Applications et fonctions réelles

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire et composition des applications
2. Propriétés et transformations des fonctions
3. Tangente et fonctions hyperboliques
4. Images et bijections réciproques
5. Fonctions trigonométriques réciproques
6. Bornes et extrema dans les réels
7. Fonctions puissances et exponentielles

📖 1. Vocabulaire et composition des applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : Une application de E dans F associe à chaque élément x de E un unique élément f(x) de F, appelé image de x ; E est l’ensemble de départ et F l’ensemble d’arrivée.
• Antécédent : Si y = f(x), alors x est un antécédent de y par f.
• Composition : Pour f : E → F et g : F → G, la composée g ◦ f : E → G est définie par $(g \circ f)(x)=g(f(x))$ pour tout x ∈ E.
• Restriction : La restriction de f : E → F à D ⊂ E est l’application f|D : D → F définie par f|D(x) = f(x) pour tout x ∈ D ; f est alors un prolongement de cette restriction.

📝 Points essentiels

• En général, la composition n’est pas commutative : pour f(x) = e^x et g(x) = sin(x), g ◦ f(x) = sin(e^x) tandis que f ◦ g(x) = e^{sin(x)}.