ par $-x$ produit la réflexion de la courbe par rapport à l’axe des ordonnées. À l’inverse, changer le signe de la fonction réfléchit la courbe par rapport à l’axe des abscisses.

Answer

La fonction $$x \mapsto f(-x)$$

QCM : Applications et fonctions réelles (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une application $f : E \to F$ , que représente $f(x)$ lorsque $x \in E$ ?

2. Pour $f : E \to F$ et $g : F \to G$ , dans quel ordre calcule-t-on $(g \circ f)(x)$ ?

3. Deux fonctions monotones sont composées. Si l’une est croissante et l’autre décroissante, quel est le sens de variation de leur composée ?

4. Une fonction $f$ de domaine $D$ est périodique de période $T>0$ . Quelle condition caractérise cette propriété ?

5. Qu’est-ce que la tangente hyperbolique d’un réel $x$ ?

6. Si une fonction continue et strictement monotone est définie sur un intervalle $I$ , quelle propriété possède son application de $I$ sur son image $f(I)$ ?

7. Quel est le rôle de la restriction du cosinus à l’intervalle $[0,\pi]$ dans la définition de l’arc cosinus ?

8. En quoi la borne supérieure d’un ensemble diffère-t-elle de son maximum ?

9. Pourquoi la fonction exponentielle de base $a$ est-elle strictement décroissante lorsque $0<a<1$ ?

10. On souhaite appliquer d’abord une fonction $f : E \to F$ à un élément $x \in E$ , puis une fonction $g : F \to G$ au résultat obtenu. Quelle expression permet de calculer directement le résultat final ?

11. Lorsque la courbe de la fonction $f$ est réfléchie par rapport à l’axe des ordonnées, quelle transformation algébrique de $f(x)$ décrit la courbe obtenue ?

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QCM : Applications et fonctions réelles (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une application f:E→Ff : E \to Ff:E→F, que représente f(x)f(x)f(x) lorsque x∈Ex \in Ex∈E ?

2. Pour f:E→Ff : E \to Ff:E→F et g:F→Gg : F \to Gg:F→G, dans quel ordre calcule-t-on (g∘f)(x)(g \circ f)(x)(g∘f)(x) ?

3. Deux fonctions monotones sont composées. Si l’une est croissante et l’autre décroissante, quel est le sens de variation de leur composée ?

4. Une fonction fff de domaine DDD est périodique de période T>0T>0T>0. Quelle condition caractérise cette propriété ?

5. Qu’est-ce que la tangente hyperbolique d’un réel xxx ?

6. Si une fonction continue et strictement monotone est définie sur un intervalle III, quelle propriété possède son application de III sur son image f(I)f(I)f(I) ?

7. Quel est le rôle de la restriction du cosinus à l’intervalle [0,π][0,\pi][0,π] dans la définition de l’arc cosinus ?

8. En quoi la borne supérieure d’un ensemble diffère-t-elle de son maximum ?

9. Pourquoi la fonction exponentielle de base aaa est-elle strictement décroissante lorsque 0<a<10<a<10<a<1 ?

10. On souhaite appliquer d’abord une fonction f:E→Ff : E \to Ff:E→F à un élément x∈Ex \in Ex∈E, puis une fonction g:F→Gg : F \to Gg:F→G au résultat obtenu. Quelle expression permet de calculer directement le résultat final ?

11. Lorsque la courbe de la fonction fff est réfléchie par rapport à l’axe des ordonnées, quelle transformation algébrique de f(x)f(x)f(x) décrit la courbe obtenue ?

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1. Pour une application $f : E \to F$ , que représente $f(x)$ lorsque $x \in E$ ?

2. Pour $f : E \to F$ et $g : F \to G$ , dans quel ordre calcule-t-on $(g \circ f)(x)$ ?

4. Une fonction $f$ de domaine $D$ est périodique de période $T>0$ . Quelle condition caractérise cette propriété ?

5. Qu’est-ce que la tangente hyperbolique d’un réel $x$ ?

6. Si une fonction continue et strictement monotone est définie sur un intervalle $I$ , quelle propriété possède son application de $I$ sur son image $f(I)$ ?

7. Quel est le rôle de la restriction du cosinus à l’intervalle $[0,\pi]$ dans la définition de l’arc cosinus ?

9. Pourquoi la fonction exponentielle de base $a$ est-elle strictement décroissante lorsque $0<a<1$ ?

10. On souhaite appliquer d’abord une fonction $f : E \to F$ à un élément $x \in E$ , puis une fonction $g : F \to G$ au résultat obtenu. Quelle expression permet de calculer directement le résultat final ?

11. Lorsque la courbe de la fonction $f$ est réfléchie par rapport à l’axe des ordonnées, quelle transformation algébrique de $f(x)$ décrit la courbe obtenue ?